现代控制设计

1、现代控制理论基础期中课程设计题 目：单倒置摆控制系统的状态空间设计学院：电气工程学院姓名：学号：专业班级：指导教师:成绩：摘要:回倒置摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行 控制理论教学及其开展各种控制策略理论验证平台。倒立摆系统的高阶次、不稳 定、多变量以及强耦合等特性使得许多现代控制理论研究人员一直将它作为最佳 的理论方法验证试验研究对象，不断从研究倒立摆中发掘出新的控制方法，并将 其应用于航天科技和机器人学等各种高新技术领域。本次设计运用牛顿运动定律 建立倒立摆系统的运动方程，选择合适的状态变量，进而抽象出系统的状态空间 描述，建立数学模型。通过状态反馈极点配置算法，研究系

2、统的某些状态；进而 通过PID控制对该系统进行校正；利用全维状态观测器和降为观测器，对状态变 量进行了重构并给出了利用Matlab仿真结果及分析；关键词：倒置板；状态反馈；极点配置；状态观测器;目录 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 绪论41.1倒立摆控制的目的4 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 1.2倒立摆系统的发展状况4 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 1.3倒立摆系统的实际应用5 HYPERLINK l bo

3、okmark41 o Current Document 研究背景5 HYPERLINK l bookmark45 o Current Document 模型的构造6 HYPERLINK l bookmark61 o Current Document 模型（被控对象）特性分析7能控性分析8稳定性分析8 HYPERLINK l bookmark79 o Current Document 控制方案设计：10 HYPERLINK l bookmark83 o Current Document 5.1方案一：全状态反馈极点配置法10 HYPERLINK l bookmark92 o Current Do

4、cument 5.2方案二：全维观测器的设计125.2.1判定系统状态的能观测性135.2.2使用simulink仿真图：全维状态观测器实现状态反馈的结构图： 15 HYPERLINK l bookmark116 o Current Document 5.3方案二：降维观测器的设计175.3.1能观性极点配置185.3.2使用simulink仿真图：全维状态观测器实现状态反馈的结构图： 18结论分析与心得体会21 HYPERLINK l bookmark138 o Current Document 参考文献22绪论倒立摆就是这样一个被控制对象，倒立摆的种类不仅有简单的单机倒立摆，而 且有多种形

5、式的倒置装置，能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪 等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。倒立摆系统作为一个 实验装置，许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干 扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。并且它形象直观，结构简单，构件 组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本 身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有 效的控制方法方能使之稳定。1.1倒立摆控制的目的小车和摆组成的系统在受到干扰后，小车处于轨道的中心位置，摆杆将保 持垂直位置不倒。旋转倒立摆控制的目的是系统受到干扰后

6、，摆杆在垂直位置倒 立不倒。平面倒立摆控制目的是系统受到干扰后，在XY平台上摆杆能够竖立稳定 而不倒，达到动态平衡状态。倒立摆系统的研究具有重要的理论意义和应用价值，对其控制研究是控制领 域研究的热门课题之一，国内外的专家学者对此给予了广泛的关注。1.2倒立摆系统的发展状况上世纪50年代，麻省理工学院(MIT)机电工程系的控制论专家根据火箭发射 助推器原理设计出一级倒立摆实验装置。1966年Schaefer和Cannon应用Bang Bang控制理论将一个曲轴稳定于倒置 位置。1976年，Mori etc.首先把倒立摆系统在平衡点附近线性化，利用状态空间 方法设计比例微分控制器实现了一级倒立摆

7、的稳定控制。1993年，Wiklund等人应用基于李亚普诺夫的方法控制了环形一级倒立摆。1997年，Gordillo比较了LQR方法和基于遗传算法的控制方法，结论是传统控 制方法比遗传算法控制效果更好。总之，倒立摆系统是检验各种控制算法、研究控制理论很有效的实验设备。目前应用在倒立摆上的算法主要有以下几类：(1)经典控制理论：PID控制。通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆 系统的动力学模型，设计PID控制器实现控制。(2)现代控制理论：状态反馈。通过对倒立摆系统物理模型的分析，建立系 统的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态 反馈，实现对倒立摆的控制。常见的方

