平面向量 学案-高三数学一轮复习

1、PAGE 9平面向量一考点分析考点1. 平面向量的有关概念1.如果实数和非零向量与满足，则向量和 （填“共线”或“不共线”）考点2：平面向量的线性运算2.如图，平面内有三个向量、,其中与的夹角为120，与的夹角为30,且|1，| ，若+（，R）,则+的值为 .考点3：平面向量的坐标表示3.设平面向量，则 考点4：平面向量的的数量积4.已知向量和的夹角为，则考点5：平面向量的平行与垂直5.已知平面向量=（1，3），=（4，2），与垂直，则是 6.设向量，若向量与向量共线，则 考点6：平面向量的应用7.已知向量 eq o(a,sup6() = (cos x,sin x)， eq o(b,sup6(

2、) = (cos x,cos x)， eq o(c,sup6() = (1,0)()若 x = EQ F(,6) ，求向量 eq o(a,sup6()、 eq o(c,sup6() 的夹角；()当 x EQ F(,2) , EQ F(9,8) 时，求函数 f (x) = 2 eq o(a,sup6() eq o(b,sup6() + 1 的最大值。二、范例剖析：例1：已知向量a= ( eq r(3) sinx，cosx)，b=( cosx，cosx)，其中0，记函数=ab，已知的最小正周期为（1）求； （2）当0 x eq f(,3) 时，试求f(x)的值域南通一例2设函数f (x)a b，其

3、中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x； （2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) ()平移后得到函数yf(x)的图象，求实数m、n的值.例3：在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；设实数t满足()=0，求t的值。三、巩固练习：1、已知向量a（2，1），b（1，m），c（1，2）若（ab）c，则m .2、已知向量，满足， 与的夹角为60，则 3、已知平面向量则的值是 4、如图，在中，,则 .5、若向量=（1,1,x）, =(1,2,1),

4、 =(1,1,1),满足条件=-2,则= .6、设 eq o(sup9(),sdo2(AB)(2，3)，且点A的坐标为(2，3)，则点B的坐标为 7、已知向量a(2，3)，b(x，6)，且ab，则x= 8、已知向量a(x5，3)，b(2，x)，且ab，则由x的值是 9、设向量a(1，2)，b(2，1)，则(ab)(ab)等于 10、已知(5，4)与(3，2)，则与23平行的单位向量为 11、（1）若|a|3，| b |2，且a与b的夹角为60，则|ab | 12、已知向量与的夹角为，且，那么的值为 13、若|a|1，| b |2，a与b的夹角为60，若(3 a5 b)(m ab)，则实数的值为

5、 14、已知平面上三点A，B，C满足|AB|=5，|BC|=6，|CA|=7，则 eq o(sup8(),sdo1(AB) eq o(sup8(),sdo1(BC) eq o(sup8(),sdo1(BC) eq o(sup8(),sdo1(CA) eq o(sup8(),sdo1(CA) eq o(sup8(),sdo1(AB)的值等于 15、在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则 eq o(sup8(),sdo1(OA)( eq o(sup8(),sdo1(OB) eq o(sup8(),sdo1(OC)的最小值是_16、已知，且（I）求与； （）若的最小值为，求实数的值17、

6、已知向量，其中（1）若，求函数的最小值及相应x的值；（2）若a与b的夹角为，且ac，求的值平面向量 1.答案：共线2.答案：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90角AOC=30，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=6评析：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。3.答案： 4.答案：=，7评析：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可5.答案：由于，即.6.答案：则向量与向量共线 7.解：(I) 当 x = EQ F(,6) 时，cos = E

7、Q F(ac,| a | c |) = EQ F(cos x,R(cos 2 x + sin 2 x)R(1) 2 + 0 2) .4= cos x = cos EQ F(,6) = cos EQ F(5,6) 0， = EQ F(5,6) (II)f (x) = 2ab + 1 = 2 (cos 2 x + sin x cos x) + 1 = 2 sin x cos x(2cos 2 x1) = sin 2xcos 2x= EQ R(2) sin (2x EQ F(,4) )x EQ F(,2) , EQ F(9,8) ， 2x EQ F(,4) EQ F(3,4) ,2，.10故 sin

8、 (2x EQ F(,4) )1, EQ F(R(2),2) 当 2x EQ F(,4) = EQ F(3,4) ，即 x = EQ F(,2) 时，f (x)max = 114二、例题剖析：例1：已知向量a= ( eq r(3) sinx，cosx)，b=( cosx，cosx)，其中0，记函数=ab，已知的最小正周期为（1）求； （2）当0 x eq f(,3) 时，试求f(x)的值域南通一例1.(1)= eq r(3) sinxcosxcos2x =sin2x eq f(1,2) (1+cos2x) =sin(2x+ eq f(,6) )+ eq f(1,2) 0，T= eq f(2,2

9、) ，=1 （2）由（1），得=sin(2x+ eq f(,6) ) + eq f(1,2) , 0 x eq f(,3) , eq f(,6) 2x+ eq f(,6) eq f(5,6) 1， eq f(3,2) 例2设函数f (x)a b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) ()平移后得到函数yf(x)的图象，求实数m、n的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解： (1)依题设，f(x)（2cosx，1）(cosx

10、,sin2x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x, 2x=, 即x.（2）函数y2sin2x的图象按向量c（m , n）平移后得到函数y2sin2(xm)+n的图象，即函数yf(x)的图象.由(1)得f (x) ， m，n1. 点评： 把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函数yf (x)的图象按向量a(h , k)平移后的函数解析式为ykf（xh）例3：在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)

11、、B(2,3)、C(2,1)。求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；设实数t满足()=0，求t的值。解析本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。（1）（方法一）由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、。（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(2,1)，。由()=0，得：，从而所以。或者：，三、巩固练习：1、已知向量a（2，1），b（1，m），c（1，2）若（ab）c，则

12、m 1 .解析：，所以m=-12、已知向量，满足， 与的夹角为60，则 【答案】 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：3、已知平面向量则的值是 答案 ：4、如图，在中，,则 .【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。5、若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .10C，解得（2）在中，则 答案：说明：考查向量的几何运算，掌握

13、向量的加法、减法、实数与向量积、向量数量积的定义及其运算律，理解用一组基底向量表示其他向量的方法6、设 eq o(sup9(),sdo2(AB)(2，3)，且点A的坐标为(2，3)，则点B的坐标为 答案：(4，6) 7、已知向量a(2，3)，b(x，6)，且ab，则x= 答案：48、已知向量a(x5，3)，b(2，x)，且ab，则由x的值是 答案：29、设向量a(1，2)，b(2，1)，则(ab)(ab)等于 答案：(4，4) 10、已知(5，4)与(3，2)，则与23平行的单位向量为 答案：说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式，提高坐标运算的能力11、（1）若|a|3，| b |

14、2，且a与b的夹角为60，则|ab | 答案：12、已知向量与的夹角为，且，那么的值为 答案：013、若|a|1，| b |2，a与b的夹角为60，若(3 a5 b)(m ab)，则实数的值为 答案：14、已知平面上三点A，B，C满足|AB|=5，|BC|=6，|CA|=7，则 eq o(sup8(),sdo1(AB) eq o(sup8(),sdo1(BC) eq o(sup8(),sdo1(BC) eq o(sup8(),sdo1(CA) eq o(sup8(),sdo1(CA) eq o(sup8(),sdo1(AB)的值等于 答案：5515、在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则 eq o(sup8(),sdo1(OA)( eq o(sup8(),sdo1(OB) eq o(sup8(),sdo1(OC)的最小值