二章节静电场课件

1、第二章 静电场本章重点：本章难点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法分离变量法（柱坐标）、电多极子第二章静 电 场静电场的基本特点： 边值关系： 等均与时间无关 （ ， 为唯一解） 不考虑永久磁体（） 基本方程：介质分界面上的束缚电荷： 电磁性质方程： 静电平衡时的导体： 导体内外表面 电荷分布在表面上，电场处处垂直于导体表面 均匀各向同性线性介质：1静电势的引入一、静电场的标势静电场标势简称电势 取负号是为了与电磁学讨论一致 满足迭加原理 的选择不唯一，相差一个常数，只要 即可确定 知道2、电势差 空间某点电势无物理意义，两点间电势差才有意义电势差为电场力将单位正电荷从P移到Q点所作功负值

2、电场力作正功，电势下降 电场力作负功，电势上升 两点电势差与作功的路径无关 参考点 通常选无穷远为电势参考点 （1）电荷分布在有限区域，P点电势为将单位正电荷从P移到电场力所做的功。（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考 点，否则积分将无穷大。 3、电荷分布在有限区几种情况的电势 （1）点电荷 （2）电荷组Qf 产生的电势 产生的电势 （3）无限大均匀线性介质中点电荷 点电荷在均匀介质中的空间电势分布（Q 为自由电荷） （4）连续分布电荷 二、静电势的微分方程和边值关系 电势满足的方程 适用于均 匀介质 泊松方程 导出过程 拉普拉斯方程 适用于无自由电荷分布 的均匀介质2静电势的边值关系

3、 (1) 两介质分界面0 P Q由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系。 （2）导体表面上的边值关系导出过程： 该公式只适合于静电场情况。能量不仅分布在电荷区，而 且存在于整个场中。 解：均匀电场可看作由两无限大平行板组成的电容器产生的电场。因为电荷分布在无穷区域，可选空间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势 四、例题 求均匀电场 的电势 x y z P R 同理 平面为等势面（Z = 0的平面）。 求近似值：若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）： 注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑

4、介质 ，而用真空中的 。这由 决定。 均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设 为束缚电荷， 56页例2 （自学）4带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。根据对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也应具有球对称性。当考虑较远处场时，导体球可视为点电荷。 满足 aQP此题也可用高斯定理（积分形式）求解。 = = 第二章第二节唯一性定理2.2 唯一性定理、泊松方程和边界条件二、唯一性定理的内容三、唯一性定理的意义主要内容内边界条件为边值关系注：在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含

5、在所求区域V内。导体面上的边界条件可视为外边界条件。 ：V内两介质分界面上自由电荷为零二、唯一性定理1均匀单一介质 电场）唯一确定。分布已知， 满足 若V边界上 已知，或V边界上 已知，则 V 内场（ 静 区域内证明： 假定泊松方程有两个解 ，有 在边界上 令 （1）若给定的是第一类边值关系 即常数为零。 电场唯一确定且 电势也是唯一确定的。虽不唯一，但电场（2）若给定的是第二类边值关系 常数， 相差一个常数， 是唯一确定的。 介质分区均匀（不包含导体） 已知， 成立，给定区域 或 。在分界面上， 或 V 内（证明见书P60）sv区域V内电场唯一确定 均匀单一介质中有导体（证明见教材） Q2

6、Q1 SS1 S2 V（或 Q1、Q2 ）为已知，则区域 V 已知， 或、内电场唯一确定。当，求 内的电势。导体中三、唯一性定理的意义更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。四、应用举例 半径为a的导体球壳接地 壳内中心放置一个点电荷 Q，求壳内场强。解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地 因而腔内场唯

