高三数学总复习84平面与平面的位置关系教案新人教A版

1、20XX届高三数学总复习 8.4平面与平面的位置关系教案新人教 A版 考情分析 考点新知明白平面与平面的位置关系,在判定和证明平面与平面位置关系时,除了能娴熟运用判 定定理和性质定理外,仍要充分利用定义,留意线线关系,线面关系以及面面关系的转 化懂得面面垂直、面面平行的判定定理和 性质定理,进一步把握线线、线面、面面平 行及垂直的相互转化 . 1. 必修 2P50习题 1 改编 设 a、b 为不重合的两条直线, 、 为不重合的两个平面,给出以下命题： 如 a 且 b ,就 a b；如 a且 b ,就 a b；如 a 且 a ,就 ；如 a且 a ,就 .其中为真命题的是_ 填序号 答案：解析：

2、错, a , b ,直线 a 与 b 可能相交、平行或异面；错,如 l ,a l ,a , a ,就 a , a .2. 必修 2P49练习 4 改编 假如平面 平面 ,直线 l 平面 ,就直线 l 与平面 的位置关系是 _答案：直线l 与平面 平行或直线l 在平面 内 、 ,且a , a ,解析：不要忽视直线l 在平面 内的情形3. 必修 2P48习题 12 改编 已知直线a 和两个不同的平面就 、的位置关系是 _答案：垂直解析：运用两平面垂直的判定方法4. 必修 2P51 习题 16 改编 已知 、 、 是三个不同的平面,命题“ ,且 ” 是真命题,假如把 、 、 中的任意两个换成直线,另

3、一个保持不变,在所得的全部新命题中,真命题的个数是 _答案： 2 解析：如 、 换为直线 a、b,就命题化为“a b,且 a b ” ,此命题为真命题； 如 、 换为直线 a、b,就命题化为“a , 且 ab b ” ,此命题为假命题；如 、 换为直线 a、b,就命题化为“a ,且 b ab” ,此命题为真命题,故真命题共 2 个5. 必修 2P49练习 4 改编 a 、 b、c 为三条不重合的直线, 、 、为三个不重合平面,现给出六个命题：a c,a b； a ,a b； c , ；a . b cb c , ； c, a； a ca 其中正确的命题是_ 填序号 答案：解析：错在a、b 可能相

4、交或异面错在与 可能相交、错在a 可能在内那么我们就说这两个平面相互平行1. 两平面平行的定义：假如两个平面没有公共点,2. 两个平面平行的判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行性质定理：假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行3. 两平面垂直的定义：假如两个平面所成的二面角是直二面角,我们就说这两个平面 相互垂直4. 两个平面垂直的判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个 平面相互垂直性质定理： 假如两个平面相互垂直,一个平面 备课札记 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另题型 1 两平面的平行例 1 2022

5、江苏 如图,在三棱锥 SABC中,平面 SAB平面 SBC,ABBC,AS AB,过 A 作 AFSB,垂足为 F,点 E、G分别是棱 SA、SC的中点求证：1 平面 EFG 平面 ABC；2 BC SA.证明： 1 AS AB,AF SB, F 是 SB的中点 E 、 F 分别是 SA、 SB的中点, EF AB. EF平面 ABC,AB平面 ABC, EF 平面 ABC. 同理 FG 平面 ABC. EF FG F,EF、 FG 平面 ABC,平面 EFG 平面 ABC. 2 平面 SAB平面 SBC,平面 SAB平面 SBCSB,AF 平面 SAB,AFSB, AF 平面 SBC. BC

6、 平面 SBC, AF BC. AB BC, ABAFA,AB、AF SA 平面 SAB, BC SA. 变式训练平面 SAB, BC 平面 SAB. 如图, 在四棱锥 PABCD中,M、N分别是侧棱 PA和底面 BC边的中点, O是底面平行四边形 ABCD的对角线 AC的中点求证：过 O、M、 N三点的平面与侧面 PCD平行证明： O、M分别是 AC、PA的中点,连结 OM,就 OM PC. OM 平面 PCD,PC 平面 PCD, OM 平面 PCD.同理,知 ON CD. ON 平面 PCD,CD 平面 PCD, ON 平面 PCD.又 OMON O, OM、ON确定一个平面 OMN.由

