平面几何基础知识教程

1、 平面几何基础知识教程（圆）一、几个重要定义外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图）二、圆内重要定理：1.四点共圆定义：若四边形ABCD的四点同时共于一圆上，则称A,B,C,D四点共圆基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补证明：略判定方法：定义法：若存在一点O使OA=OB=OC=OD，则A,B,C,D四点共圆定理1:若凸四边形ABCD的对角互

2、补，则此凸四边形ABCD有一外接圆证明：略特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆视角定理：若折四边形ABCD中,ZADB=ZACB,则A,B,C,D四点共圆证明：如上图，连CD,AB，设AC与BD交于点P因为ZADB=ZACB,所以ACPB-ADPAPCPB所以有=一PDPA再注意到ZCPD=ZBPA因此CPD7BPA因此ZPCD=ZPBA由此ZBCD+ZBAD=ZBCA+乙PCD+ZBAD=ZBDA+ZPBA+ZBAD=180（AABD的内角和）因此A,B,C,D四点共圆特别地，当ZADB=ZACB=90时，四边形ABCD有一外接圆2圆幂定理：圆幂定理是圆的相

3、交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。PAPAPB=PCPD证明：连AC,BD,则ZCAB=ZCDB（等弧对等圆周角）而ZAPC=ZDPB（对顶角相等）因此AAPC-ADPBPApc即=，因此PAPB=PCPDPDPB（切）割线定理：P是圆外任意一点，过P任作圆的两割（切）线PAB,PCD,则PAPB=PCPD证明方法与相交弦定理完全一样，可仿前。特别地，当C，D两点重合成为一点C时，割线PCD变成为切线PC而由割线定理，PAPB=PCPD=PC2，此时割线定理成为切割线定理而当B，A两点亦重合为一点A时，由切割线定理PC2=PAPB=PA2因此有PC=PA，此时切割线定理成为

4、切线长定理现考虑割线与切线同时存在的情况，即切割线定理的情况：p如图，PCDp如图，PCD是圆的割线，PE是圆的切线设圆心为0,连PO,OE,则由切割线定理有：PCPD=PE2而注意到黄色是RT，由勾股定理有：PE2=P02OE2，结合切割线定理，我们得到PCPD=PE2=PO2OE2，这个结果表明，如果圆心0与P是确定的，那么PC与PD之积也是唯一确定的。以上是P在圆外的讨论现在再重新考虑P在圆内的情形，如下图,PCD是圆内的现，PAB是以P为中点的弦则由相交弦定理有PAPB=PA2（因为P是弦AB中点）=PCPD连OP,0A，由垂径定理，AOPA是RTA由勾股定理有PA2=OA2OP2，结

5、合相父弦定理，便得到PAPB=PA（因为P是弦AB中点）=PCPD=OA2OP2这个结果同样表明，当0与P是固定的时候PC与PD之积是定值以上是P在圆内的讨论当P在圆上时，过P任作一弦交圆于A（即弦AP）,此时P02OA2=0也是定值综上，我们可以把相交弦定理，切割线定理，割线定理，切线长定理统一起来，得到圆摹定理O圆摹定理：P是圆0所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P任作一直线交圆0于A,B两点（A,B两点可以重合，也可以之一和P重合），圆0半径为r则我们有：PAPB=1PO2r2|由上面我们可以看到，当P点在圆内的时候，P6-r20，此时圆摹定理为相交弦定理当P在圆上的时候

6、，PO?-r2=0当P在圆外的时候，P6-r20此时圆摹定理为切割线定理，割线定理，或切线长定理以下有很重要的概念和定理：根轴先来定义摹的概念：从一点A作一圆周上的任一割线，从A起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于这圆周的摹对于已知两圆有等摹的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。根轴的定义：两圆等摹点的轨迹是一条直线，这条直线称为两圆的根轴性质1若两圆相交，其根轴就是公共弦所在直线由于两圆交点对于两圆的幂都是0,所以它们位于根轴上，而根轴是直线，所以根轴是两交点的连线性质2若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线（即性质1的极限情况）性质3若三圆两两不同心，则其两两的根轴交于一点，或互相

