高三数学第二轮复习教案数列问题的题型与方法二人教版

1、学习必备 欢迎下载高三数学其次轮复习教案数列问题的题型与方法二（3 课时）一、考试内容数列；等差数列及其通项公式,等差数列前 列前 n 项和公式；二、考试要求n 项和公式；等比数列及其通项公式,等比数 1懂得数列的概念,明白数列通项公式的意义,明白递推公式是给出数列的一种方法,并 能依据递推公式写出数列的前几项； 2懂得等差数列的概念,把握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能运用公式解答简单的问题； 3懂得等比数列的概念,把握等比数列的通项公式与前n 项和公式,并能运用公式解决简单的问题；三、复习目标1 能敏捷地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 2能娴熟地求一些特别数列的通

2、项和前 n 项的和；n 项和公式解题；3使同学系统把握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,敏捷地运用数列学问和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4通过解决探干脆问题,进一步培育同学阅读懂得和创新才能,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的才能5在解综合题的实践中加深对基础学问、基本技能和基本数学思想方法的熟悉,沟通各类学问的联系,形成更完整的学问网络,提高分析问题和解决问题的才能6培育同学善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高同学用函数的思想、 方程的思想争论数列问题的自觉性、四、双基透视培育同学主动探究的精神和科学理性的思维方法1

3、 可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 . 2判定和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：1 定义法：对于n2 的任意自然数 , 验证anan1a n/an1为同一常数；2 通项公式法：如 = +（ n-1 ）d= +（n-k ）d ,就 a n 为等差数列；如,就 a n 为等比数列；3 中项公式法：验证 都成立；3. 在等差数列 a n 中, 有关 Sn的最值问题常用邻项变号法求解：1 当 0,d0 时,满意 的项数 m使得 取最大值 . 2 当 0 时,满意 的项数 m使得 取最小值；在解含肯定值的数列最值问题时 , 留意转化思想的应用；4. 数列求和的常用方法：公式法

4、、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等；五、留意事项ann11证明数列an是等差或等比数列常用定义,即通过证明an1ananan1或an1而得；aan2在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“ 基本量法” 是常用的方法,但有时敏捷地学习必备 欢迎下载运用性质,可使运算简便；3对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解；4留意一些特别数列的求和方法；5留意s 与a 之间关系的转化；如：a 1kn2akak1a = s 1,s n1,n1,a =s nn26数列极限的综合题形式多样,解题思路敏捷,但万变不离其宗,就是离不开数列极限的 概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会快速打

5、通解题思路7解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉, 透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略8通过解题后的反思,找准自己的问题,总结胜利的体会,吸取失败的教训,增强解综合题的信心和士气,提高分析问题和解决问题的才能数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的位置；高考对本章的考查比较全面,等差数列, 等比数列的考查每年都不会遗漏；解答题多为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维才能,解决问题的才能,试题大多有较好的区分度；有关 数列的试题常常是综合题,常常把数列学问和指数函数、对数函数和不等式的学问综合起来,试

6、题也常把等差数列、等比数列, 求极限和数学归纳法综合在一起；探干脆问题是高考的热点,常在数列解答题中显现；本章中仍包蕴着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类争论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法；应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题转化为数学问题来解决；六、范例分析例 1 已知数列 a n 是公差 d 0 的等差数列,其前 n 项和为 Sn 2 过点 Q1 1 ,a 1 ,Q2 2 ,a 2 作直线 12,设 l 1与 l 2 的夹角为 ,证明： 1 由于等差数列 a n 的公差 d 0,所以Kp1 p k 是常

7、数 k=2 ,3, , n 2 直线 l 2 的方程为 y-a 1 =dx-1 ,直线 l 2 的斜率为 d例 2 已知数列an中,S 是其前 n 项和,并且S n14an2n1,2,L,a 11,设数列bnan12ann,1,2,求证：数列bn是等比数列；学习必备欢迎下载=4a n +2,可由 S n2-Sn1设数列cnnan,n,12 ,求证：数列cn是等差数列；2n求数列n 项和；a的通项公式及前分析 ：由于 b n 和cn 中的项都和 an 中的项有关, an 中又有 Sn1作切入点探究解题的途径解 ： 1 由 S n 1 =4a n 2, S n 2 =4a n 1 +2, 两 式

