2022年湖北省宜昌市七校教学协作体高二数学第二学期期末经典试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设地球的半径为R，在纬度为的纬线圈上有A,B两地，若这两地的纬线圈上的弧长为，则A,B两地之间的球面距离为（）ABCD2设随机变量服从正态分布，若，则实数等于（ ）ABCD3已知角的

2、终边经过点，则（ ）ABCD4函数（ ）ABCD5已知点为双曲线的对称中心，过点的两条直线 与的夹角为，直线与双曲线相交于点，直线与双曲线相交于点，若使成立的直线与有且只有一对，则双曲线离心率的取值范围是（ ）ABCD6已知，则复数（ ）AB2CD7已知为虚数单位，则复数对应复平面上的点在第（ ）象限A一B二C三D四8三棱锥中，为的中点,分别交，于点、，且，则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD9函数的部分图象大致为（）ABCD10设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11在平面直角坐标系中，点，直线设圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，使得

3、，则圆心的横坐标的取值范围为（ ）ABCD12已知向量，若，则实数 （ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知复数，其中是虚数单位，则的模是_14已知为第二象限角，则_.15对于自然数方幂和，求和方法如下：，将上面各式左右两边分别相加，就会有，解得，类比以上过程可以求得，且与无关，则的值为_16观察下列等式：请你归纳出一般性结论_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；18（12分）山东省高考改革试点方案规定：从年秋

4、季高中入学的新生开始，不分文理科；年开始，高考总成绩由语数外门统考科目成绩和物理、化学等六门选考科目成绩构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共个等级参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布（）求化学原始分在区间的人数；（）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取人，求这人中至少有人成绩在的概率；（III）若小明同学选择物理、化学和地理为选考科目，其中物理

5、、化学成绩获得等的概率都是，地理成绩获得等的概率是，且三个科目考试的成绩相互独立.记表示小明选考的三个科目中成绩获得等的科目数，求的分布列. （附：若随机变量，则，.）19（12分）2119年2月13日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了211名学生每周阅读时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图（1）求这211名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布

6、，其中近似为样本平均数，近似为样本方差（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若令，则，且利用直方图得到的正态分布，求(ii)从该高校的学生中随机抽取21名，记表示这21名学生中每周阅读时间超过11小时的人数，求(结果精确到11111)以及的数学期望参考数据：若，则20（12分）若函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上只有一个极值，且该极值小于，求的取值范围.21（12分）如图，平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点.（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A

7、到平面EFQ的距离恰为？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由.22（10分）若数列的前项和为，且，.（1）求，；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据纬线圈上的弧长为求出A,B两地间的径度差，即可得出答案。【详解】设球心为O，纬度为的纬线圈的圆心为O，则OAO=,OA=OAcosOAO=Rcos,设A,B两地间的径度差的弧度数为，则Rcos=,=,即A,B两地是O的一条直径的两端点，AOB=,A,B两地之间的球面距离为答案：D【点睛】本题涉及到了

8、地理相关的经纬度概念。学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。2、B【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=4对称，得到两个概率相等的区间关于x=4对称，得到关于a的方程，解方程即可详解：随机变量服从正态分布N（4，3），P（a5）=P（a+1），x=a5与x=a+1关于x=4对称，a5+a+1=8，2a=12，a=6，故选：C点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.3、B【解析】根据角的终边上一点的坐标，求得的值，对所求表达式分子分母同时除以，转化为只含的

9、形式，由此求得表达式的值.【详解】依题意可知，故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题.4、A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除，所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.5、A【解析】根据双曲线渐近线以及夹角关系列不等式，解得结果【详解】不妨设双曲线方程为，则渐近线方程为因为使成立的直线与有且只有一对，所以从而离心率，选A.【点睛】本题考查求双曲线离心率取值范围，考查综合分析求解能力，属较难题.6、A【解析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则.本题

10、选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7、D【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.详解：由题意可得：，则复数对应的点为，该点位于第四象限，即复数对应复平面上的点在第四象限.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、B【解析】由已知可知，是正三角形，从而，进而，是的平分线，由此能求出三棱锥体积的最大值.【详解】由题意得，所以是正三角形，分别交，于点、，,， ，是的平分线， ，以为原点，建立平面直角坐标系，如图： 设，则，整理得， 因此三棱锥

