测量误差和数据处理-

1、测量误差和数据处理-第1页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四主要内容测量误差的基本概念、来源及分类随机误差的分析、系统误差的分析误差的合成间接测量误差的传递与分配测量数据的处理第2页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四难点与重点重点随机误差的数据处理误差合成及传递的计算难点随机误差特性、极限误差的正确理解 正确判断误差类别第3页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四一、基本概念在一定条件下，被测量客观存在的确定值称为真值实际中，人们通常用下面方法来近似确定真值。约定真值 由计量基准、标准复现而赋予该特定量的值 采用权威组织推荐的值 某

2、量多次测量结果的算术平均值实际值，也叫相对真值,采用相应的高一级等级准确度的计量器具所复现的被测量的量值。理论值作为真值，如平面三角形内角和为180第1节 测量误差第4页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四测量器具上标定的数值称为标称值。由于制造和测量精度不够及环境等因素影响，标称值不一定等于产品的真值或实际值。实际值与标称值之差，就是产品制作误差。由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示值，也称测量器具的测得值或测量值。测量仪器的测量值与被测量真值之间的差异，称为测量误差。第5页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四单次测量、多次测量等精度测量和非等精

3、度测量等精度测量 在保持测量条件不变的情况下，对同一被测量进行的多次测量过程称为等精度测量。测量条件包括：测量中使用的仪器、测量方法、测量环境、操作者的操作步骤和细心程度等非等精度测量 测量过程中，测量条件的某项或多项因素发生变化的多次测量第6页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四二、误差表示方法绝对误差相对误差实际相对误差示值相对误差满度（引用）相对误差第7页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四绝对误差 式中，x为测得值，A0为真值，A为实际值测得值x与被测量真值A0之差称为绝对误差特点有单位的量有符号的量体现测量值与被测量的真值的偏离程度及方向第8页

4、，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四注意：对于信号源、稳压电源等供给量仪器的绝对误差为：修正值：与绝对误差大小相等、符号相反的值。用c表示，即被测量的实际值为第9页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四相对误差 实际相对误差示值相对误差满度相对误差仪表的准确度按 分为7级，等级为 去掉测量结果的准确度测量仪表的准确度第10页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四例1 用一 电压表测200V电压，绝对误差为+1V，用另一电压表测20V电压，绝对误差为+0.5V，求相对误差？分析上例中前者的绝对误差大于后者，但误差对测量结果的影响，后者却大于

5、前者。因此衡量对测量结果的影响，要用相对误差。第11页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四例2 某台测温仪表的标尺范围0500，精度等级为1.0级，已知校验时其最大绝对误差值为6，问该仪表是否合格？解： m S1.0， 不合格 该仪表实际精度等级为1.5级。根据工艺要求，合理选用仪表的精度等级；根据仪表使用情况，校验仪表精度第12页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四例3 某台01000的温度显示仪表，工艺上要求指示误差不超过7，问如何确定仪表的精度等级？解： 选择0.5级的仪表可满足要求。小结：根据测量数据校验仪表精度等级S是否合格时，m S；根据工艺

6、要求选择仪表精度等级时，m S第13页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四例4 某待测电压约为100V，现有0.5级0300V和1.0级0100V两个电压表，问用哪一个电压表测量较好？第14页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四分析此例说明，如果量程选择恰当，用1.0级仪表比用0.5级仪表测量误差还小。因此，在选用仪表时，应根据被测量的大小，兼顾仪表的等级和量程或测量上限，合理地选择仪表。为充分利用仪表的准确度，被测量的值应在仪表量程上限70%-90%为好。第15页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四例4 某蒸汽供热系统的蒸汽压力控制

7、指标为1.5MPa，要求指示误差不大于 0.05MPa，现用一只量程范围为0 2.5MPa，精度等级为2.5级压力表是否满足使用要求 ？为什么？如果不满足，应选用什么级别的仪表？ 解： 2.5级的压力表不能满足要求 因此，量程范围为0 2.5MPa时，应该选用精度等级为1.5的压力表第16页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四某人使用某种仪器根据某种方法在某种环境中进行测量人身误差仪器误差方法误差环境影响误差第2节 测量误差的来源及分类所有测量环节均可能带来误差第17页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四误差分类系统误差随机误差粗大误差第18页，共89页