8、相 减 , 得 S n 2-S n 1 =4a n 1-a n , 即a n 2 =4a n 1-4a n 依据 b n 的构造,如何把该式表示成 b n 1 与 b n 的关系是证明的关键,留意加强恒等变形才能的训练 a n 2-2a n 1 =2a n 1-2a n ,又 b n =a n 1-2a n ,所以 b n 1 =2b n 已知 S2 =4a 1+2,a1 =1,a 1+a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1=3 n 1由和得,数列 b n 是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 b n =32当 n2 时, Sn =4a n 1 +2=2

9、 n 13n-4+2 ；当 n=1 时, S1=a 1 =1 也适合上式综上可知,所求的求和公式为 S n =2 n 1 3n-4+2 说明： 1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前n项和；解决此题的关键在于由条件 S n 1 4 a n 2 得出递推公式；2解综合题要总揽全局,特别要留意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用例 3已知数列 a n 是首项 a10,q-1 且 q 0 的等比数列,设数列 b n 的通项 b n =a n 1-ka n 2n N,数列 a n 、b n 的前 n 项和分别为 Sn ,T n 假如

10、 T n kS n 对一切自然数 n 都成立,求实数 k 的取值范畴分析 ：由探寻 Tn 和 S n 的关系入手谋求解题思路；解： 由于 a n 是首项 a 1 0,公比 q-1 且 q 0 的等比数列,故a n 1 =a n q, a n 2 =a n q 2 所以 b n =a n 1-ka n 2 =a n q-k q 2 T n =b 1+b 2 + +b n =a 1+a 2 + +a n q-k q 2 =S n q-kq 2 依题意,由 T n kS n ,得 Sn q-kq 2 kSn ,对一切自然数n 都成立当 q0 时,由 a10,知 a n 0,所以 S n 0；当-1

11、q0 时,由于 a10,1-q 0,1-q n 0,所以 S n =综合上面两种情形,当 q-1 且 q 0 时, Sn 0 总成立由式可得q-kq2 k ,学习必备欢迎下载例 420XX 年全国理 从社会效益和经济效益动身,某地投入资金进行生态环境建设,并以此进展旅行产业 . 依据规划, 本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年削减 1 . 本年度当地旅5游业收入估量为 400 万元,由于该项建设对旅行业的促进作用,估量今后的旅行业收入每年会比上年增加 1； 设 n 年内 本年度为第一年 总投入为 an万元, 旅行业总收入为 bn 万元 . 写4出 an,bn的表达式 至少经过几年旅行

12、业的总收入才能超过总投入 . 解析： 第 1 年投入 800 万元,第 2 年投入 800 （ 1-）万元 ,第 n 年投入 800 （ 1）n1 万元所以总投入 an800800（1） 800 （ 1）n140001（）n同理：第 1 年收入 400 万元,第 2 年收入 400 （ 1）万元, ,第 n 年收入 400 （ 1）n1 万元bn400400 （ 1） 400 （ 1）n 11600 （）n12 bnan0,1600（）n14000 1（）n 0 化简得, 5 （）n2 （）n70设 x（）n,5x 27x20 x,x 1（舍 即（）n,n5.说明： 此题主要考查建立函数关系式

13、,数列求和,不等式等基础学问,考查综合运用数学学问解决实际问题的才能；解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读懂得,知道命题所表达的内容； （2）文理关：将“ 问题情形” 中的文字语言转化为符号语言,用数学关系式表述大事； （3）数理关： 由题意建立相关的数学模型,将实际问题数学化,并解答这一数学模型,得出符合实际意义的解答；例 5 设实数a0,数列an是首项为 a ,公比为a 的等比数列,记naannanlg|a|bnan1 g|an|nN*,S nb 1b 2b n,求证：当a1时,对任意自然数n 都有S =alga11 n1 1n 1a2解：ana1qn1aan11 n1an；

