问题变式：结构与功能的统一

1、问题变式：构造与功能的统一摘要：数学问题变式可分为程度变式和垂直变式，问题变式本身展示了构造与功能的统一。关键词：问题变式；构造；功能；认知本文以数学问题变式为例，阐述问题变式中构造与功能的统一。近几十年来，数学学习中，问题受到了很好的注意。但很多研究更多地关注单个问题，数学问题与数学问题之间的关系，并未加以应有的关注。事实上，学生往往不是解一道题，而是解几道题，学生可能从题题之间不变的关系中抽象出数学意义，进而把问题分类，使题目类型化。变式教学是数学老师非常熟悉的教学思想、教学理念，这方面有很多理论，可理论研究还很弱。为什么该教学方法有用？变式教学的合理之处是什么？本文尝试以此为“透镜，通过

2、题题之间的构造，透视数学问题变式的功能。最近，以artn为首的欧洲学派的变式学习理论研究，逐步在香港教育界扎根并开花结果。artn变式学习理论认为经历事物的方式就是学习artnBth，1997。把“变的局部和“不变的局部加以区别，人们所经历的过程，称为变式学习。一、数学教学中的问题变式变式，可以说是中国内地“外乡化的实用教学经历。为了通俗地介绍变式题，笔者先从读小学时的一个小故事谈起。一位小学老师出了一道题：的是多少？当时大家都不会做。于是这位老师就说：“以后解题，凡看见的多少，用除法。看见是多少，用乘法。所以这道题用乘法。于是我会做这类题了，却根本不懂什么意思。后来，这位数学老师继续上课，他

3、用一串启发性的由浅入深的题组下表，令我豁然开朗。这就是问题变式。题目：的倍是多少？我们一般把将源问题加以变化的这些新问题，称为变式题。将源问题加以变化，称为问题变式。二、数学问题变式的构造一问题的两重特征每个数学问题可分解为外表形式特征和深层数学构造特征。外表形式特征是指问题呈现的表述方式的浅层特征；数学构造特征指涉及问题本质的概念、关系与原那么等的深层特征。例如，25个学生一起去划船。大船每条可以坐6人，租金10元；小船每条只可以坐4人，租金8元。应该怎样租船才付最少的租金呢？要租多少条大船？多少条小船？租金又是多少呢？这个问题的外表特征是问题情境的陈述：一系列数字。这些数字，经过调换，可以

4、变化，但是对问题的本质影响不大。至于这一题目的数学构造特征那么是：题目中涉及人数、大小船数、空位数和钱数共四个变量，学生需要综合考虑四个变量之间的变化依赖关系。问题的外表特征和数学构造特征彼此相异，又互相补充。数学构造特征必须通过外表形式特征来表达，外表形式特征可以反映数学构造特征。但是，数学构造特征反映问题“质的方面，处于核心地位。二问题变式的两类构造：程度变式和垂直变式这里，我们提出一种新的分类。新问题相对源问题来说，学生能区分问题外表形式特征变化背后的构造特征变化，不带来认知负荷的变化，为程度变式；学生不能区分问题外表形式特征变化背后的构造特征变化，带来认知负荷的变化，为垂直变式。这里我

5、们把“问题解决过程中，记忆容量和信息加工的负荷，统称为认知负荷gnitinlad。这样，可按问题构造的变化分成不同的层次垂直变式，在同一构造层次中，可以分成问题外表形式特征不同的变化程度变式。一般来说，题目的认知负荷要在学生可理解的范围即最近开展区内。例如，源问题是：2的1倍是多少？变式题1是：2的2倍是多少？相对源问题，变式题1的程度变式局部是：2的几倍是多少？1倍变为2倍是变化的新局部，假设新局部不带来认知负荷的变化，为程度变式，否那么是垂直变式。还可以有变式题2：的2倍是多少？相对变式题1，变式题2的程度变式局部是：几的2倍是多少？2变为是变化的新局部，增加了分数概念或小数的概念以及约分

6、的技能的认知负荷。假设学生能区分问题外表形式特征变化背后的构造特征变化，不带来认知负荷的变化，为程度变式，否那么是垂直变式。这种区分，以学生的感知为标准。教学的关键是化“难为“易，化“垂直变式为学生容易理解的“程度变式，化“大变为学生容易区分的“小变，化“质变为“量变，这是数学教学的重要技能。值得一提的是，程度变式和垂直变式的划分是相对认知程度而言的。例如，上述问题变式对小学生而言，可能有认知负荷，那么是垂直变式，而对中学生而言，可能没有认知负荷，是程度变式。两类构造的区分主要以有无认知负荷为标准。程度变式是问题外表重复局部，垂直变式是问题外表变化局部，增加了认知负荷，二者围绕数学构造“中心轴

