高三数学特殊数列求和数列极限的意义及运算数列极限的应用数学归纳法归纳猜想证明知识精讲 2

1、高三数学 特殊数列求和,数列极限的意义及运算,数列极限的应用,数学归纳法,归纳 猜想,证明 学问精讲 一. 特殊数列求和： 1. 概念： 这里所指的“特殊数列”是指中学阶段能够求和的数列,包括：等差,等比数列,常 数列,自然数列,自然数的平方数列,自然数的立方数列,项部分相消数列等；数列求和, 就是通过一些手段将数列转化为上述这些特殊数列而达到求和的目的； 2. 常用求和公式 （ 1）等差： Sn na1 an na1 nn 1 d22na 1 q 1 （ 2）等比： Sn a 1 n q q 1 1qn1nn 1 （ 3） i2i 1 （ 4） ni2nn 1 2n 1 i 1 6（ 5）

2、ni3nn 21 2 i 1 3. 常见数列求和的方法大致有五种如： 直接由求和公式求和 （如等差, 等比数列的求和） , 裂项分组求和,裂项相消求和,错位相减求和,倒序相加求和； （ 1）在求等比数列前 n 项和 Sn 时,确定要留意分清公比 q 1 仍是 q1； （ 2）裂项法的关键是争论通项公式,裂项的目的是转化成几个等差或等比数列或自然 数的平方组成的数列求和,或者正,负相消； （ 3）错位相减法求和, 主要用于一个等差与一个等比数列相应项相乘所得的数列求和； （ 4）含有组合数的数列求和,留意考虑利用组合数的性质公式求和或利用倒序相加求 和； （ 5）三角函数求和考虑裂项相消求和或利

3、用复数转化为等比数列求和； 学习时,仍要留意归纳总结一些常见类型的数列求和方法； 二. 数列极限的意义及运算 1. 数列极限的概念 对于数列 an ,假如存在一个常数 A ,无论预先指定多么小的正整 都能在数列中找 到一项 a N 使得这一项后面的全部项 an 与 A 的差的确定值都小于 ,（即当 n N 时,恒 有 |an A| 成立）,就把常数 A 叫做数列 an 的极限,记作： n lim a n A ； 2. 数列极限概念的懂得 懂得数列极限的概念要留意以下几点： （ 1）A 与 n 无关,A 与 无关,A 与 N 无关；A 是否存在以及 A 的值确定, 由数列 an 来准备； （ 2

4、）N 与 n 无关, N 与 有关,一般来说, 的值不同, N 也不同；另一方面 N 并不 第 1 页,共 10 页惟一, 由于假如 N 具有该性质, 考察数列的极限时并不需要找出 （ 3）定义的核心是“对一切 那么 N 1, N2 , , N k k N 都具有该性质, N 的最小值； nN ,都有 |an A| ”这个不等式成立,也就是有 A an A ,这里“ 0 ”是“任意预先给定”而不是“存在”一个 0 ； （ 4）有穷数列无极限,数列极限的争论对像是无穷数列； （ 5）不是全部的无穷数列都有极限；假如一个数列有极限,那么其极限也只有一个； 3. 数列极限四就运算 p 4. 假如 l

5、im an nA, lim bn nB ,那么 （ 1） lim a n nb A B （ 2） lim a b nA B （ 3） lim nan A B B 0 bn（ 4） lim c nan c A （ c 为常数） k （ 5） lim a nk A （ k 为常数） 几个常用极限及其应用 （ 1） lim c nc（ C 为常数） （ 2） n lim 10n0 1 q 1 （ 3） lim q nn1q 1 无 |q| 1 或 q 1 0m （ 4） lim nm a0 n m 1 a1 n am a 0 m p b 0n p p 1 b n apb0无 m p（ 5） lim

6、an nlim an 1 （无穷数列） n三. 数列极限的应用 1. 数列的各项和的概念 无穷数列各项的和,它的实质是前 n 项和 Sn 的极限； 0 ）,要留意公式的含义及适 2. 无穷递缩等比数列的各项和公式 S a1| q| 1 1q3. 无穷递缩等比数列各项和存在的充要条件是 |q| 1（ q 用范畴； 4. 综合运用 （ 1）化循环小数为分数,基本方法是转化为无穷递缩等比数列的各项和； （ 2）求某些特殊数列的各项和； （ 3）与几何图形有关的应用问题； 第 2 页,共 10 页基本解题思路是：第一结合图形分析相邻图形的依靠关系,论证所求问题可否组成一 个无穷等比数列,且公比确定值小

7、于 1,然后代入运算； 四. 数学归纳法 用数学归纳法证明命题的具体步骤是： （ 1）证明当 n 取第一个初始值 （ 2）假设当 n k k N且 k 成这两个步骤后,就可以确定命题对从 n0 （例如 n 0 1, n0 2 等）时,结论正确； n0 时结论正确,证明当 n k 1 结论也正确；在n n0 开头的全部的自然数 n 都正确； 完 上面的证明第一步是递推基础,其次步是递推的依据,两者缺一不行； 五. 归纳,猜想,证明 1. 懂得归纳法的意义 由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方 法通常叫做归纳法； 2. 懂得不完全归纳法与数学归纳法之间的关系 本节是不完全归纳法与数学归纳法