7、平行所交的这点称为根心证明：若三圆心共线，则两两圆的根轴均垂直于连心线，因此此时两两的根轴互相平行若三圆心不共线，则必成一三角形，因此两两的根轴必垂直于两两的连心线。如图，设CD与EF交于点0，连AO交圆分02圆03于B,B，则OAOB=OEOF=OCOD=OAOB“其中前两式是点0对圆02的幂，后二式是点0对圆03的幂，中间是圆0对圆01的幂进行转化由此B与B重合，事实上它们就是点B（圆02与圆03的非A的交点），由此圆幂定理是对于圆适用的定理，今使用圆幂定理对圆内接四边形判定方法的补充：圆内接四边形判定方法相交弦定理逆定理：如果四边形ABCD的对角线AC,BD交于点P，且满足PAPC=PB

8、PD，则四边形ABCD有一外接圆切割线定理逆定理：如果凸四边形ABCD一双对边AB与DC交于点P且满足PAPC=PBPD，则四边形ABCD有一外接圆这样我们就补充了两种判定方法例(射影定理)：RTAABC中，BC是斜边，AD是斜边上的咼则AD2=BDCDAB2=BDBCAC2=CDBC证明：如图，延长AD至A,如图，延长AD至A,使AD=DA,连AB,AC贝JAABC二AABC,因此ABAC+ZBAC=180(1)因此ABCA四点共圆由相交弦定理有：ADDA=AD2=BDCD(2)(3)(2)(3)A(3)同理，现证作RTAADB的外接圆，则RTAADB的外接圆圆心为E其中E是AB的中点则EA

9、丄AC,因此AC是圆ABD的切线由切割线定理有CA2=CDCB例2:垂心aabc中，三边所在的高的所在的直线交于一点证明：设BE与CF交于H,连AH延长交BC于D即证ADIBC因为ZBEC=ZBFC=90,因此B,F,E，C四点共圆同理A,F,H,E四点共圆所以ZBHD=180ZAHFZBHF=180ZAEFZEHC=180ZBZA=ZC因此D,E,C四点共圆由此ZHDC=903.Mique定理之前1,2的重要定理都是讨论关于点共圆的情况。那么反过来，圆共点的情况又如何？从最简单的开始了解，在本文之后讨论圆共点问题中，甚至其他类型的问题，加如。定理都给予莫大的便利，我们将要不止一次地用到它。先

10、看一个事实：CC如图，AABC中，AD，BE，CF分别是三边上的高，则分别以AEF，BDF，CDE作圆这三个圆共于一点，而且可以通过观察，这个点就是垂心刚好是AD，BE，CF的交点在介绍蚌/定理之后，我们将会给这题与垂心一个阐释呦吻定理：4ABC中，X，Y，Z分别是直线AB，BC，AC上的点，则AXZ,口BXY,口CYZ共于一点O这样的点0称为X，Y，Z对于AABC的如/点证明：如图，设口AXZ与口BXY交于O,连OX,OY,OZ即问题转化为证O,Z,Y,C四点共圆因为A,X,O,Z与B,X,丫，0为两组四点圆则ZAZO=180-ZAXO=BXO=180-ZBYO=ZOYC即ZOZC+ZOYC

11、=180因此O,Z,Y,C四点共圆事实上这个证明隐含着对一般证圆共点的方法在发掘Miquel定理的证明方法时可以得到一种更一般的证题方法注意这个证明只在X，Y，Z在AB，BC，AC边上时可以当在直线AB，BC，AC上时需要改一下，这里略去了。现在回到之前关于垂心的问题。为什么D,E,F关于AABC的Mqu点就是AABC的垂心证明：如图，AD,BE,CF是A4BC的三条高，垂心为H,则E,F,HD,F,HD,E,H共三组四点共圆由此可见UAEF,BDF,CDE共于一点H而H就是垂心有了Mquel定理，我们可以对垂心有一个新的看法HD是口BDF与口CDE的根轴对HE,HF同理而ZADB=ZADC=

12、90因此口BDF与口CDE的连心线平行于BC（中位线定理）因此HD垂直于BCHE,HF同理因此垂心可以被认为是这三圆的根轴的交点（根轴性质3）用同样的方法可以对内心，外心以同样的解释：由此可见，共点圆与三角形的特殊点有很大的关系，上述3种只是最简单的最容易发现的提起外心就会联想到外接圆，这里不得不提一个常用定理：正弦定理正弦定理：AABC中，外接圆半径R，则BCACAB“2.RsinAsinBsinC证明：作直径AOD，连BD则乙ABD=90,ZADB=ZACB因此在RtAABD中因此在RtAABD中ABsinZADBABsinC=AD=2R其余同理想到三角函数里面的函数名，那么自然会想到余弦