7、一确定。 Q 不满足 已知点电荷产生的电势为 但它在边界上要使边界上任何一点电势为0 ， 设 它满足 根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。 可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。 解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。 假定电场也具有球对称性，则电势坐标与 无关。因电荷分布在有限区，外边界条件 导体表面电荷Q已知，电场唯一确定。设 满足 ， 带电荷Q 的半径为a 的导体球放在均匀无限大介 质中，求空间电势分布。 在导体边界上 3两种均匀介质（ 和 ） 充满空间，一半 径 a 的带电Q导体球放 在介质分界面上（球心 在界面上），求空间电 势分布。Q利用 场对称 对称性分析：场仍对称

8、！ 在两介质分界面上：束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。而在介质分界面上 ，所以可考虑球外电场仍具有球对称性。 试 探 解 QPS2 S1 给定，所以球外场唯一确定。 解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区 导体上Q确定常数 在介质分界面上 下半空间 上半空间 导体球面上面电荷分布： 下半球面上均匀分布 上半球面上均匀分布 束缚电荷分布：其他实例：Q左半空间电势？Q球壳外空间电势？第二章第三节分离变量法2. 3 拉普拉斯方程的解 分离变量法、分离变量法的适用条件四、应用实例（习题课）三、解题步骤二、拉普拉斯方程的解在坐标系中

9、的形式1、空间 ，自由电荷只分布在某些介质（或导 体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用 拉普拉斯方程。一、拉普拉斯方程的适用条件2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的和，即 ， 为已知自由电荷产生的电势， 不满足 ， 为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程但注意，边值关系还要用 而不能用二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式1、直角坐标 （1）令 令（2）若 （3）若 ，与 无关。 注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件， 将与某些正整数有

10、关，它们可取1，2，3， ，只有对它们取和后才得到通解。 柱坐标 讨论 ，令 有两个线性无关解 、单值性要求 ， 只能取整数，令 若 ， 3球坐标 缔合勒让德函数（连带勒让德函数） 若 不依赖于 ，即 具有轴对称性，通解为 -为勒让德函数 若 与 均无关， 具有球对称性， 通解：三解题步骤 根据具体条件确定常数选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解；（1）外边界条件： 电荷分布有限 注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定 （接地 ），或给定总电荷 Q，或给定

11、。电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如 （直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。 均匀场中，（2）内部边值关系：介质分界面上 一般讨论分界面无自由电荷的情况 四应用举例1、两无限大平行导体板，相距为 ，两板间电势 差为V (与 无关)，一板接地，求两板间的 电势 和 。xyOVZ解：（1）边界为平面，故应选直角坐标系 下板 ，设为参考点 （2）定性分析：因在 （常数），可考虑 与 无关。 (4) 定常数： (5) 电场为均匀场 常数 电势：(3) 列出方程并给出解： 方程的解： 一对接地半无限大平板，相距为 ，左端有一极板电势为 V（常数），求两平行板之间的电势。x y z V解：（1

12、）边界为平面，选直角坐标系；上、下两平板接地，取为参考点；且当 （2） 轴平行于平板，且 与 无关，可设 （3）确定常数 A，B，C，D，k 通解 两边同乘 并从0 b积分： （m = 奇数） （m = 偶数） 令 半径 a，带有均匀电荷分布 的无限长圆柱导体， 求导体柱外空间的电势和电场。解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导体面 r = a 处，即 选柱坐标系。对称性分析： 导体为圆柱，柱上电荷均匀分布， 一定与 无关。 柱外无电荷，电场线从面上发出后，不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿 方向，可认为与z无关， x y z o r 当 r = a 时

13、， 在导体面上 补充题1长方形盒的长为A、宽为B、高为C，上盖电位为 ，其余接地，求盒内的电位分布。 CAB补充题2无穷长导体圆筒，半径为a，厚度可以忽略不计。圆筒分成相等的两个半片，相互绝缘。其中的一半的电位为 ，另一半电位为 ，求圆筒内的电位分布。4一半径为 a，介电常数为 的无 限长电介质圆柱，柱轴沿 方 向， 方向上有一外加均匀电 场 ，求空间电势分布和柱面 上的束缚电荷分布。 解：(1)边界为柱面,选柱坐标系。均匀场电势在无穷远处不为零，故参考点选在有限区域，例如可选在坐标原点常数（或0） x y z O (2) 考虑对称性电势与z无关，设柱内电势为 ，柱外为 它们分别满足 , 。通