8、法有：极点配置，状态反馈控制全 维观测器和降为观测器来观测。1.3倒立摆系统的实际应用倒立摆的控制方法在军工,航天和机器人领域有广泛的用途，另外其控制方法和 思路在处理一般工业过程中亦有广泛的用途。机器人行走类似倒立摆系统，而机器 人的关键技术至今仍未很好解决，倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服 平台的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控 制问题的抽象。因此，倒立摆机理的研究具有重要的应用价值，成为控制理论中很 重要的研究课题。研究背景单倒置摆系统的原理图，如下图1所示。设摆的长度为L、质量为m，用铰链安 装在质量为M的小车上。小车由一台直流电动机拖动，在

9、水平方向对小车施加控制 力u，相对参考系位移2。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或右倾倒，因 此，它是一个不稳定的系统。控制的目的是，到倒置摆无论出现向左或者向右倾倒 时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。图1单倒置摆系统的原理图模型的构造为了简化问题，工程上往往忽略一些次要因素。本例中，忽略摆杆质量、 执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力及风力。如图6-2对系 统进行受力分析：设小车瞬时位置为倒置摆出现的偏角为6，则摆心瞬时位置 为（z +1sin6 ）。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速度运动，根据牛顿第二定 律，在水平直线运动方向

10、的惯性力应与控制力u平衡，则有 TOC o 1-5 h z d2 zd2M+ m（z +1 sin 6 ） = u（ 1）dt 2dt2艮口（M + m）z + ml6cos6 - ml62 sin6 = u由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有 HYPERLINK l bookmark49 o Current Document d 2八m （z +1 sin6） l cos6 = mgl sin6 HYPERLINK l bookmark55 o Current Document _ dt 2_ HYPERLINK l bookmark58 o Current Document

11、艮口zcos6 +16cos26 -162 sin6 cos6 = g sin6（2）式（1）、式（2）两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的 是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可认为6、6,均接近零， 此时sin6部，cos6 5。且可忽略6,20项，于是有（3）y = 10 0ok(8b)式中x = z_， z66 fr假定系统参数M=1 kg,m= 0.1kg,g=10m/ s 2，则状态方程中参数矩阵为10 1 0 01 0 :A =0 0 1 0,u1，c =(L 0 0 0)(9)0 0 0 10k 0 0 11 0 J1k J(4)联立求解式（3）、（

12、4），可得z 一竺 6 + -1 u MM6= （M (4)联立求解式（3）、（4），可得z 一竺 6 + -1 u MM6= （M + m1 由MlMl消去中间变量6，可得到输入量u、输出量为z的系统微分方程为z（4）- （M + m）g z = -1 u-里u M Ml、摆的角位置e及角速度。作为状态变量，(5)(6)Ml选区小车的位移z及其速度z(7)为输出变量并考虑恒等式及式（5）、式（6）,可列出系统的状态空间表达式为100 )10、0mg 01Mx +M00100(M + m) g01Ml)kM J(8a)模型（被控对象）特性分析作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控

13、制作用使它回复 到原直立位置？首先进行其能控性的分析：4.1.能控性分析根据能控性的秩判据，并把式（9）的有关数值代入该判据，可得rankM = rank (b Ab A 2 b A 3 b) = 4利用MATLAB仿真即可得该矩阵的秩等于4,仿真过程如下:根据秩判据得到单倒置摆的运动状态有上述仿真可知道，当矩阵M为满秩， 时可控的。换句话说，这意味着总存在一控制作用u，将非零状态x转移至零。根据秩判据得到单倒置摆的运动状态4.2.稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求出其特征方程I人/ A| =人2 (人2 11) = 0解得特征值为0,0,Ti,-。4个特征值中存在一个正根，两个零根，这

14、说明单 倒置摆系统，即被控系统是不稳定的，采用MATLAB对被控对象进行仿真，如下 图所示为倒摆没有添加任何控制器下四个变量的单位阶跃响应。冒 F: at labvorknZ01. 口回区IFile Edi t Text Cell Tols Debug Desktop Window 口回区I芽S #4 fT 目幻 Base- figure (? Number Tit le? 3 7 off? 3 ? Name?, ? 1E?)；- A= 0, 10, 0, ;0, 0,-1,0; 0, 0, 0, 1 ; 0, 0, 11,0;4 - sys l=ss (Aj bj c, d);5 - t =