13、定理余弦定理：a2=b2+c2想到三角函数里面的函数名，那么自然会想到余弦定理余弦定理：a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=b2+a22abcosCABC中AB=c,AC=b,BC=aB证明：作BC边上的高ADCD=ACcosC=bcosCBD=BC一CD=a一bcosC因此AB2-BD2=AC2-CD2即c2-(a一bcosC)2=b2一(bcosC)2c2一a2一b2cos2C+2abcosC=b2一b2cos2C即c2=a2+b2一2abcosC其余同理接着便就是著名的费马点，它也与共点圆有关系费马点，即AABC内一点，使其到三顶点距离之和最小的点当AABC

14、任一内角都120时，费马点存在于内部，当有一内角=120时费马点与此角顶点重合设AABC中任一内角均120，则费马点F可以通过如下方法作出来：分别以AB，AC，BC向外作正，连接对着的顶点，则得事实上，点F是这3个正的外接圆所共的点而FA+FB+FC其实就是顶点到对着的正顶点的连线的长而且之后将会有一种方法计算FA+FB+FC的长度而这将会在之后进行讨论Simson定理是常用而且著名的定理，多用于证明点共线，其逆定理也成立Simson定理：P是AABC外接圆上一点，过点P作PD垂直BC,PE垂直于AB,同理PF则D,E,F是共线的三点直线DEF称为点P关于AABC的Simson线引理（完全四边

15、形的豳“定理）：四条直线两两交于A，B，C，D，E，F六点则口ABFgBCEgCDF口DAE共点先从AABF对E,C,D三点运用密克定理，贝IBCE,CDF,DAE共点DAE对B,C,F三点运用密克定理，则口ABF,BCE,CDF共点因此口ABF,口BCE,CDF,口DAE共点其中所共的点叫做完全四边形的咖/点证明：这里运用Miquel定理作为证明设PD垂直BC,PE垂直AB，延长DE交CA于F则问题等价于证明PF垂直AC连PF四边形AFCDBE是完全四边形所以由完全四边形的Miquel定理（引理）ABC,BDE,AEF,CDF共点注意到ZPEB=ZPDB所以P,B,D,E四点共圆所以口ABC

16、与口BDE交于点P和B因此完全四边形FACDBE的Miquel点非P则B而A,E,B是同一直线上三点因此A,E,F,B不可能共圆因此P是完全四边形FACDBE的Miquel点由此P,E,F,A四点共圆则ZPFA=90今逆定理证略从这个证明我们看到Mqu”定理的威力不仅在于圆共点，而且对于共点圆也同样适用在有了Simson定理之后，我们可以运用Simson定理来给予完全四边形的Miquel定理一个新的证明（即前面的引理）设BCE与CDF非C的一个交点为M,过M作MP垂直BE,MQ垂直EC,其余同理。因为M在口BCE上，由Simson定理，PQR是共线的三点同理对CDF运用Simson定理，有QR

17、S也是共线的三点因此P,Q,R,S四点共线而注意到P,Q,S是点M对44DE三边的垂直且共线欲Simson定理逆定理，得A,M,D,E四点共圆同理A,B,F,M四点共圆因此口BCE,口CDF,口ADE，ABF共点于M由这个证明，我们可以知道完全四边形的砸u”定理和Simson定理是等价的能够运用Simson定理证明的必也可用完全四边形的密克定理证明，反之亦然这样，Simson定理便与密克定理产生了莫大的关联例.如图，P为AABC外接圆上一点，作PAA丄BC交圆周于A,作丄直线交圆周于B，C同理。求证：AALIBBJCCECEC证明：设PA交BC于D,PB交AC于E,F同理，则由Simson定理