14、解为： (3) 确定常数 因为有外加均匀场，它们对x轴对称，可考虑 、 也 相对x轴对称（ 为偶函数），所以 中不应包 含 项，故：、 均为零。 常数（或零），有限，故中不应有 项 。 （均匀场电势）， 中不含 项），得 （因此 时， 两边 为任意值， 前系数应相等（ ）（4）解为 （5）求柱内电场： 仍沿x方向 Z（6）柱面上束缚面电荷分布 （7）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解，或令 5如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，用分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。 解：(1)边界为球形，选球坐标系，电荷分布在有限区，选 若将Q移到壳上，球接地为书中P64例题 （

15、2）设球壳内为I区，壳外为II区。 球壳内:球壳外 电荷在球上均匀分布，场有球对称性， 与 无关 III（3）确定常数 导体壳为等势体 在导体壳上 （4） （5）球壳上的感应电荷 壳外面 壳内面 以上结果均与高斯定理求解一致。R0 z 6均匀介质球（介电常数为 ）的中心置一自由电偶极子 ，球外充满另一种介质（介电常数为 ），求空间各点电势和束缚电荷分布。解: (1) 与 的边界为球面，故选球坐标系，电荷分布在有限区，选(2)设球内电势为 ，球外电势为 ,球外无自由电荷分布，电势满足 。但球内有自由偶极子，不满足拉普拉斯方程，但满足泊松方程。考虑偶极子使介质极化，极化电荷分布在偶极子附近和球面上

16、。自由偶极子在介质中产生的电势所以 满足 还可设 为简单令 考虑轴对称： （3）确定常数 R0， 有限 R 边值关系 并注意到 比较 的系数，得 （4）电势解为 （5）球面上束缚（极化）电荷分布 补充题3 一半径为R0的球面，给定球面上任意一点 P 的电势 ， 为常数，求面内外的电势分布。R0 P O答案：注意：答案：作业： 1、2、4、5 补充题 3、4 选作：6 *、补充题 1、2补充题4 有一半径为 a 的无限长圆柱导体，柱轴沿 方向，沿 方向上有一外加均匀电场 ，求空间电势分布（球外为真空）和面电荷分布（令柱面处电势为零）。x y z O 第二章第四节镜 象 法2.4 镜 象 法重点掌

17、握： 1、镜象法的基本概念 2、求解电势的基本方法 求解泊松方程的难度 、电象法的概念和适用条件 一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。 Q Q 2. 以唯一性定理为依据 在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。 特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。 电象法概念、适用情况电象法： 用假想点电

18、荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。适用情况： 所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。 b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。 c) 给定边界条件注意： a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。 b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。 格林等效层定理（不证明）* （1）等势面包围的体积V内的电荷在

19、V外产生的电势与在此等势面上置一导体面，并将V内电荷都搬到导体上所产生的电势完全一样。 （2）相反，带电导体所产生的电势也可以用导体面内一定等效电荷分布来代替，只要它产生与导体表面完全重合的等势面。 等势面 VQP导体面 QPQQ 四、应用举例 接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。Q Q/ P z 解：根据唯一性定理左半空间 右半空间，Q在（0，0，a）点， 电势满足泊松方程。边界上 从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。 设电量为 ，位置为（0，0， ） 由边界条件确定 和 、 唯一解是 因为象电荷在左半空间，所以舍去正号 解讨论：（a）导体面上感应电

20、荷分布（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。 （c） 与 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称 为镜象法（又称电象法）（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力解：（1）分析： 因导体球接地故球的电势为零。根据镜象法原则假想电荷应在球内。因空间只有两个点电荷，场应具有轴对称，故假想电荷应在线上，即极轴上。 真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。 球坐标系 P R O Z（2）由边界条件确定 和 设 因 任意的解得 ，因此Q发出的电力线一部分会聚到导体球面上，剩余传到

