概率论试卷等多个文件第3章

1、第3章 随机向量及其分布随机向量的概念及其分布函数二维离散型随机向量二维连续型随机向量随机变量函数的分布引言天气预报股票价格 大量的实际问题，随机试验的结果往往不能用一个数量指标来记录。例如：某天下午收盘前五分钟上证综合指数3.1 随机向量的概念及其分布类似于一维随机变量的定义：定义3.1.1定义 3.1.2(x1,x2+h2)(x1+h1,x2+h2)(x1+h1,x2+h2)yx(x1,x2) 定理3.1.1 中的性质(i)-(iv) 为随机向量分布函数的特征性质,也被称为柯尔莫戈洛夫定理.边缘分布3.1.2 随机变量的独立性定义 3.1.3定义 3.1.43.2 二维离散型随机向量 若随

2、机向量(,) 所有可能取值是可数多对(xi，yj)(i，j=1,2, )，则称(,)是二维离散型随机变量； 设 P=xi,=yj=pij ， (i，j=1,2, ) 则pij (i，j=1,2, )称为(,)的(联合)概率分布列。3.2.1 二维离散型随机向量联合分布列与边缘分布列(,)的分布列常用下面的表格给出根据pij的定义，立即得出它们具有下列两性质：(1)(2)例解 设箱中有10个球，其中有3个红球，5个白 球，2个黑球；从中任意抽取4个, 取随机变量X为红球数目，Y为白球数目。求(X,Y)的联合分布。X Y0123400010/21020/2105/2101015/21060/210

3、30/210023/21030/21030/2100032/2105/21000018 设(,)的联合分布列为P=xi , =yj= pij (i,j=1,2, ) ，则(,)关于的边缘分布列有 例（三项分布）设随机试验只有A,B和C三个结果 ，各结果出现的概率分别为p，q和1-p-q. 现将该随机试验独立地做n次，记X和Y分别为n次试验中A和B发生的次数，试求(X,Y)的联合分布和边缘分布.解: (X,Y)的分布列为对于离散型随机向量，当p.j0时，称为=yj条件下的条件分布列。3.2.2 离散型随机变量的条件分布当pi.0时，在=xi条件下的条件分布列类似地 例 在整数15中任取一数，(1

4、)取后放回去再取另一数。(2)取后不放回去再取另一数。 在这两种情况下分别求(,)的联合分布列、边缘分布列、P=2。解: 3.3 二维连续型随机向量定义 3.1.4 对于随机向量(,)，若存在函数f(x,y)0 (x、yR) ，使得(,)的分布函数 则称(,) 是二维连续型的随机向量；f(x,y) 称为(,)的分布密度函数。密度函数f(x,y)具有以下性质：（）f(x,y) 0；（） ；（）若f(x,y)在点(x,y)处连续，则（）若是xoy平面内的任一区域，则二维均匀分布设二维随机变量 的概率密度为 上服从均匀分布.在，则称是平面上的有界区域，其面积为其中 例 3.3.3 在某一分钟内的任何

5、时刻，信号进入收音机是等可能的。若收到两个相互独立的信号的时间间隔小于.秒，则信号相互干扰。求：两信号相互干扰的概率。解 把一分钟取作区间0，1，设两信号进入收音机的时刻分别为、（单位：分）、相互独立，所以(,)的联合分布密度如下：D二维连续型随机变量的边缘密度 关于X的边缘分布密度函数为 关于Y的边缘分布密度函数为 设f(x,y)为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。如果我们现在只想考察随机变量X或Y各自的情况，如何处理？二维连续型随机变量的边缘分布 的边缘分布函数为 关于 的边缘分布函数为 关于 例 设（X, Y）的联合分布密度为求k值和两个边缘分布密度函数解由 得 当 时 关于X的

6、边缘分布密度为 113所以，关于X的边缘分布密度为 当 时 113所以，关于Y的边缘分布密度为 当 时 当 时 关于Y的边缘分布密度为 边缘分布密度和概率的计算例设（X, Y) 的联合分布密度为 （1）求k值（2） 求关于X和Y的边缘分布密度函数（3）求概率P(X+Y1/2)(2)均匀分布解 (1)由 得 当 时-11当 时 所以，关于X的边缘分布密度函数为 -11续解 . -11解 当 时当 时 所以，关于Y的边缘分布密度函数为 解 （3） 例：如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布 分别积分，可得两个边缘分布密度函数为： 即其联合分布密度函数为： 即两个边缘分布分别服从正态分布 与相关系数

7、 无关 可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布例 设（X，Y）的联合分布密度函数为 求关于X，Y的边缘分布密度函数 。 解 关于X的分布密度函数为 所以， 同理可得 不同的联合分布，可有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布 例3.3.4 （二元正态分布）函数其中1,2,1,2,为常数；且1 0,2 0, 0,x1 ，求 P(,)D。 解: （）由二维分布函数性质，得由以上三式可得到 （） (,)的分布密度 （） 例2 已知二维随机向量（，）的密度为 试确定k的数值，并求(,)落在区域D=(x，y)|x2yx，0 x1的概率、边缘分布密度

