状态空间分析法的特点及其应用

1、状态空间分析法的主要特点及其应用引言60年代以前，研究自动控制系统的传统方法主要使用传递函数作为系统的数学 描述，研究对象是SISO系统，这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制 理论”。随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现，控制系统日渐复杂 （MIMO,时变，不确定，耦合，大规模），传统的研究方法难以适应新的形势。在50s后期，Bellman等人提议使用状态变量法，即状态空间法来描述系统，时 至今日，这种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。所谓状态空间是指以状态变量X1，X2 Xn为轴所构成的n维向量空间。这 样，系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点表示。利用状态空间的观

2、点分 析系统的方法称为状态空间法，状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成 一阶微分方程组，这在力学和电工上早已使用，并非什么新方法，但用来研究控 制系统时具有如下优点。1、适用面广：适用于MIMO、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系 统，而经典法主要适用于线性定常的SISO系统。2、简化描述，便于计算机处理：可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程， 因而简化数学符号，方便推导，并很适合于计算机的处理，而古典法是拉氏变换 法，用计算机不太好处理。3、内部描述：不仅清楚表明I-O关系，还精确揭示了系统内部有关变量及 初始条件同输出的关系。4、有助于采用现代化的控制方法：如自适应控制、最优控制等

3、。上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用，尤其在空间技术方面还有极大成 功。状态空间法的缺点：1、不直观，几何、物理意义不明显：不象经典法那样， 能用Bode图及根轨 迹进行直观的描述。对于简单问题，显得有点烦琐。2、对数学模型要求很高：而实际中往往难以获得高精度的模型，这妨碍了它的 推广和应用。2.状态空间分析法在部分系统中的应用2.1状态空间分析法在PWM系统中的应用状态空间分析法不仅适用于时变系统（例如PWM系统），而且可以将其简 化，同时便于计算机处理。在许多控制系统中，包括直流和交流电源系统，采用了脉冲宽度调制（卫WM） 方式。可用于计算机和重要负荷的UPS（不停电供电电源），采用P

4、WM，除对输 出电压进行调节外，还可通过合理选择每周期脉冲数，消除指定的高次谐波，并 可加快系统的动态响应速度。在对DC 一 Dc变换器等只具有正脉冲调制的系统 分析中，如满足一定条件，则可运用状态空间平均值法。对交变的PWM系统， 每周期系统状态变化较大，有的变量正负值交替变化，因而不能运用平均值法分 析，故采用状态空间分析方法。PWM系统通常均含开关器件，不同的脉冲间隔对应于开关器件的不同状态， 即器件的导通或开断。开关状态的变化引起系统结构或参数的变化，则描述系统 运动过程的状态方程也相应改变。设输出脉冲波形如图i所示，每周期有k个脉冲，正负脉冲数各一半，且设 每个脉冲前沿可调，其时刻记

5、为tj，j=1，3, 5,，2k 一 1，为奇数;脉冲后沿固定，记为t1=2, 4，2k,为偶数。记在时间-thi内状态方程的系统矩阵人，输入矩阵B和输出矩阵C分别记为AhBhChh=1, 2，2k。 则系统在各脉冲间隔内的状态方程为： X = A X + B.Uy=Ch x TOC o 1-5 h z T 一、.由于一周期T内各脉冲宽度相等;记为巳。两个脉冲间隔为K。则零电平宽度为h n = K -气。对各区间引入逻辑变量q (t)。) T (n中亍)T OHe击(t-【1 (n -七T + HEt()丁d，(t )=1-d (t)ii则描述多脉冲系统的多组状态方程式可写成如下一个完整的表达

6、式： X (t L A (t )X (t)+ B (t U (t)y (t L C (t) X (t)式中从)=工 d (t )气_1+d (t 如 B(t)=工 d (t)B2 + d (t 如. C(t)=2d (t)C . + d (t)c i=1分析对上式有以下结论：、多脉冲调制系统为时变系统，其状态方程具有时变系数A(t), B(t), C(t)。(2)、如果Dj const，系统处于定宽稳定工作状态，即在无扰动情况下，PWM 系统为周期时变的线性系统，其周期为T，即有A(t)= A(t + T)，B(t)=B(t + T)， C (t )= C (t + T )(3)、在扰动及控制