7、两个平面平行的判定定理知平面 OMN与平面 PCD平行,即过 O、M、N三点的平面与侧面 PCD平行备选变式（老师专享）在直四棱柱ABCDA 1B1C1D1 中,底面 ABCD是菱形 . 求证：平面B1AC 平面 DC1A1. 证明：由于 ABCDA 1B1C1D1 是直四棱柱,所以 A1C1 AC. 又 A1C1平面 B1AC,AC平面 B1AC,所以 A1C1 平面 B1AC. 同理, A1D 平面 B1AC. 由于 A 1C1、A1D 平面 DC1A1,A1C1A1DA1,所以平面 B1AC 平面 DC1A1. 题型 2 两平面的垂直关系例 2 如图,三棱锥 A-BCD中,BCD90 ,

8、BCCD1,AB平面 BCD,ADB60 ,E,F 分别是 AC,AD上的动点,且AE AC AF AD 0 1 1 求证：不论 为何值,总有平面 BEF平面 ABC；2 当 为何值时,平面 BEF平面 ACD. 1 证明： AB 平面 BCD, AB CD. CD BC,且 ABBC B,CD平面 ABC. AE AFACAD 0 1 ,不论 为何值,恒有 EF CD. EF平面 ABC,EF 平面 BEF. 不论 为何值恒有平面 BEF平面 ABC. 2 解：由 1 知, BE EF,平面 BEF平面 ACD, BE 平面 ACD. BE AC. BC CD 1, BCD90 , ADB6

9、0 , BD 2,AB2tan60 6. AE AC6 7. AC AB 2BC 27. 由 AB 2AE AC,得 AE6 . 7 故当 6 7时,平面 BEF平面 ACD. 备选变式（老师专享）2022 江宁高中期中 如图,直三棱柱ABC A1B1C1中, D、E 分别是棱BC、AB的中点,点 F 在棱 CC1 上,已知 ABAC,AA13, BCCF2. 1 求证： C 1E 平面 ADF；2 设点 M在棱 BB1上,当 BM为何值时,平面 1 证明：连结 CE交 AD于 O,连结 OF. CAM平面 ADF. 由于 CE,AD为 ABC中线,所以 O为 ABC的重心,CF CC1 CO

10、 CE2 3. 从而 OF/C1E.OF 平面 ADF,C1E 平面 ADF,所以 C1E 平面 ADF. 2 解： 当 BM1 时,平面 CAM平面 ADF. 在直三棱柱ABC A1B1C1中,由于B1B平面 ABC,BB1平面 B1BCC 1,所以平面B1BCC 1平面 ABC.由于 ABAC,D是 BC中点,所以 ADBC.又平面B1BCC1平面 ABCBC, 所以 AD平面 B1BCC 1. 而 CM 平面 B1BCC 1,于是 ADCM.由于 BM CD1,BC CF 2,所以 Rt CBMRt FCD,所以 CMDF. DF与 AD相交,所以 CM平面 ADF.CM平面 CAM,所

11、以平面 CAM平面 ADF.当 BM1 时,平面 CAM平面 ADF. 题型 3 平行与垂直的综合问题例 3 如图, E、F 分别是直角三角形 ABC边 AB和 AC的中点, B90 ,沿 EF将三角形 ABC折成如图所示的锐二面角 1 直线 FM 平面 A1EB；2 平面 A1FC平面 A1BC. A1EFB,如 M为线段 A1C中点求证：证明： 1 取 A1B中点 N,连结 NE、NM,1 1就 MN = 2BC,EF = 2BC,所以 MN =FE,所以四边形 MNEF为平行四边形,所以 FM EN,由于 FM 平面 A1EB,EN 平面 A1EB,所以直线 FM 平面 A1EB. 2

12、由于 E、F 分别为 AB和 AC的中点,所以 A1FFC,所以 FMA 1C. 同理, ENA1B. 由1 知, FM EN,所以 FMA 1B. 由于 A1CA1BA1,所以 FM平面 A1BC. 由于 FM 平面 A1FC,所以平面 A1FC平面 A1BC. 备选变式（老师专享）如图, E、F 分别是直角三角形ABC边 AB和 AC的中点, B90 ,沿 EF将三角形ABC折成如图所示的锐二面角 A1EFB,如 M为线段 A1C的中点求证：1 直线 FM 平面 A1EB；2 平面 A1FC平面 A1BC. 1 1证明： 1 取 A1B中点 N,连结 NE、NM,就 MN = 2BC,EF