14、1n1b nanlg|an|1 n1anlg|1 n1an|1 n1nanlg|a|S nalg|a|2a2lg|a|3 a3lg|a|1 n2n1 an1lg|a|a2a23a31 n2n1 an11 n1nanlg|a|学习必备欢迎下载1 n1nan1n1记Sa2 a23 a31n2n1 an11 n1nanasa22 a31 n3n2an11 n2n1 an1+得1a saa2a31 n2an11 n2ann1naQa1,1a Sa1n 11an1n 11n an11a 1Sa1 n1an11a1n1nan1an 1a 2Sa1nna 1n1an1a 1 1nna 1n1a21a 2S

15、nalg|a| 11n1 1nna an 1a 2说明 ：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题；关键是先争论通项,确定Cnanbn,an是等差数列,bn等比数列；解法一 ：设等差数列 a n 的首项 a 1=a,公差为 d,就其通项为依据等比数列的定义知 S5 0,由此可得一步加工,有下面的解法 解法二：学习必备 欢迎下载依题意,得例 7 设二次方程a x2 -a +1x+1=0n N有两根 和 ,且满意6 -2 +6 =31 试用a 表示 an1；P 1x 1,y1,P 2x2,y2,P nxn,yn,对一切正整数n ,例 8在直角坐标平面上有一点列学习必备 欢迎下载点 P 位于函

16、数 y 3x 13的图象上,且 P 的横坐标构成以 5为首项,1为公差的等差数4 2列 x n；求点 P 的坐标；设抛物线列 c 1 , c 2 , c 3 , , c n , 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 c 的顶点 为 P , 且 过 点 D n 0 , n 2 1 , 记 与 抛 物 线 c n 相 切 于 D n 的 直 线 的 斜 率 为 k n, 求 ：1 1 1；k 1 k 2 k 2 k 3 k nk n 设 S x | x 2 x n , n N , n 1 , T y | y 4 y n , n 1, 等 差 数 列 a n 的 任 一 项an S

17、T,其中 a 是 S T 中的最大数,265 a 10 125,求 a n 的通项公式；解：（1）x n 5 n 1 1 n 32 213 5 3 5y n 3 x n 3 n , P n n , 3 n 4 4 2 4（2）c 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 P . 设 c 的方程为：y a x 2 n 3 2 12 n 5 ,2 4把 D n ,0 n 2 1 代入上式,得 a 1,c 的方程为：y x 2 2 n 3 x n 21；k n y | x 0 2 n 3,1 1 1 1 1 k n 1 k n 2 n 1 2 n 3 2 2 n 1 2 n 31 1 1 1 1 1 1 1

18、 1 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k nk n 2 5 7 7 9 2 n 1 2 n 3= 1 1 1 1 12 5 2 n 3 10 4 n 6（3）S x | x 2 n 3 , n N , n 1,T y | y 12 n 5 , n N , n 1 y | y 2 6 n 1 3 , n N , n 1 S I T T , T 中最大数 a 1 17 . 设 a n 公差为 d ,就 a 10 17 9 d 265 , 125 ,由此得248 d 12 , 又 a n T d 12 m m N *,9*d 24 , a n 7 24 n n N .说明： 本例为数列与解析几何

19、的综合题,难度较大（1）、（ 2）两问运用几何学问算出 k ,解决（3）的关键在于算出 S I T 及求数列 a n 的公差；例 9数列 a n 中,a 1 8 , a 4 2 且满意 a n 2 2 a n 1 a n n N *求数列 a n 的通项公式；设 S n | a 1 | | a 2 | | a n |,求 S ；设 b = 1 n N *, T n b 1 b 2 b n n N *,是否存在最大的整数 m ,n 12 a n 使得对任意 n N *,均有 T n m 成立？如存在,求出 m 的值；如不存在,请说明理由；32解：（1）由题意,a n 2 a n 1 a n 1