8、，2022年，5月20日，12点24分，星期四系统误差系统误差：多次等精度测量同一恒定量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或条件改变时，按某种规律变化的误差。系统误差通常在测试之前就已经存在。例如，电压表示值的偏差等。分类恒值系差变值系差：累进系差、周期性系差、复杂规律的系差特点：有规律性，它不能依靠增加测量次数来加以消除，一般可通过试验分析方法掌握其变化规律，并按照相应规律采取补偿或修正的方法加以消减。第19页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四N(t)AxN(t)AxN(t)AxN(t)Ax只有随机误差累进系统误差恒定系统误差周期性系统误差第20页，共89页，2022年

9、，5月20日，12点24分，星期四随机误差（偶然误差）随机误差：对某一恒定量值多次等精度测量时，误差的大小和符号是以不可预定的，称为随机误差。是具有不确定性的一类误差。特征：单次测量没有规律，足够多次等精度测量总体呈现统计规律，多数服从高斯（GASS）分布，也称正态分布统计特点：有界性； 单峰性；对称性；抵偿性第21页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四粗大误差粗大误差：测量误差明显地超出正常值，由于测量人员的疏失或测量条件突变所致，又疏失误差或过失误差含有过失误差的测量数据是不能采用的，必须利用一定的准则从测得的数据中剔除。如数据处理中常采用的莱特法则（ 3原则）或格拉布

10、斯准则。第22页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四引起误差的主要因素因素系统误差随机误差测量方法依据近似的计算公式;采用近似的测量方法;设计、工艺测量基准不一致等测量仪器标准器具或仪器由于设计、制造、装配、调试和使用等造成的缺陷仪器零件形状、尺寸、运动链的间隙、摩擦、磨损及元器件性能不稳定测量环境温度、湿度、气压、振动、电磁场等按一定规律变化的干扰多种环境因素同时变化的综合影响测量人员生理特点或不良习惯造成的观测偏差工作不细心，致使在观测、操作等方面造成的随意性差错第23页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四三种误差的处理粗大误差 确认误差，测量结果剔

11、除或者重测系统误差 找出误差，修正测量结果随机误差 不可避免，处理测量结果 粗大误差和系统误差应尽量避免，随机误差不可避免第24页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四第3节 随机误差分析 就单次测量而言，随机误差没有规律，但当测量次数足够多时，则服从正态分布规律，随机误差的特点为对称性、有界性、单峰性、抵偿性。f()第25页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四问题 测量总是存在误差，而且误差究竟等于多少难以确定，那么，从测量值如何得到真实值呢？ 例如，测量室温，6次测量结果分别为19.2，19.3，19.0，19.0，22.3，19.5，那么室温究竟是多

12、少呢？ x=A，置信概率为p 测量值x落在A-， A+区间内的概率为p。 A和如何确定呢？第26页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四一、测量值的数学期望和标准差1数学期望 对被测量x进行n次等精度测量，得到n个测量值x1，x2，x3，xn。则n个测得值的算术平均值为：第27页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四 当测量次数 时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望。 当测量次数 时，测量值的数学期望与被测量的真值的关系?分析：第28页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四根据随机误差的抵偿特性，当 时 =0，即所以，当测量次数 时，

13、测量值的数学期望等于被测量的真值。第29页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四2剩余误差（残差） 当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差，称为剩余误差或残差。 数学表达式：对上式两边求和得：由此可得：剩余误差得代数和为0。实际测量中，多次测量值的算术平均值作为测量结果，称为被测量的最佳估值或最可信赖值。第30页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四4标准差（标准偏差，均方根误差） 方差开平方得： 反映了测量结果的精密度，小表示精密度高，测得值集中，大，表示精密度低，测得值分散。3. 方差第31页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四(

14、)f()二、随机误差的正态分布定律高斯于1809年推导出描述随机误差统计特性的解析方程式，称高斯分布规律。随机误差标准差曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率。第32页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四()f()例如：第33页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四绝对值越小， 愈大，说明绝对值小的误差出现的概率大。单峰性对称性和抵偿性大小相等符号相反的误差出现的概率相等。从正态分布曲线可看出：()f()第34页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈大，正态分布曲线愈平缓。说明反映了测量值的精密度。第35页