13、 = 2BC,所以 MN =FE,所以四边形 MNEF为平行四边形, 所以 FM EN.又 FM平面 A1EB,EN平面 A1EB,所以直线 FM平面 A1EB. 2 由于 E、F 分别为 AB和 AC的中点,所以A1FFC,所以 FMA1C.同理, ENA1B. 由1 知 FM EN,所以 FMA1B. 又 A1CA1BA1,所以 FM平面 A1BC.由于 FM 平面 A1FC,所以平面 A1FC平面 A1BC. 【示例】 此题模拟高考评分标准,满分 14 分 如图,在多面体 ABCDEF中,四边形 ABCD是正方形, AB2EF2,EF AB,EFFB,BFC90 , BFFC,G、H分别

14、为 DC、BC的中点1 求证：平面FGH 平面 BDE；1 2AB,得 EF1 2AB. 2 求证：平面ACF平面 BDE. 同学错解：证明：1 如图,设 AC与 BD交于点 O,连结 OE、OH.由已知 EF OH =1 2AB, EF =OH, 四边形 OEFH为平行四边形, FH EO. G、H分别为 DC、BC的中点, GH DB. 平面 FGH 平面 BDE. 2 由四边形 ABCD为正方形,有 ABBC.又 EF AB, EF BC,而 EFFB, EF平面 BFC. FH 平面 BFC, EF FH. AB FH.又 BFFC,H为 BC的中点, FH BC, FH平面 ABCD

15、. FH AC.又 FH EO, ACEO. 又 ACBD, AC平面 BDE. 又 AC 平面 ACF, 平面 ACF平面 BDE. 审题引导： 1 探究求解过程的关键是弄清线线平行 线面平行 面面平行；线线垂直 线面垂直 面面垂直；不要跳步造成错误,如本例 1 ,易显现由线线平行直接推得面面平行,从而导致证明过程错误2 正确懂得运用线线、线面、面面的平行、垂直关系的判定定理和性质定理,特殊留意将条件写完整,不行遗漏,如本例2 在证明线、面垂直时,没有指出线线相交,就直接写出线面垂直,造成导致证明过程不严谨规范解答：证明： 1 如图,设AC与 BD交于点 O,连结 OE、OH,由已知 EF1

16、 2AB,得 EF1 2AB.2 分 OH =1 2AB, EF =OH, 四边形 OEFH为平行四边形, FH EO.4 分 FH平面 BDE,EO平面 BDE, FH 平面 BDE. G、H分别为 DC、BC的中点, GH DB. GH平面 BDE,DB平面 BDE, GH 平面 BDE. 又 FHGH H, 平面 FGH 平面 BDE.6 分 2 由四边形 ABCD为正方形,有 ABBC.又 EF AB, EF BC,8 分 而 EFFB, BCFBB, EF 平面 BFC. FH 平面 BFC, EF FH.10 分 AB FH,又 BF FC,H为 BC的中点, FH BC,ABBC

17、 B, FH平面 ABCD. FH AC,又 FH EO, ACEO.12 分 又 ACBD, EOBDO, AC平面 BDE. 又 AC 平面 ACF,平面 ACF平面 BDE.14 分 错因分析：证明两平面平行、 垂直关系时肯定要正确运用两平面平行或垂直的判定定理,并将相应的条件写全此题 1 直接由线线平行推得面面平行,不符合面面平行的判定定理,导致证明过程不严谨2 在证明线、面垂直时,没有指出相交的条件；导致证题过程不正确1. 2022 常州调研 给出以下命题： 如一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直； 如一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行；

18、如两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直； 如两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中,真命题是 _ 填序号 答案：解析：由面面垂直的判定定理可得如一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直, 故正确； 假如一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行,但两条直线平行时,得不到平面平行,故错误；依据空间直线夹角的定义,可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等,故如两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m垂直, 即正确；依据面面垂直的性质定理,如两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线

19、垂直的直线与另一个平面也垂直,就一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故正确因此真命题是.2. 以下命题错误选项 _ 填序号 假如平面 平面 ,那么平面 内肯定存在直线平行于平面 ； 假如平面 不垂直于平面 ,那么平面 内肯定不存在直线垂直于平面 ； 假如平面 平面 ,平面 平面 , l ,那么 l 平面 ； 假如平面 平面 ,那么平面内全部直线都垂直于平面 .答案：3. 如下列图,在四棱锥PABCD中,PA底面 ABCD,且底面各边都相等,M是 PC上的一动点,当点 M满意 _时,平面 MBD平面 PCD.只要填写一个你认为是正确的条件即可 答案： DMPC或 BMPC等