18、知，DEF三点共线由图形看来，题断三条互相平行的线均与Simson线平行，因此可以试证连PB而注意到P，B，D，F四点共圆，因此ZEDBFDBPBAPA因此AA与Simson线平行。其余同理事实上，Simson定理可以作推广，成为Carnot定理Carnot定理：通过AABC外接圆上的一点P，引与三边BC，CA，AB分别成同向等角（即ZPDB=ZPEC=ZPFB）的直线PD,PE,PF与三边或其所在直线的交点分别为D，E，F则D，E，F是共线的三点可以仿照前面的证明（这里的证明也可以运用四点共圆的判定定理与性质，再证ZDEF=180）证明留给读者，作为习题5.Ptolemy定理本文主要介绍一些

19、平面几何圆中较为重要和常用的定理，而Ptolemy定理是一个十分重要的定理，及其也有重要的推广Ptolemy定理：若四边形ABCD是圆内接四边形，则ABCD+ADBC二ACBD证明：如图,设口ABCD外接圆半径为R,连AC,过点D作A4BC各边的垂线分交AB于C；AC于B,BC于A,则由Simson定理，ABC是共线的三点因此CB+BA=CA由A,C,B,D四点共圆，且ZCAD=ZDBlC,因此AD是口ACBD的直径由正弦定理有CB=ADsinZCDB=ADsinZCABsinZBAC=BC2R所以CB=ADsinZBAC=BC2R所以CB=ADBC2R同理BA=CDAB2RACBD2R因此A

20、DBC2RCDAB2RACBD2R即ADBC=CDAB+ACBD至此，我们重新把求费马点至三顶点距离的长度和的问题提出，运用Ptolemy定理解决：BB如图，设AB=c,AC=b,BC=a由zafc=120zabc=60,有A,F,B,dZ9点共圆对口AFCB运用Ptolemy定理有FABC+FCAB=ACFB因为AACB是等边，因此FA+FC=FB所以FA+FB+FC=BB同理FA+FB+FC=AA=CC今考察ABCB，由余弦定理BB2=aBB2=a2+b2-2abcos(60+C)=a2+b2-2abcos60cosC-sin60sinC=a2+b2-abcosC一P3sinC2SABC而

21、ABC中,sinC=abcosC=a2+b2一c2代入上式有2aba2+b2-c2BB2=a2+b2-ab-2ab=a2+b2-(a2+b2一c2)+2J3sABCab2=a2+b2+C2+2朽SABC因此FA+FB+FC=心产+2吕ABC其中SUBCPp(p-a)(p-b)(p-c),p=(这里我们用到著名的求积公式a+b+cSAABC二、p(p-a)(p-b)(p-c)(其中p=)，证略).至此，本文平面几何圆的基础知识已经全部介绍完毕，这里将以著名的Chapple定理结束(只做了解)这是与圆幂定理的应用有关的定理之一Chapp%定理：殳R是AABC的外接圆半径，r是内切圆半径,d是这两圆

22、的圆心距，则d2=R2-2RrQP证明：连AI并延长交AABC外接圆于P,并作直径POQ,连BQ设内切圆与AB的切点为D,连ID,IB则在AADI与AQBP中，ZDAI=ZBQPZADI=ZQBP=90因此AADIAQBP有虫=D,即AIBP=DIPQ=2RrPQBPAIBP中，ZIBP=(/A+ZB)上BIP=/IAB+/IBA=2(/A+ZB)因此BP=IP,由此AIBP=AIIP=2R,再由圆幂定理AIIP=R2OI2=R2d2=2Rr即d2=R2一2Rr事实上Chappl定理对旁心也有相应的公式，不过是等号右边的符号-变+但对本文不提及旁心，因此略去习题第一部分（四点共圆的应用）如图，

23、在ABC中,AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q使AP=BQ.求证：ABC的外心0与A,P,Q四点共圆.（1994年全国初中数学联合竞赛二试第1题）如图，在AABC中，AB=AC,D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且ZBED二2ZCED二ZA.求证：BD二2CD.（1992年全国初中数学联合竞赛二试第2题）如图，设AB,CD为的两直径，过B作PB垂直于AB,并与CD延长线相交于点P,过P作直线与分别交于E,F两点，连结AE,AF分别与CD交于G,H求证:OG=OH.（2002年我爱数学初中生夏令营一试第2题）.p第二部分（圆幂定理的应用）如图，等边三角形ABC中，边AB与相切于点