20、a n, a n 为等差数列,设公差为 d ,由题意得 2 8 3 d d 2,an 8 2 n 1 10 2 n . （ 2）如 10 2 n 0 就 n 5,n 5 时 , S n | a 1 | | a 2 | | a n |学习必备欢迎下载n1 .a 1a2Lan8102nn9 nn2,2n6时,Sna 1a2a5a6a7anS 5S nS 52S 5S nn29n40故Sn9nn240n5n6n29 n（3）bnn 121an2n1111n1 1n2nT n1111111n1111n11222334nn2 n如Tnm对任意nN*成立,即nn1m对任意nN*成立,321691n11n3

21、nn1nN*的最小值是1 ,2m1,m的最大整数值是7；162即存在最大整数m7,使对任意nN*,均有Tnm.32说明： 本例复习数列通项,数列求和以及有关数列与不等式的综合问题；例 10如图,在 y 轴的正半轴上依次有点A 1,A 2,An,其中点A 101, ,A 20 , 10,且|A n1A n|3|AnA n1|n23, ,4 ,在射线yxx0 上依次有点B 1,B2,B n,点B 的坐标为（ 3,3）,且|OB n|OB n1|22n2,3,4,用含 n 的式子表示|A nA n1|；用含 n 的式子表示A , nBn的坐标；求四边形AnA n1Bn1Bn面积的最大值；解：（ 1）

22、|A nA n1|1,且|A 1A 2|1019,|A nA n1|A 1A 2|1n1|A n1A n|3333（2）由（ 1）得|A 1A 2|A2A 3|AnAn|9311n42711n43223点A n的坐标 0 ,2711n4,|OB n|OB n1|22 且|OB 1|32223|OB n|是以32为首项,22为公差的等差数列12|OBn|32n1 22 2n1 2B n的坐标为2 n,1 2 n1 （3）连接A nBn1,设四边形AnA n1Bn1B 的面积为S ,就S n29SA nAn1B n1SB nB n1A n311n32 n13S n12229271n23 n2223

23、29 n6,S n1S n0 ,即S n,S n单调递减 . 为等差,（ 3）利用23n13n1S 的最大值为S 129947. 22说明 ：本例为数列与几何的综合题；由题意知|AnAn1|为等比,|OBn|函数单调性求最值；学习必备 欢迎下载例 11设正数数列 a n 为一等比数列,且 a 2 =4,a 4 =16说明： 这是 2022 年全国高考上海试题,涉及对数、数列、极限的综合题,主要考查等比数列的定义及通项公式,等差数列前 合运用数学学问的才能n 项和公式,对数运算,求数列极限等基础学问,以及综例 12已知抛物线 x 24 y ,过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 1P

24、 ,又过点 P 1作斜率为1 的直线交抛物线于点 P ,再过 2P 作斜率为 1 的直线交抛物线于点 P , L ,如此继2 4续,一般地,过点 P 作斜率为 1n的直线交抛物线于点 P n 1,设点 P x n , y n 2（）令 b n x 2 n 1 x 2 n 1,求证：数列 b n 是等比数列（）设数列 nb 的前 n 项和为 S ,试比较3 S n 1 与 1 的大小4 3 n 102 2解：（1）由于 P n x n , y n 、P n 1 x n 1 , y n 1 在抛物线上,故 x n 4 y n , x n 1 4 y n 1 ,又因为直线 P P n 1 的斜率为2

25、 1n,即 yx nn 11 yx n n 12,代入可得2 21 x n 1 x n 1 1n x n 1 x n n 24 x n 1 x n 2 2b n x 2 n 1 x 2 n 1 x 2 n 1 x 2 n x 2 n x 2 n 1 2 1n 2 2 1n 3 2 1n 2,故 b n 1 1 b n 是以1 为公比的等比数列；2 2 2 b n 4 4（2）S n 41 1n 3S n 1 1n,故只要比较 4 n 与 3 n 10 的大小3 4 4 4方法（一）4 n1 3 n1 C 1n 3 C n 23 2L 1 3 n n n 13 21 3 n 9 3 n 10 n