8、函数及独立性。解: (1)由概率密度性质，知 y=xy=x211 例 3(选讲) 设(,)在椭圆 所围成的区域上服从均匀分布。即其联合密度为求它的边缘密度函数。 解 (1)当xa时，(2)当xa时，同理，可得关于的边缘密度例 4(选讲) (,)服从参数为1，2，1，2，的二元正态分布,证明、相互独立的充要条件是0。证 因为， 充分性 若=0 ，则对任意实数x，y有 即、相互独立。 必要性 若、相互独立，则对任意实数x，y有取x=1，y=2时上式也成立，此时上式化为从而得到r=0。例5(选讲) 设（X，Y）的联合分布密度函数为 求关于X，Y的边缘分布密度函数 解: 关于X的分布密度函数为 所以，

9、 同理可得 不同的联合分布，可有相同的边缘分布。 可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布设二维随机向量的分布密度函数为 (1) 确定常数 k； (2) 求的分布函数； . (4) 求例70(1)所以 解 71(2)当 时，当 时，所以，72(3)4 1或解 73(4)74224例 已知二维随机向量（X，Y）的分布密度为 求概率 解 175续解 .x+y=3 76 思考 已知二维随机向量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。求（1）分布函数；（2） 解 （X,Y）的密度函数为 1）当 时，分布函数为 77y=2x+1 -1/2

10、2）当 时，78，y=2x+1 -1/2 3）当 时，79所以，所求的分布函数为 800.5y=2x+1 -1/2 （2）813.3.2 二维连续型随机变量的条件密度函数类似地，的条件分布函数及条件密度函数为综上所述 例 1设(,)的密度函数为解例 2解由此可知由此可知例：设（X, Y）的联合密度为求：113解：先求第一步，求y的边缘密度函数， 第二步，再求条件密度函数， 对于有：故条件密度函数为第一步，求x的边缘密度函数， 第二步，再求条件密度函数， 对于有：再求故条件密度函数为思考如果二维随机向量（X，Y）服从正态分布 即其联合分布密度函数为： 求相应的两个条件密度函数。故在Y=y发生的条

11、件下X的条件分布为思考 已知二维随机向量（X，Y）的分布密度为 求概率 2241解答 二维随机变量的相互独立性 特别，对于离散型随机变量，该定义等价于 定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。对任意i,j 对任意x,y 对于连续型随机变量，该定义等价于 在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用. 在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实际意义补充说明设（X，Y）的概率分

12、布（律）为证明：X、Y相互独立。例逐个验证等式 2/5 1/5 2/5 p j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2 0 -1yx证 X与Y的边缘分布律分别为故X、Y相互独立 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y例：设箱中有10个球，其中有3个红球，5个白 球，2个黑球；从中任意抽取4个, 取随机变量X为红球数目，Y为白球数目。判断X,Y是否独立。 Y X01234P00010/21020/2105/21035/2101015/

13、21060/21030/2100105/21023/21030/21030/2100063/21032/2105/2100007/210P5/21050/210100/21050/2105/2101例：设（X, Y）的联合分布密度为判断X，Y是否独立。113解：已求得边缘密度为从而： f(x,y)= fX(x) fY(y)故X,Y相互独立例 已知二维随机向量（X，Y）服从区域D上的均匀分 布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区 域。判断X，Y是否独立。 解 ：（X,Y）的分布密度函数为 当 时，所以，关于X的边缘分布密度为 关于X的边缘分布密度为 当 或 时当 时，所以，关于Y的

14、边缘分布密度为 关于Y的边缘分布密度为 当 或 时所以 所以，X与Y不独立。 3.4 随机向量函数的分布 离散型随机向量和函数的分布 设 (,)的布律为P=i,=j=pij （i=0，1，2，; j=0，1，2，） 令=+则取值为0,1,2, ,特别地，当,独立时，有故例 1 设 的联合分布列为 求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列 Y X-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12解: 由（X，Y）的联合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253

15、-3-2-1-15/4-11/457解得所求的各分布列为 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/122/12例 2 证明：如果X与Y相互独立，且XB（n,p）， YB（m,p），则X+YB（n+m,p）证明 X+Y所有可能取值为 0，1，,m+n. 证毕 记 住 结 论！两个独立随机变量的和的分布如果X与Y相互独立二维连续型随机变量的函数的分布设 是二

16、维连续型随机变量,其联合分布密度为 则 是一维的连续型随机变量 其分布函数为 是二元连续函数，其分布密度函数为 一般而言很难求得分布或密度函数的显式表达式只考虑两个随机变量的和这一最简单情形两个随机变量的和的分布 如果（X，Y）的联合分布密度函数为 f(x,y)，则Z=X+Y的分布密度函数为 或 特别，当X，Y相互独立时，有卷积公式 或 连续型随机向量和函数的分布设(X,Y)的联合密度为f(x,y)令Z=X+Y卷积公式也可表为：卷积公式例 1 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为求随机变量 Z=X+2Y 的分布密度函数解例 2 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数解 所求分布函数为 分布密度函数为 例 3 设,是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，求 的密度函数。 解N(0,2)例 证明：如果X与Y相互独立，且XB（n,p）， YB（m,p），则X+YB（n+m,p）证明 X+Y所有可能取值为 0，1，,m+n. 证毕 例 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为求随机变量 Z=X+