24、H，边BC,CA与交于点D,E,F；G。已知AG=2,GF=6,FC=1.则DE=.（第33届美国中学生数学邀请赛试题改编）如图，。0和都经过点A和B,PQ切于P，交于Q,M，交AB的延长线于N.求证：PN2二MN-NQ.3N如图，已知点P是0外一点,PS,PT是0的两条切线，过点P作0的割线PAB,1111交0于A.B两点，并交ST于点C,求证：丄二上（丄+丄）.（2001年TI杯全国PC2PAPB初中数学竞赛B卷第14题）第三部分（血o颐y定理的应用）已知a,b,x,y是正实数，且a2+b2二1,x2+y2二1，求证：ax+by1.&从锐角ABC的外心O向它的边BC,CA,AB作垂线，垂足

25、分别为D,E,E设ABC的外接圆和内切圆半径分别为R,r.求证:OD+OE+OF=R+r.9.设MBC与ABC的三边分别为a,b,c与a,b,c,且zB=/B,zA+/A=180.试0证:aa=bb+cc.第四部分（曲兀定理的应用）10.证明Carnot定理11.如图,MBC的边BC上的高AD的延长线交外接圆于P，作PE丄AB于E，延长ED交AC的延长线于E求证：BCEF二BFCE+BECF.AA12设P为ABC外接圆圆周上一点,P在边BC,CA,AB上的射影分别为L,M,N令PL=l,PM=m,PN=n,BC=a,CA=b,AB=c,求证:m-n-a二l-n-b+1-m-c.（提示：应用张角

26、定理：设PABC的边BC上一点，厶BAP=a,/CAP=0,则sin(a+0)sinasin0证略)APACAB略)APAC习题解答证明：如图，连QP,OP,OA,OQ,OB要证A,O,P,Q四点共圆，考虑到视角定理，可证ZOPA=ZOQA而考虑到条件，因此可证APQ二ABQO而AP=BQ,OB=OA,ZOBQ=180-ZOBA=180ZOAB=180ZOAC=ZOAP因此AAPQ二ABQO，故ZOPA=ZOQA得证2.证明：A作ZAEB的平分线交AB于点G,则Zl二Z211=2(180-ZBED)=-1(180-ZBAC)ZABC22G,E,D,B四点共圆./.Z2=Z3故AGBD为等腰三角

27、形.设F为BD中点，连GF,则Z6=Z7过点G作GH口注意到AGABBC,叫AC与点H,连HD易知AG二AH过点G作GH口注意到AGABE,D,C,H四点共圆所以Z4二Z5Z5二Z6可知agbf仝ahcd故BF=CD,于是BD=2CD.3.证明：作FE中点C,连0C,过F作FDE口CD交AB于D,AE于E111111贝lZOCP=ZPBO=90,因此O,P,C,B四点共圆11因此ZOPC=ZOBC，而FDEnCD，因此ZOPC=ZDFC1111111因此ZOBC=ZDFC,由视角定理有111B,F,D,C四点共圆11有ZFBA=ZFCD=ZFEA11由此DCE11考虑AFEE,C是FE中点，因

28、此D是FE中点1111这样由FEDGHAO_OHAO_OHADDF即OG_OH4.解:设BD=x.CE=y对口0及点A用圆幕定理，得AH2=AG-AF=2x(2+6)=16nAH=4.ABC是正三角形-AB=AC=9BH=5同理，对口。及点B;口。及点C分别用圆幕定理，可得BDBE=25ox(9-y)=25CECD=7oy(7-y)=7解得x=5证明：对口O和N运用圆幂定理有NP2二NBNA,即证NBNA二NMNQ再对口O和N运用圆幂定理NBNA二NMNQ即得6证明：连P0交ST于点H,作OM丄PB于点M.易知点M为AB中点.11.冷(PA+PB)=(2PA+2AM)=PM.即有1(PA+PB)=PM(1)ZCMO+ZCHO=90:C,M,O,H四点共圆.PC.PM=PHPO=PS2又PS是口O切线，所以PS2=PAPB从而有PCPM=PAPB(2)将(1)带入(2),整理即得1PC1PC=2(pA1PB7证明：由题断的形式可以联想到Ptolemy定理，因此构造如图的四边形使AB=a,AD=b,BC=x,CD=y,BD=1,ZBAD=ZBCD=90则符合题设因此A,B,C,D四点共圆由Ptolemy定理有ax+by=ACBDBD2=1