15、 0: 0. 01: 3 ;y s=step (syslj t);subplot 2j 1) ;plot (tj k 1) ; grid-slabel (? t (s)? ) ;ylabel (? k (t)? ) ; t it le (? z?);subplot 2j 2) ;plot (tj k 2) ; grid;-slabel (? t (s)? ) ;ylabel (? k (t)? ) ; title (? z的微分);一 mubolcit (N.2.3) :口:grid王茂正rinlx王茂正File E di t Vi ew Insert Tools Desktup Windij

16、w Help200 :-/312间8的微分芽9暑鼠A炉 宅 E 200 :-/312间8的微分-1000 L -1000 L 0-4000 L 0-1000 -2000-300012间如图可知，由于倒立摆系统在不加任何反馈时阶跃响应下四个变量使得系统 不稳定，不能到达控制目的，必须对被控系统进行反馈综合，使4个特征值全部 位于根平面s左边的适当位置，以满足系统的稳定工作并达到良好动、静态性能 的要求，为此，本文提出了两种主要的反馈综合方案。控制方案设计:5.1方案一：全状态反馈极点配置法取状态变量z、z、e、0为反馈信号，状态控制规律为u - v -kx（12）假设 k =（k k k k）式

17、中，k0 k3分别为z、z、e、0反馈至参考输入v的增益。则闭环控制系统的状态方程为x = （A - bk）x + bv不妨假设期望闭环极点为-1，-2, -1+0.5i,-1-0.5i利用MATLAB仿真如下：由可求得:File Edi t Vi ew Siirnilati on Format Tools Help I芽9辱File Edi t Vi ew Siirnilati on Format Tools Help I芽9辱I君电峪I令*令I口 厄广同M3 图邕函覆瞳I阿国彩进行运行的结果如下所示Sope、Socpel、Socpe2、Scope3的运行结果显示如下:如仿真图可知，单倒置摆

18、的全状态反馈为稳定的闭环系统。观察仿真曲线：单位 阶跃的作用下，输出变量逐渐趋于某一常数，状态变量0则是逐渐趋于0。当参 考输入v单位阶跃时，状态向量在单位阶跃的作用下相应逐渐趋于稳定，这时摆 杆回到原始位置（即0 =0），小车也保持稳定（即z二某一常数）。如果不将4个 状态变量全用作反馈，该系统则不能稳定。5.2方案二：全维观测器的设计为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即z、力、0、。的信息。因此，需要设置z、力、0、&的四个传感器。在实际的工程系 统中往往并不是所有的状态信息都是能检测到的，或者，虽有些可以检测，但也 可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成难于获取

19、信息，从而使状态反馈在实 际中难于实现，甚至不能实现。在这种情况下设计全维状态观测器，解决全维状态反馈的实现问题。5.2.1判定系统状态的能观测性将式（9）中的数值代入能观测性秩判据，得:rankN = rank C t Atc t (A t ) 2 c t (A t ) 3 c t )由MATLAB中的由MATLAB中的obsv（A,c）命令来求秩，可得秩为4。由秩判据，可见被控系统的4个状态均是可观测的，即意味着其状 态可由一个全维（四维）状态观测器给出估值。其中，全维观测器的运动方程为x = （A - GC）x + Bu + Gy式中G =（g 0 研 g 2 g 3）T全维观测器已G配

20、置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。设置状态观察器的期望闭环极点为-1，-2, -2+i,-2-i。由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2,这意味着任一状态变量估计值至少以e-规律衰减。由MATLAB可求的出G过程如下：对 MATLAB匚|回区1File Edi t Debug Desktop Window Help芽若sc警寸国tF: matlShortcuts How to Add _? WhatJ e New WZ21-1.0000-1.9000 -25.0000-6.9000王茂正03File Edi t Vi ew Insert. Tools Desktop Window Help渗