8、并 举,简洁而快速的运算是抽像的前提,常见的等 差,等比数列的有关结论是抽像的桥梁,而运用数学归纳证明才是抽像的归宿； 3. 把握归纳推理的思维方法 求解某些数学问题而不能直接找到解题途径,可先考查几 个连续的初始特例；归纳出 规律,猜想结论,这是关键,规律的发觉要凭借体会,有时仍要合理变形； 例 1. （ 2022全国） a,4, 3a,前 n 项和为 Sn , Sk 2550 已知等差数列前三项为 （ 1）求 a 及 k 的值； （ 2）求 lim n111a, a2 4, a 3 3a S1 S2 Sn 解析：（ 1）设等差数列为 an ,就 a1 Sk 2550 由已知有 a3a 2

9、4解得 a 1 a2公差 d a 2 a1 2代入公式 Sk k a1 k k 1 d得： 22k k k 1 22整理得 k k 22550 2550 0k 50, k 51 （舍去 k N） 故 a 2, k 50 （ 2）依据（ 1）的结果及等差数列求和公式可求得 第 3 页,共 10 页Sn nn 1 1 1 1 1Sn nn 1 n n1S1 1S2 1Sn 1 1 1 2 1 2 13 1n n 11 1n 1 1lim n Sn 1 S2 1Sn 1 1例 2. （ 1994 全国理 25） 设 an 是正数组成的数列, 其前 n 项和为 Sn ,并且对全部自然数 n, an 与

10、 2 的等差中 项等于 Sn 与 2 的等比中项； （ 1）写出数列 an 的前三项； （ 2）求数列 an 的通项公式（写出推证过程）； （ 3）令 bn 1 an 2 an 1an an 1 n N ,求 lim b1 n b2 bn n an 2 解：（ 1）由题意 2 S , a n 02令 n 1 时, a1 22S1 , S1 a1 2解得 a1 2a2 2令 n 2 时,有 2S2 , S2 a1 a2 2解得 a 2 6令 n 3 时,有 a 3 22 S , S 3 a 1 a 2 a 32解得 a 3 10 故该数列的前三项为 2, 6, 10 （ 2）解法一： 由（ 1）

11、猜想数列 an 有通项公式 an 4n 2 ； 下面用数学归纳法证明数列 an 的通项公式是 an 4 n 2n N 1 当 n 1 时,由 4 1 2 2 ,又在（ 1）中已求得 a1 2 ,所以上述结论正 确； 于 2 假设 n k 时,结论正确,即有 ak 4 k 2ak 2由题意有 2 S 得 a k 4k 2 代入上式,得 2k 2S k 22解得 Sk 2 k 由题意有 a k 1 22S k 1,S k 1 S k a k 1 2得 Sk 2k 2 代入得 ak 12 2 2 2 ak 1 2 k 2 2 2整理 a k 1 4ak 1 4 16 k 0由于 ak 1 0 解得

12、ak 1 2 4 k 第 4 页,共 10 页所以 ak 124k 4 k 1 22 2 这就是说 n k 1 时,上述结论成依据 1 , 2 上述结论对全部自然数 n 成立； 解法二：由题意有 an222S n Z 整理得 Sn 1an 2 2 8由此得 Sn 11an 12 2 8所以 an 1Sn 1Sn 1 an 12 2 an 8整理得 an 1an an 1an 4 0由题意知 an 1an0所以 an 1an 4 即数列 an 为等差数列 其中 a1 2 ,公差 d 4所以 an a1 n 1 d 2 4n 1 即通项公式 an 4n 2（ 3）令 cn bn 1 ,就 cn 1

13、 2 an 1an 2 an an 11 2n 1 2 2n 11 2n 11 2n 1112n 12n 1 b1 b2 bn n c1 c2 cn 1 1 3 1 31111 1 52n 2n 11112n 所以 lim b1 nb2 bn n lim 1 n112n 说明：该题的解题思想是从所给条件动身,通过观看,试验,分析,归纳,概括,猜 想出一般规律,然后再对归纳,猜想的结论进行证明,对于自然数 n 的命题,可以考虑用 数学归纳法进行证明,该题着重考查了归纳,概括和数学变换的才能； 例 1. 某城市 20XX 年末汽车保有量为 30 万辆,估量此后每年报废上一年末汽车保有量 的 6%,

14、并且每年新增汽车数量相同,为爱惜城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 辆 解： 20XX 年末汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 ,每年新增汽车 x 万辆,就 b1 30 ,b2 b1 0.94 x ,对于 nb2 万辆, b3 万 1 ,有 第 5 页,共 10 页bn 1bn x x b1 30 bn 121 0.94x bn 1b1 nx1 n1b1 n1nx x 30 x n当 30 x 0 ,即 x 1.8 时, bn 1bn x 当 30 0 ,即 x 1.8 时 lim bn nlim nx 30 x n 1 0