21、无穷远。 球面感应电荷分布 （3）讨论： 导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷 移到地中去了。（4）若导体不接地，可视为 分布在导体面上。不接地导体已为等势体，加上 还要使导体为等势体， 必须均匀分布在球面上。这时导体球上总电量 （因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心的点电荷产生的电势）。 （5）若导体球不接地，且带上自由电荷 ，导体上总电荷为 ，此时要保持导体为等势体， 也应均匀分布在球面上。 等效电荷一般是一个点电荷组或一个带电体系，而不一定就是一个点电荷。（6）导体球不接地而带自由电荷 时 所受到的作用力可以看作 与 及位于球心处的等效电荷 的作用力之和。设 ， ，第

22、一项为排斥力，第二项为吸引力（与 无关，与 正负无关）。当 时，F 0 ，即正电荷与带正电导体球在靠的很近时会出现相互吸引。3有一点电荷 位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为 a 和 b，求空间的电势。 假想电荷应在第 I 象限之外。 要保证互相垂直的两个接地导体板的电势同时为零，应当放几个电荷？ 解：（1）分析：Q（-a, -b, 0）-Q（a, -b, 0）xyOQ（a, b, 0）-Q （-a, b, 0）S2 S1 Q（2）电势分布 放在 处用镜象法求解的条件是什么？ （3）若两平面夹角 象电荷数4另外几种容易求解又常见的情况： 作业 8、9、1

23、1、 2.5 格林函数方法三、用格林函数求解一般的边值问题一、点电荷密度的函数表示二、格林函数内容提要本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。 设V内电荷分布 已知， 第一边值问题 给定V边界S上的各点电势 或给定边界S上法向分量 第二边值问题求V内各点电势值。本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。一、点电荷密度的函数表示 处于 点上的单位点电荷的密度 一般 2常用公式 点电荷的泊松方程：设电势为 单位点电荷产生的电势 空间区域V上的边界条件 或 常数 格林函数的对称性 （偶

24、函数） 对于静电场的点电荷问题 称为静电场的格林函数 （ 或 常数） 只对 微商。2. 格林函数上单位点电荷在无穷空间中激发的电势 （1）无界空间中的格林函数 的距离 到 球坐标中 （偶函数）显然满足点电荷泊松方程。 （2）上半空间的格林函数 （3）球外空间的格林函数 设点电荷Q = 1 坐标为 观察点为 （ 相当于题中的 a ） 设假想点电荷在 ，它的坐标为 （它在 连线上，题中b对应这里的 ） 三、用格林函数求解一般的边值问题相应格林函数问题：V内 点上有单位点电荷， ， 给定，求V内 。 满足 （真空情况） 解为 边界上1. 第一类边值问题求解的格林方法（1）V内有电荷分布（2）二者的联

25、系由格林第二公式给出 满足泊松方程，为V内电势 设（为讨论方便 与 互换） 为格林函数 只要知道相应问题的 和 即可得到 2第二类边值问题解的格林函数方法 ，S上 给定， （1）V内有电荷分布 求V内相应格林函数问题 在S上） 常数（ （2） 只要知道 和 ，即可马上得到 （1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。3格林函数方法求解讨论 （2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由 第一类边值问题 第二类边值问题 第二章第六节电多极矩2.6 电多极矩 二、电多极矩一、电势的多极展开 三、电荷体系在外电场中 的能量(相互作用能)主要内容一、电势的多极展开 小区域电荷分布若已知 ，原则上可通过求电势。 一般若体电荷分布不均匀或区域不规则，积分十分困难（用计算机可数值求解）。 但是在许多实际情况中，电荷分布区域的线度远小于该区域到场点的距离，可以近似处理，解析求解。条件 。P O(1)