21、口昌 惇殴&聊 耍口田 024810-1 024810为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的仝部状态，即刁z、 ）、苛的信息。因此35设置-Z、：、6、孑的四个传感器。在实际的工程系统中往往并不是所有的状态信息都是能检测到的或者，虽有些可以检测,但也 可能由于检测”装置昂贵或安装上的困难造成难于获取信息，从而使状态反馈在实 示 态L2.E于实现，甚至不能实现不这 普的实现问题。-角：simulrnk;IU下设计全维状态观测器，解决全维状11真图：全维状态观测器实现状态反馈的结构图:ScopeTime个系数为零时，式（6-14）所示特征多项式或是缺项，或是系数值小于零，由稳 定的代数

22、判据可以看出，不满足系统稳定的必要条件。如果/Time个系数为零时，式（6-14）所示特征多项式或是缺项，或是系数值小于零，由稳 定的代数判据可以看出，不满足系统稳定的必要条件。如果/应将渐近地衰减至零，这时摆杆和小车都会回到它的初始位置，即二0 状态变量全用作反馈，该系统则不能稳定，例如令k0k3的5.3方案二：降维观测器的设计由于单倒置摆控制系统中的小车位移，可由输出传感器测量，因而无需估计， 可以设计降维(3维)状态的观测器。通过重新排列被控系统状态变量的次序， 把需由降维状态观测器估计变量与输出传感器测得的状态变量分开，也就是说， 将z作为第四个状态变量，则按照被控系统的状态和输出方程

23、可变换为：z0 -z0 -1 0 0d00 0 10 dt0=0 11 0 0z10 0 0zz1 一o00+-1L z _0u简记为x 1x1- 2x 1x1- 2ii1221222二式中f X 1 -_11 X2|0Aii011120|0Aii011120-1x2 x2 = z = y, A =1 0故单倒置摆三维子系统动态方程为0A22 = 0, b2 = 0, = 1,dtLo-1 0-zdtLo-1 0-zT0 10+011 00-1000uzz，= G 0 0)o0 _使用MATLAB对其的观测性检查，结果是客观的。因为降维状态观测器动态方程 的一般形式为W = (A11 hA J

24、 “ +匡冲 + (Aii - hAM + A12 hA 22 y人 . 一 -X = w + hy式中，h =虬 h1 J。使用MATLAB可求出降维状态观测器特征多项式为XI - (A 11 - hA21)| = b + h0人2 + (-11 - h)X + (Uh。- h2)5.3.1能观性极点配置设期望的观测器闭环极点为-3，-2土i，则由MATLAB仿真可得，F ： atl-2座-101-7-92 h =-92如上所示，由MATLAB设期望的观测器闭环极点为-3，-2土i，则由MATLAB仿真可得，F ： atl-2座-101-7-92 h =-92如上所示，由MATLAB可得，h

25、0=7, 所以可得降维观测器的动态方程为h =-28，atlabvorknZ30. m寸 UTLABrilnllxW = 2801 巧 + 0 + 104 y92 11 0-1336人X人XwX =1_ y _=0+7-28-9215.3.2使用simulink仿真图：全维状态观测器实现状态反馈的结构图：使用降维状态观测器实现状态反馈的的单倒置摆系统结构图如下图所示。I3叵I区I10.971Gain 12Gs.in13Gsin14IntegratorIntegra toriS-copeGain2IntegratorZGainlGsin4GsinSGainSGain7Gain 11Interat

26、orfilntegrstor&Soope4Gin 15GsinW100%ode45File Edi t Vi ew Simulati on Format Tools Help |由19昌普阻喧I3叵I区I10.971Gain 12Gs.in13Gsin14IntegratorIntegra toriS-copeGain2IntegratorZGainlGsin4GsinSGainSGain7Gain 11Interatorfilntegrstor&Soope4Gin 15GsinW100%ode45File Edi t Vi ew Simulati on Format Tools Help |由19昌普阻喧J牛*令I。以|卜叵日Gain 10 4 -A GainEGain1 Gain5 23 I ntegf3tDr4gal一三11图邕囹考圜IH囹腐密 flZSl *Scope3Scope2Scopel点击Sart,双击击Scope得到如下图