26、 3,2当 n 1 时,3 S n 1 1；当 n 2 时3 S n 1 1；4 3 n 10 4 3 n 10学习必备欢迎下载N 时有 4 k3kk10, 10. 当n3,nN 时,3 4S n13 n110方法（二）用数学归纳法证明,其中假设nk k3,k就当nk1 时,4k14 4k43k103k1109k2713a n ,是公差为 -1 的等差数列,又2a 2 -a 1, 2a 3 -a 2 , , 2an1-a n ,1 求数列 a n 的通项公式；2 运算 a 1+a 2 + +a n 分析： 由于题设中的等差数列和等比数列均由数列 项公式构造关于 a n 的方程组an 的相关项构

27、成,分别求出它们的通解： 1 设 b n =log 2 3an1-a n ,由于 bn 是等差数列, d=-1 b1=log23an1-a n 2n设 c n =2 an1-a n ,c n 是等比数列,公比为q,|q| 1,c 1=2a 2 -a 1 =例 14等比数列 a n 中,已知 a1 0,公比 q0,前 n 项和为 Sn ,自然数 b,c,d,e 满意 bcde,且 b+e=c+d求证： S b S e Sc Sd n 项 Sn 的问题,第一考虑q=1 的情形,证明条件不等式时,正分析 ：凡是有关等比数列前确适时地应用所给的条件是成败的关键学习必备 欢迎下载 证明不等式首选方法是差

28、比较法,即作差变形判定符号,变形要有利于判定符号 be-cd=c+d-ee-cd=ce+de-e2-cd=c-ee-d由于 ce,de,所以 c-e 0,e-d 0,于是 c-ee-d0又同理 要比较 S b S e与 Sc S d 的大小,只要比较1-qb1-qe与1-qc1-qd的大小,仍旧运用差比较法 1-qb1-qe-1-qc1-qd=qc+qd-qb-qe=qc-qb-qe-qd 能否将 qc-qb 用 qe-qd 表示是上式化成积的关键,利用给定的 c+d=b+e,寻求变形的途径,c=b+e-d ,d、e 显现了,于是 qc-qb=qb+e-d-qb=qbqe-d-1=qbq-dq

29、e-qd恒等变形只有目标明确,变形才能有方向 上式 =qbq-dqe-qd-qe-qd=qe-qdqbq-d-1=q-dqe-qdqb-qd由于 q 0所以q-d 0 运用函数的思想将问题转化为依据指数函数的单调性判别乘积的符号 事实上,由bde,q0,当 0q1 时, y=qx 是减函数, qeqd,qbqd,即 qe-qd 0,qb-qd 0；当 q1 时, y=qx 是增函数, qeqd,qbqd,即 qe-qd 0,qb-qd 0所以无论 0 q1 仍是 q1,都有 qe-qd 与 qb-qd 异号,即 qe-qdqb-qd0综上所述,无论 q=1 仍是 q 1,都有 Sb Se S

30、cS d 说明： 复习课的任务在于对学问的深化,对才能的提高、关键在落实依据上面所争论的问题,进一步提高运用函数的思想、方程的思想解决数列问题的才能例 15（ 20XX 年北京春季高考）如图,在边长为 l 的等边 ABC中,圆 O1 为 ABC的内切圆,圆 O2 与圆 O1外切,且与 AB,BC相切, ,圆 On+1与圆 On外切,且与 AB,BC相切,如此无限继续下去 . 记圆 On 的面积为 . （）证明 是等比数列；（）求 的值 . （）证明 ：记 rn 为圆 On的半径,就学习必备 欢迎下载所以故 成等比数列 . （）解： 由于 所以说明： 本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本