7、开展，三者程度局部，垂直局部，数学构造“中心轴形成了螺旋式开展问题空间。变式教学的精华就是把认知负荷大的问题，分解为认知负荷小的问题，把垂直变式化为螺旋，循序渐进，分解程度变式。这即是中国数学教学的传统策略“大化小，小化了，分而治之，分散难点的做法。问题变式的优势在于“渐。变式题不同于记忆型题目和高层思维型开放题，而是在记忆型题目和高层思维型开放题两个“极端之间保持“平衡，渐渐地增加认知负荷，更注意题与题之间的变化，由程度变式到垂直变式，逐步区分外表形式特征并提取数学构造的元素，逐步区分题目中的数学构造的元素，发现“变中的不变，同时培养“以不变应万变的才能，从量变到质变，渐渐领悟，把握数学教学

8、的规律如下页图。图1问题变式构造示意图三问题变式的意义外表形式有差异的程度变式仍然有重要的价值。artn变式学习理论认为，经历不断重复才能形成意义。重复是手段，扩展重复形成意识。第一次经历与第二次经历是互相弥补的。第一次关注理论描绘效度。当第二次经历时，第一次所经历的方面被放大。第二次的经历“丰富并“加深第一次经历的各个方面。经历者与经历的关系只有第二次才能看到。第一次是第二次的根底，每次焦点不同，强调的方面也不同。学习经历的两个维度是直接维度内容和间接维度方法。学习是经历的“回归方式，重复是手段，重复的意义在于保持某些方面变而其他方面不变，强调内容不变的某些方面，使其他在边缘的东西，渐渐淡化

9、，突出主要因素，渐渐形成构造。程度变式题虽然只是解题技能的简单重复，但量变是质变的根底，学生通过外表形式特征的重复，才能渐渐形成问题的图式，进而成为问题解决的基矗当然，没有垂直变式题，只有程度变式是不行的。数学学习停留于浅层的学习是经历的浅层“回归方式，不会实现深层意义的“回归和深层构造的“回归。按照Sfard1991数学概念的二重性分析，没有垂直变式题，只有程度变式，数学学习不能到达内化和浓缩化阶段，仅停留于过程性理解，难以生成概念性理解，难以生成抽象化和高层数学理解。三、数学问题变式的功能：“概念与过程数学学习往往要经历“过程达成，然后转化为“概念对象的认知过程Sfard,1991；鲍建生

10、，等，2022。从这个意义上，问题变式也不可防止地扮演过程的操作性和概念的构造性两重角色，鲍建生等2022把变式分为“概念性变式与过程性变式正基于这种考虑。教学上，问题变式不要无的放矢，为变而变，变式题设计总是围绕数学概念的元素和关系，分别设计区别该元素的题组，围绕“期望达成的概念和程序而设计“问题变式题组。变式问题，包含双重目的：概念与过程，即建构概念和技能与开展思维过程，也就是兼顾“内容和过程，兼顾数学知识根底到高层次思维才能。例如，我们通过这样的题目：“2个苹果，2个人分，每个人分多少个“4个苹果，2个人分，每个人分多少个“6个苹果，2个人分，每个人分多少个，学习除法概念和除法运算程序。

11、而通过题组：“1个苹果，2个人分，每个人分多少个“1个苹果，3个人分，每个人分多少个“2个苹果，3个人分，每个人分多少个，同时学习分数概念和除法运算程序。而两者结合，题组：“个苹果，2个人分，每个人分多少个“个苹果，2个人分，每个人分多少个“个苹果，2个人分，每个人分多少个，那么围绕分数除法的概念和分数除法的运算程序，设计新的变式题组。而对于分数除法的概念和运算程序建立，是以“除法概念和“分数概念及“除法运算和“分数运算为根底的。事实上，这组题目显示了开展概念和培养过程的相辅相成，具有概念与过程双重性。因此，问题变式的开展，是为了概念开展的螺旋式改变而设计，通过“构造问题产生认知“功能，达成教学“目的。开展数学认知构造的概念和过程的关系如下列图所示。图2问题变式的双重目的：概念与过程关系图示四、问题变式：构造与功能