20、解析：由已知条件可知,BD PC.当 DMPC或 BMPC时,即有 PC平面 MBD.而PC属于平面 PCD,平面 MBD平面 PCD. 4. 如图, 在等腰梯形 ABCD中,AD BC,ABAD,ABC60 ,E是 BC的中点 如图,将 ABE 沿 AE 折起,使二面角 BAEC成直二面角,连结 BC、BD,F 是 CD的中点, P是棱 BC的中点求证：1 AE BD；2 平面 PEF平面 AECD. 图 图证明： 1 取 AE中点 M,连结 BM、DM、DE. 在等腰梯形 ABCD中, AD BC,AB AD, ABC60 , E 是 BC的中点, ABE与 ADE都是等边三角形, BM

21、AE, DMAE. BMDMM,BM,DM 平面 BDM,AE平面 BDM. BD 平面 BDM, AE BD. 2 连结 CM交 EF 于点 N,连结 PN. ME FC,且 MEFC,四边形 MECF是平行四边形, N 是线段 CM的中点 P 是线段 BC 的中点, PN BM. BM平面 AECD, PN 平面 AECD. PN 平面PEF,平面 PEF平面 AECD. 5. 如图,在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中,底面 ABCD为等腰梯形, AB CD,且 AB2CD,在棱 AB上是否存在一点F,使平面 C1CF 平面 ADD 1A1？如存在,求点F 的位置；如不存在,请说明

22、理由解：存在这样的点 F,使平面 C1CF 平面 ADD1A1,此时点 F 为 AB的中点,证明如下： AB CD, AB2CD, AF 綊 CD,四边形 AFCD是平行四边形 AD CF.又 AD 平面 ADD 1A1,CF 平面 ADD 1A1, CF 平面 ADD 1A1. 又 CC1 DD1,CC1 平面 ADD 1A1, DD1 平面 ADD1A1, CC1 平面 ADD1A1. 又 CC1、CF平面 C1CF,CC1CFC,ABCA 1B1C1的全部棱长均为2,四边形 ABDC是平面 C1CF 平面 ADD1A1. 1. 在如下列图的多面体中,已知正三棱柱菱形1 求证：平面 ADC

23、1平面 BCC 1B1；2 求该多面体的体积1 证明：由正三棱柱 ABCA 1B1C1,得 BB1AD. 而四边形 ABDC是菱形,所以 ADBC.又 BB1 平面 BB1C1C,BC 平面 BB1C1C,且 BCBB1B,所以 AD平面 BCC1B1. 又由 AD 平面 ADC 1,得平面 ADC1平面 BCC1B1. 2 解：由于正三棱柱 ABCA 1B1C1 的体积为V1 S ABC AA12 3,四棱锥 DB1C1CB的体积为V21 3S 平面 BCC 1B11 2AD 43 3,所以该多面体的体积为V103 . AB2EF.求证：32. 如图,正方形ABCD和三角形 ACE所在的平面

24、相互垂直 EF BD,1 BF 平面 ACE；2 BF BD.证明： 1 AC 与 BD交于 O点,连结 EO. 正方形 ABCD中,2BOAB,又由于 AB2EF, BO EF,又由于 EF BD, EFBO是平行四边形 BF EO,又 BF平面 ACE,EO平面 ACE, BF 平面 ACE. 2 正方形 ABCD中, ACBD,又由于正方形ABCD和三角形 ACE所在的平面相互垂直,BD平面 ABCD,平面 ABCD平面 ACE AC, BD平面 ACE, EO平面 ACE BD EO, EO BF, BF BD. 3. 如图, 在正三棱柱 ABCDEF中, AB2,AD1.P 是 CF的延长线上一点,FPt. 过 A、B、P 三点的平面交 FD于 M,交 FE 于 N. 1 求证： MN 平面 CDE；2 当平面 PAB平面 CDE时,求 t 的值1 证明：由于 AB DE, AB在平面 FDE外,所以 AB 平面 FDE.又 MN是平面 PAB与平面 FDE的交线,所以 AB MN,故 MN DE.由于 MN 平面 CDE,DE 平面 CDE,所以 MN 平面 CDE. 2 解：取 AB中点 G、DE中点 H,连结 GH,就由 GH PC知 P、C、G、H在同一平面