15、，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四三、随机误差的表达形式1、剩余误差（vi）2、标准差（）第36页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四3、极限误差（） 即随机误差绝对值大于3的概率很小，只有0.3%，出现的可能性很小。因此定义： 有界性标准差反映了被测量n次等精度测量结果的分散性，即一个测量列的精密度。几何意义：正态分布曲线上拐点的横坐标莱特准则第37页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四四、标准偏差的计算采用残差代替随机误差有限次测量标准误差的最佳估计值（近似标准误差）贝塞尔公式标准差：适用条件：n1第38页，共89页，2022年

16、，5月20日，12点24分，星期四2. 算术平均值标准误差的最佳估计值 （近似平均值标准误差）1. 算术平均值的标准误差五、算术平均值的标准差第39页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四六、有限次测量下测量结果计算步骤2）计算算术平均值 、 、 ；3）计算 和 置信概率0.9973 置信概率0.9545置信概率0.68274）给出最终测量结果表达式：1）列出测量数据表第40页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四第4节 系统误差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累进系统误差恒值系统误差周期性系统误差一、分类恒值系统误差 变值系统误差第41页，共89页

17、，2022年，5月20日，12点24分，星期四一列等精度测量值x1，x2，xn，若测量值中含有系统误差i，消除系统误差后其值为，则其算术平均值为测量值的残差为即第42页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四、对于恒值系统误差用残差计算测量列的标准差为性质1恒值系统误差的存在，只影响测量结果的准确度，不影响测量结果的精密度第43页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四、对于变值系统误差则，性质变值系统误差的存在，不仅影响测量结果的准确度，而且影响测量结果的精密度一般第44页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四二、系统误差处理的一般原则 在测

18、量之前，应该尽可能预见到系统误差的来源，设法消除或使其减小到可以接受的程度测量设备、试验装置的不完善，或安装、调整使用不当引起的误差，如测量仪表未经校准投入使用由于外界环境因素的影响而引起的误差，如温度漂移、测量区域电磁场的干扰等由于测量方法不正确，或测量方法所赖以存在的理论本身不完善引起的误差，如使用惯性大的仪表测量脉动参数第45页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四二、系统误差处理的一般原则 在实际测量时，尽可能地采用有效的测量，消除或减弱系统误差对测量结果的影响零示法替代法如电桥测量电阻反向补偿法如恒温箱热惯性引起的系统交换法半周期法消除周期性变化的系统第46页，共8

19、9页，2022年，5月20日，12点24分，星期四1零示法第47页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四2替代法（置换法）：在测量条件不变的情况下，用一标准已知量替代待测量，通过调整标准量使仪器示值不变，于是标准量的值等于被测量。这两种方法主要用来消除恒值系统误差。第48页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四二、系统误差处理的一般原则 在测量之后，通过对测量值的数据处理，检查是否存在尚未注意到的变值系统误差累进性系统误差的判定周期性系统误差的判定第49页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四变值系差的判定累进性系差的判别马利科夫判据方法：

20、把n个等精度测量值所对应的残差按测量顺序排列，并分成两部分求和，再求其差值D。n为偶数时，n为奇数时，判断：若D值明显不等于0，则说明测量数据含有累进性系差。第50页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四变值系差的判定周期性系差的判别阿贝-赫梅特判据方法：把n个等精度测量数据按测量顺序排列，对应的残差两两相乘，再求和的绝对值，并与测量值标准偏差的最佳估计值比较，若判断：若上式成立，则可认为测量数据含有周期性系差。第51页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四二、系统误差处理的一般原则 用修正的方法消除系统误差 通过自动测试和智能化处理消误差除人员第52页，共

21、89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四一、间接测量的误差传递研究函数误差一般有以下三个内容：已知函数关系及各个测量值的误差，求函数：即间接测量的误差。已知函数关系及函数的总误差，分配各个测量值的误差。确定最佳测量条件，使函数误差达到最小。 第5节 间接测量的误差传递与分配第53页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四1函数误差传递的基本公式假设间接测量的数学表达式为：将上式按泰勒级数展开直接测量值间接测量值第54页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四略去高阶项间接测量的相对误差：间接测量的绝对误差：第55页，共89页，2022年，5月20日，