15、.94 并且数列 bn 逐项增加,可以任意靠近 x 因此,假如要求汽车保有量不超过 60 万辆,即 bn 60n 1, 2 , 3, 就 x 60 ,即 x （万辆） 综上,每年新增汽车不应超过 万辆 例 3. （ 2022 天津理 22） a1 已知 an 是由非负整数组成的数列,中意 3, 4, 5 0 , a 2 3, an 1 an an 12 an22, n （ 1）求 a 3 ； （ 2）证明 an an 22 , n 3, 4 , 5 （ 3）求 an 的通项公式及其前 n 项和 Sn ； 解：（ 1）由题意得 a3 a4 10 且 a 3, a4 均为非负整数 所以 a 3 的

16、可能的值是 1, 2, 5, 10 3如 a3 1,就 a4 10, a 5 与题设冲突； 235 如 a3 5 ,就 a4 2, a5 与题设冲突； 23如 a3 10, a 4 1, a5 60, a 6 与题设冲突； 5所以 a 3 2（ 2）用数学归纳法证明； 当 n3, a 3 a1 2 等式成立； ak a k 22假设当 nk k 3 时等式成立,即 由题设 ak 1ak ak 12 ak 22 由于 ak 1ak 21220所以 ak 12 成立 ak 也就是说当 nk 1 时,等ak 1ak 式 第 6 页,共 10 页由（ 1）（ 2）得对于全部 n3 ,有 an 1an

17、122 , a2 3（ 3）由 a 2k 1 a2 k 1 2 , a 10 及 a 2k a2 k 1 得 a2 k 12k 1, a2 k 2 k 1, k 1, 2 , 3, 即 an nn 1 , n 1, 2 , 3, 所以 Sn 1 2n n 1 ,当 n为偶数 1 n n 21 1, 当 n为奇数 说明：此题主要考查数列与等差数列前 决问题的才能； n 项和等基础学问,以及精确表述,分析和解 1. 设数列 an 中意： a1 a2 1, a 3 2 , an an 1 an 2 an 3 an an 1 an 2 an 3, 100 n 1 ,且 an an 1 an 2 1 对

18、一切 n 都成立,试求： S100 ai 之值； i12. 已知数列 an 的首项 a1 3 ,且对任意自然数 n 都有 2n n 1 ； an an 1（ 1）求 an ； 1（ 2）设 bn a1 a2 a3 an ,求数列 bn 的前 n 项和； 13. 设 an 为无穷等比数列且 lim n a 2 a 3 an 4,就首项 a1 的取值范畴是 （ ） A. , 2 1 B. 0, 1 1C. , 0 D. , 0 , 2 24. 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 1 an 2 2 ,如 b n 1 n S n ； （ 1）求数列 bn 的前 n 项和 Tn 的表达

19、式； （ 2）如 lim bn 的极限存在,试求此极限； n T n1 15. 设正数数列 an 的前 n 项的和为 Sn ,通项为 an ,且知 Sn 2 anan ,用数学归 纳法证明： an nn12 ,且 an 121n N6. 已知数列 an 中意 a1 b, b an （ 1）试将 an 表示为 b 的函数； （ 2）试求 lim a a a n 3 a 第 7 页,共 10 页1. 由已知条件有：对任何 参考答案 n 1, an an 1 an 2 an 3an an 1an 2an 31 8 而 an 1 an 2 an 3 an 4 an 1an 2an 3an 4 2 a1

20、 a 2 a 3 a 4 1 2 得 an 1 an 2 an 3 an an 4 an an 4即 an an 4 an 1an 2 an 31 0而由已知 an 1an 2 an 3 1 知 an 4an n 1 即 an 是以 4为周期的数列,又一个周期内各项之值 100 25 4 故 S100 25 8200 2. （ 1）由已知得 an an 121 1 2 n1n n n1a2 a1 a1 3an an 1 an 1an 2 2 1 nn1 1 11 1 21 n 1 n2n2n（ 2）由于 a1a 2a 3 an 345n1nn21 21 n 23n11n 2 所以 bn n 22 1 2 n1n121 n 所以 Sn b1 b2 bn 1 2 21 3 11 4 11 3n1n2nn2 3. D lim a 2 na3 a4 11| 14 an 的公比 |q| 1a2 101 | 4a1 1q4a1q 即 1q1 4q114a1 解得 a1 1或 a1 2应选 D4. （ 1） Tn n 1 nn 1 2第 8 页,共 10 页（ 2） 2 2 0略解：（ 1）由 a1 S1 1 a1 22 得 a1 1设 an 的公差为 d,就 S2 1 a 2 2 得 d 2 或 d2如 d2 ,就 a3 12 2 3, S2