7、作用下，气,H n，A(tB(t)为系统状态与激励的函数，此时系 统为时变非线性的。有 di )=l当系统存在扰动作用时，设U(t)= U + U (t) D = D + d , H = T - 有 di )=l TOC o 1-5 h z sgn(Dn-D),te(n+)T-Dn, n+ T-D k，0，其它+1z0式中sgn(z)= 0如果z = 0-1z 0系统状态变量在扰动作用下变化为:x (t)= X + X Q在无扰动作用时则系统的稳态方程为：壹d(t)A + 尚)+Ed& + gXi 2i-1 i 2ii 2i-1 i 2ii =1i=1由于所选状态量在逆变器改变工作量较大。由于

8、所选状态变量在逆变器改变工作 状态时均为连续的，故采用递推方法求解。状态方程组采用定步长四阶龙格一库 格法求解，步长h=0.0004s，计算换向过程的步长改为h=0.00001s通过计算机进 行求解。多脉冲宽度调制系统由于其内部非线性开关器件状态的变化，使其电路结构 或参数也发生相应变化，因而描述系统运动过程需用多组状态方程，即为非线性 时变系统。在引入一些反映系统工作特点的变量后，通过给出完整的系统状态方 程式和当存在扰动系统进行PWM时系统的稳态及动态方程，并求出了稳态解。 用这些方程可对系统进行计算机辅助分析。这种方法还可用于系统的CAD，例 如改变滤波器的结构或参数，通过计算对各种方案

9、进行比较，从中择优。2。2状态空间分析法在化工系统中的应用状态空间分析法不仅适用于多变量、非线性的系统，而且可以用于系统预测， 能从一定深度上揭示系统运动的规律和机制，较全面地反映系统各种因素和变量 之间的相互联系。化工过程通常是多变量、非线性的，将过程多个变量反映到一个多维状态数 据空间里，采用状态空间方法分析可以更全面、直观和有效地描述过程状态的变 化。多变量分析方法中的主成分分析PCA(Principle Component Analysis)是目前常 用的方法。独立成分分析ICA(Independent Component Analysis)是近几年在PCA 基础上发展起来的一种新方法

10、，分解出的各分量之间相互独立的特点，使ICA 在信号处理领域，尤其是盲源信号分离(Blind Source Separation)方面受到广泛的 关注。化工过程的状态空间是确定的，可以通过过程的性质作出确定地判断。通 过ICA算法从状态空间中计算出对应的独立分量，实现了过程状态空间确定。 通过仿真，证实了这种状态空间确定方法的合理性。2。2。1多变量化工过程的状态空间表征系统运动的信息称为系统状态(States)，确定系统状态的一组独立(数目 最少的)变量称为状态变量。如果状态变量有n个，一般记为X1，X2，Xn。 把描述系统状态的状态向量看作向量X的分量，则称X为n维状态向量，记为 X XX

11、2 X T，时间总是独立的，在状态空间中独占一维，给定t=t0时初 始状态向量X(t0)及tNt0的输入向量，则tNt0的系统状态可由状态向量X(t)唯 一确定。如果用函数进行表示，则:State=f(符合基本单位变量的集)。下面分别对各子集中所包含的变量进行枚举：时间是统一的，t集合中元素个数等于1。M和N是有关体系物料组成的变 量，在过程中如果总共存在k种物质，那么可以对应于i个独立组成成份。物质 的质量和量(摩尔数)存在线性相关，可以用系统所包含的原子数乘原子量(常数) 得到质量，所以，M和N的交集中元素的数目为汀按照集中参数考虑系统，那 么温度在均匀流股中是一致的，用一个变量表示，T集

12、合中的元素个数等于1。 在L集中，用长度描述三维几何空间，空间中所有变量，都可以表示为不大于3 个长度变量的线性组合，所以L集的元素个数不大于3,其个数用j表示。在上 述集合之间不存在交集，因此作为上述集合的并集，系统中具有基本单位变量的 集合中，元素的个数等于各子集的元素数量之和。通过以上推论，得到结论:描述一个正常运行的化工过程，按照集中参数进 行考虑，用来描述其状态的独立变量数目DN=2+i+j式中i表示系统中独立组分 的数量，iN1;j表示需要考虑的三维几何空间的维数，j3。如果用时间序列对 系统进行描述，时间序列的数目SLN=1+i+j。根据Duhem定律，考虑的是系统 的稳态行为，