22、12点24分，星期四2间接测量的标准差部分误差已知各个直接测量的标准差 ， ， ，则间接测量量y的标准差为： 第56页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四3间接测量的误差传递公式已知各个直接测量的标准差最值估计值为 ， ， ，则间接测量量y的标准差最佳估计值为： 取y的极限误差 ，则y的绝对误差为第57页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四y的相对误差为间接测量量误差传递公式第58页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四二、常用函数的误差传递和、差函数的误差传递积函数的误差传递商函数的误差传递幂函数的误差传递第59页，共89页，2022

23、年，5月20日，12点24分，星期四（1）和、差函数的误差传递 设 ， 则绝对误差若误差符号不确定：相对误差：第60页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四 设 ， 则绝对误差若误差符号不确定：相对误差：（2）积函数误差传递第61页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四设 ，则绝对误差相对误差：若误差符号不确定：（3）商函数误差传递第62页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四 设 ，则绝对误差相对误差：若误差符号不确定：（4）幂函数的误差传递第63页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四例5 已知：R1=1k，R2=2

24、k， ， ， 求 。解：结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的相对误差保持不变。第64页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四 例6 温度表量程为100，精度等级1级，t1=65，t2=60，计算温差的相对误差。解1： 结论：对测量值相近的差函数，相对误差可能很大第65页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四例 已知 ， ， ， ，求 。解：第66页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四三、间接测量的误差分配解决误差分配问题。通常采取的方法为 等作用原则，调整原则。所谓等作用原则，即假设各直接测量的部分误差相等D1=D2=Dn即按照等作用原

25、则进行误差分配并不合理，在实际应用中，有些量达到高精度测量比较困难，要付出很高代价，而有些则相对较容易。故需要根据实际情况进行调整。 则第67页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四 例 散热器装置： ，设计工况L=50L/h，进出口温差 。要求散热量测量误差不大于10，如何分配误差并选择测量仪表？ 分析：直接测量量为流量L，散热器进出口温度t1、t2。间接测量量为热量Q。要求测量误差10%。第68页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四按照等作用原则，可得流量及温差的标准误差为7.1%。再根据实际情况选择调整。按照题意，误差应写成极限误差的形式。即第69页

26、，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四 第6节 误差的合成 由多个不同类型的单项误差求测量中的总误差是误差合成问题。1、随机误差合成 若测量结果中有k个彼此独立的随机误差，各个随机误差互不相关，各个随机误差的标准差分别为1、2、3、k，则随机误差合成的总标准差为：第70页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四若以极限误差li表示，则合成的极限误差为： 当随机误差服从正态分布时，对应的极限误差为： 第71页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四2、系统误差的合成1）确定的系统误差的合成 绝对值合成法：代数合成法：方和根合成法：(m10)第72

27、页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四2）不确定的系统误差的合成各系统不确定度eP线性相加方和根合成法由系统不确定度ep算出标准差p，再取方和根合成第73页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四3、随机误差与系统误差的合成随机误差确定的系统误差不确定的系统误差测量结果综合误差第74页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四加减法运算以小数点后位数最少的数为准乘除法运算以有效数字位数最少的数为准乘方、开方运算结果比原数多保留一位有效数字。第7节 测量数据的处理一、有效数字的处理1有效数字：从数字的左边第一个不为零的数字起，到右面最后一个数字（

28、包括零）止。2舍入原则：小于5舍，大于5入，等于5时采取偶数法则。12.5写作12；13.5写作143 有效数字的运算规则：运算时各个数据保留的位数一般以精度最差的那一项为基准。第75页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四二、等精度测量结果的处理 处理步骤 1）利用修正值等方法对测得值进行修正；将数据列成表格。3）列出残差： ，并验证2）求算术平均值：4）计算标准偏差：第76页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四5）按照 原则判断测量数据是否含有粗差，若有则予以剔除并转到2）重新计算，直到没有坏值为止。6）根据残差的变化趋势判断是否含有系统误差，若有应查明原因，消除后重新测量。7）求算术平均值的标准偏差：8）写出最终结果表达式：第77页，共89页，2022年，5月20日，12点24分，星期四例10用某水银玻璃棒温度计测量室温，共进行了16次等精