31、学问,考查规律思维才能 . 七、强化训练1设 S n 和 T n 分别为两个等差数列的前n 项和,如对任意n N,（）A43 B32 C74 D7871 2一个首项为正数的等差数列中,前 3 项的和等于前 11 项的和,当这个数列的前 n 项和最大时, n 等于（）A5 B6 C7 D8 2 *3如数列 a n 中,a 1 3,且 a n 1 a n n N ,就数列的通项 a n4设在等比数列 a n 中,a 1 a n 66 , a 2 a n 1 128 , S n 126 , 求 n 及 q5依据下面各个数列 a n 的首项和递推关系,求其通项公式* a 1 ,1 a n 1 a n

32、2 n n N a 1 ,1 a n 1 na n n N * n 1 a 1 ,1 a n 1 1a n 1 n N *26数列 a n 的前 n 项和 S n 1 ra n r 为不等于 0,1 的常数 ,求其通项公式 a n7某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着坚强的斗争,到 20XX年底全县的绿化率已达 30%；从 20XX 年开头,每年将显现这样的局面,即原有沙漠面积的 于各种缘由,原有绿化面积的 4%又被沙化；16%将被绿化,与此同时,由（1）设全县面积为 1,20XX年底绿化面积为 a 1 3 , 经过 n 年绿化总面积为 a n 1 .10求证 a n 1 4 4a n .25

33、 5（2）至少需要多少年（年取整数,lg 2 0 . 3010）的努力,才能使全县的绿化率达到 60%？8（ 20XX年春招试题） 已知点的序列（,0）,其中 =0,A3是线钱 A1A2 的中点, A4 是线段 A2A3的中点, , An是线段 的中点, ；（I ）写出 与、之间的关系式（3）（II ）设,运算,由此估量数列 的通项公式,并加以证明；学习必备欢迎下载n,an与 2994 年全国理 设 an是正数组成的数列,其前n 项和为 Sn,并且对全部自然数的等差中项等于Sn 与 2 的等比中项 . 1 写出数列 an的前三项；2 求数列 an的通项公式 写出推证过程 ；3 令 bn= nN

34、,求： b1+b2+ +bn- n. 八、参考答案1解：设这两个等差数列分别为 an 和bn 故挑选 A说明： 留意奇妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项 在联系2解： 依题意知数列单调递减,公差 d0由于an 与前 2n-1 项和 S2n-1 的内S3=S11=S3+a4+a5+ +a10+a11 所以 a4+a5+ +a7+a8+ +a10+a11=0 即 a4+a11= =a7+a8=0,故当 n=7 时, a70,a80挑选 C解挑选题留意发挥合理推理和估值的作用3解：多次运用迭代,可得a na n12 a n22 2 a n222La 12n12 n312n14解：a2a n11

35、28 ,a1a n128,又a 1an66,由以上二式得a 12,an64或a 164,an2；由此得n6 g2或1 . 2说明：本例主要复习数列的基本运算和方程思想的应用；5解：（1）an1an2n,an1an2 n,ana 1a 2a1a3a2anan1121221nn1n2n1（2）ann1nn1ana 1a2a 3an1=112nn11aa 1a 2an23n11a11又解：由题意,n1a n1nan对一切自然数n 成立,nann1 an1an1.11an1an121 an2 a n2 是首项为a 12n（3）an,22公比为1 的等比数列,2an211n1,an21n1.22an1说明 ：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；6解：由S n1ran可得当n2时S n11ran1,S nS n1rana nranran1,anr1ran1,r,1an1rr1,r0,an是公an学习必备欢迎下载n1；比为rr1的等比数列 . 又当n1时,S 11ra1,a111r,an11rrr1说明： 本例复习由有关S 与a 递推式求a ,关键是利用S 与a 的关系进行转化；4 57（ 1）证明：由已知可得a 确定后,an1表示如下：an1=an 14 % 1an16%即an14 =80% a +16%