11、体积的最大值为.故选：B【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.9、C【解析】根据函数的奇偶性与正负值排除判定即可.【详解】函数,故函数是奇函数,图像关于原点对称,排除B,D,当x0且x0,f（x）0,排除A,故选：C【点睛】本题主要考查了函数图像的判定,属于基础题型.10、A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、D【解析】设，由，利用两点间的

12、距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围【详解】设点，由，知：，化简得：，点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又点M在圆C上，圆C与圆D的关系为相交或相切，其中，即可得，故选：D【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于中档题12、B【解析】由题得，解方程即得解.【详解】因为，所以.故选B【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的理

13、解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：分子分母同时乘以，化简整理，得出，再得模。详解：，所以。点睛：复数的除法运算公式。14、【解析】根据同角三角函数平方关系和的范围可求得，根据同角三角函数商数关系可求得结果.【详解】为第二象限角，由得：，.故答案为：.【点睛】本题考查根据同角三角函数平方关系和商数关系求解三角函数值的问题，属于基础题.15、.【解析】分析：利用类比法先求出，再求，从而得到答案.详解：利用类比法：，将上面各式左右两边分别相加，就会有，解得；继续使用类比法：，将上面各式左右两边分别相加，就会有，解得， .故答案为：.点睛：类

14、比推理应用的类型及相应方法类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移16、【解析】分析：根据题意，观察各式可得其规律，用将规律表示出来即可（，且为正整数）详解：根据题意，观察各式可得：第式中，；式中，第式中，；规律可表示为： 即答案为 .点睛：本题要

15、求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：设与相交于点，连接，根据题意可得，利用线面平行的判定定理得到平面；建立空间直角坐标系，求出法向量，然后运用公式计算二面角的大小详解：（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点，D为AC中点，PD/, 又PD平面D，/平面D.（2）如图建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，0），（0，）=（-1，-），=（-1，0，-）设平面的法向量为n=（x，y，z）则nn则有，得n=（，0，

16、1）由题意，知=（0，0，）是平面 ABD的一个法向量。设n与所成角为， 则， 二面角的大小是. 点睛：本题主要考查了线面平行的判定定理，要求二面角平面角的大小，可以采用建立空间直角坐标系的方法，给出点坐标，求出各面上的法向量，利用公式即可求出角的大小。18、（）1227人（）（III）见解析【解析】（）根据正态分布的区间及对称性质，利用原则及数据即可得化学原始分在区间的概率，进而求得改区间内的人数；（）先求得再区间内学生所占比例，即可得随机抽取1人成绩在该区间的概率，由独立重复试验的概率公式，即可求得人中至少有人成绩在改区间的概率；（III）根据题意可知随机变量的可能取值为. 根据所给各科目

17、获得等的概率，由独立事件的乘法公式可得各可能取值对应的概率，即可得分布列.【详解】（）因为化学考试原始分基本服从正态分布，即，所以，所以化学原始分在区间的人数为人. （）由题意得，位于区间内所占比例为，所以随机抽取人，其成绩在内的概率为，所以随机抽取人，相当于进行次独立重复试验. 设这人中至少有人成绩在为事件，则. （III）随机变量的可能取值为. 则，. 所以的分布列为【点睛】本题考查了正态分布曲线的性质及综合应用，独立重复试验概率的求法，独立事件概率乘法公式的应用，离散型随机变量分布列的求法，属于中档题.19、 (1)9，1.78(2) （i）（ii）见解析【解析】（1）直接由平均数公式及

18、方差公式求解；（2）（i）由题知，则，求出，结合已知公式求解（）由（i）知，可得，由求解，再由正态分布的期望公式求的数学期望【详解】解：（1）， ；（2）（i）由题知，；（）由（i）知，可得，.的数学期望.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题20、（1）（2）【解析】（1）求导得到，得到切线方程.（2），讨论，三种情况，得到函数单调区间，判断是否有极值，计算极值解不等式得到答案.【详解】(1)当时，则，所以切线方程为.(2) ，当时，在上单调递减，无极值；当时在上单调递增，在上单调递减，所以当时取得极小值，所以；当时，令或，设，当，当，当时在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得极大值，设，从而，所以在上单调递减，所以不符合题意.当时在上单调递增，此时在上无极值，不合题意.综上：取值范围是.【点睛】本题考查了函数的切线方程，极值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、（1）；（2）线段CQ的长度为 .【解析】（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图示，写出点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量 ，的坐标，利用异面直线EG与BD所成角公式求出异面直线EG与BD所成角大小即可；（2）对于存在性问题，可先假设存在，即先假设在线段CD上