13、流股按照线性描述，依据本文所述结论:1+1+i=i+2。结论是一致的。 确定了空间维数，可以找出和维数对应的实际存在的或者概念上定义的最小变量 组作为状态变量对系统进行描述，同时选择有效信息损失最少和更符合过程机理 特征的算法来表征系统特性。2.2.2多变量统计方法和状态空间的确定在一定的邻域内，非线性化工过程可以按照线性系统描述以简化问题的难 度。按照线性状态空间，确定的空间内的变换不会增加空间维数。多变量分析方 法的样本存在于状态空间中或通过状态输出方程来表达。采用多变量统计的方法 在数据空间内进行变换，可以实现变量去相关和特征提取，从而获得不相关的变 量组。对于线性系统，多变量线性统计方

14、法的不相关分量数目等于系统状态变量 数目，得到的不相关分量是状态空间坐标变换后的一组状态变量;对于非线性的 线性近似，当指定了最小变量数目后，通过多变量统计方法获得的变量组也可以 被认为是线性近似的状态变量的线性变换。状态空间可以通过多变量统计来近似 确定。2。2。2。1主成分分析主成分分析是应用最广的多变量统计方法，该方法在数据空间内寻找原始数 据样本的离差最大方向，通过去相关确定一个正交坐标系，按照离差降低顺序， 选取其中主要的几个向量(主成分或主元)，省略样本分布密度低的向量完成数据 降维。Karhunen-Loeve变换(KL变换)是线性主成分分析的空间变换方法。KL变 换的原理如下:

15、设X是经标准化的含m个变量n个样本的样本集，矩阵X可以分 解为m个向量的外积之和。TTTX= t|p| + t2p2 + 升 tmpmT= t t2 tn 即x= ipj 或 r= xp式中T称为得分(Score)矩阵。P称为负荷(Load-ing)矩阵，即多维空间内的 正交坐标系，其中 pTp = 0(i#j)， pTp =1(i=j)。A= X)式中A是P的特征值数组。主成分Tj对系统信息贡献率：卜N Sa从统计学观点，累计主成分贡献率大于80%，可认为能够基本反映系统信息。 分量贡献率是目前多。变量分析方法判断能否正确反映系统的一个重要标准。 KL变换是线性的，非线性状态可以用线性方法近

16、似描述。以下算例通过分量贡 献率来说明多变量统计方法描述的近似程度。构造矩阵X1，X2，X3:X 1X2X3lx，x，x + 3x ,3x + 5x X 1X2X3 TOC o 1-5 h z I 121212Ik，x，x 3-5 + 3x ,3x + x 4，x 3-5 + x 412121212 ILx + x /20，x + x /20,x + x + x /201323123式中，xl, x2, x3是由Matlab产生的随机数组。ki=2.906 0ki=2.906 0L 094 0 0 0.2= 3.221 3 L639 8 0.1304 0.008 4 0.000 1&3=L 9

17、48 1 L 046 0 0. 005 9.X1，X2存在于x1，x2构成的2维数据空间，X3叠加了幅度为5%的x3，看作 是一维噪声。选取2主成分的情况下，X1，X2, X3的主成分贡献率分别为100%， 97%，99%。对于线性系统主成分个数等于空间维数，线性PCA完全描述系统; 对于非线性系统，按照线性PCA计算可以很大程度上准确描述系统;噪声会增加 数据空间的维数。采用线性多变量统计分析，在满足统计准确度的前提下，其主 成分个数和状态空间的维数一致。KL变换也是ICA算法的基础，ICA计算和PCA 一致。在仿真分析中，状态空间维数的判定和PCA分量贡献率对比结果一致。 独立成分分析2.

18、2.2.2独立成分分析在主成分分析的基础上，独立成分分析的目的在于通过线性变换，使得所获 取的分量不仅不相关，而且彼此独立。设xi;i= 1，2,，L为一组观测信号样 本，si;i= 1，2,，K为一组相互独立的信号源，其中xi=(xi(0)，xi(N-1)， 为了便于分析，将它们表示为列向量的形式si=(si(0)，si(N-1)。， 得:X = (x1，x2xl)t，S = 1，s2.sk。X中的各分量是由S中各独立源线性 组合而成。即Xj= Hj |S |+ Jj2S2+ BjkSK =K皿料 (i = 1.2,L)i可用矩阵形式表示为X= AS式中A为LxK维常系数矩阵，矩阵系数aij是未知的。ICA的任务是在系数矩阵 A和信号源S未知的前提下，从观测信号X中分离出信源S的各分量，即需要 寻找一分解矩阵W对观测信号X进行分离，如式S= WX分离的结果是对源信号s的良好的逼近。PCA和ICA都是多元统计分析方法，PCA去除各分量之间的相关性，PCA 构造的坐标系是正交的。ICA不仅实现了去相关（二阶统计独立），而且要求各高 阶统计量独立，寻