人教A版高中数学必修第二册期末检测试卷(二)

1、期末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第110题只有一项符合题目要求；第1113题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.以下事件是随机事件的是()A.下雨屋顶湿 B.秋后柳叶黄C.有水就有鱼 D.水结冰体积变大答案C解析A，B，D是必然事件.2.在ABC中，若A60，C45，ceq r(3)，则a等于()A.1 B.eq f(3r(2),2) C.eq f(2r(3),3) D.2答案B解析由正弦理得，aeq f(csin A,sin C)eq f(3r(2)

2、,2).3.设复数zeq f(2i,1i)(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析zeq f(2i,1i)eq f(2i1i,1i1i)eq f(2i1i,2)1i，对应的点为(1,1)，在第一象限.4.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为1087，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为()A.280 B.320 C.400 D.1 000答案C解析由题意知这是一个分层随机抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087，从中抽取200名职员作为样本，要从该单位青年职员

3、中抽取的人数为eq f(10,1087)20080，每人被抽取的概率为0.2，该单位青年职员共有eq f(80,0.2)400(人).5.已知向量a，b满足|a|1，|b|2，|ab|2，则|ab|等于()A.1 B.eq r(2) C.eq r(5) D.eq r(6)答案D解析|ab|2|a|2|b|22ab，abeq f(1,2)，|ab|2|ab|24ab，|ab|26，|ab|eq r(6).6.已知a(2，3)，b(1，2)，且ca，bc1，则c的坐标为()A.(3，2) B.(3,2)C.(3，2) D.(3,2)答案C解析设c(x，y)，则有eq blcrc (avs4alco

4、1(2x3y0，,x2y1，)解得eq blcrc (avs4alco1(x3，,y2.)故c(3，2).7.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸，若盆中积水深9寸，则平均降雨量是(注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；1尺等于10寸)()A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸答案A解析作出圆台的轴截面如图所示，由题意知，BF14寸，OC6寸，OF18寸，OG9寸，即G是OF的中点，GE为梯形OCBF的中位线，GEeq f(146,2)10寸，即积水的上底面半径为10寸

5、，盆中积水的体积为eq f(1,3)(10036106)9588(立方寸)，又盆口的面积为142196(平方寸)，平均降雨量是eq f(588,196)3(寸)，即平均降雨量是3寸.8.在ABC中，若sin2Asin2B2sin2C，则角C为()A.钝角 B.直角C.锐角 D.60答案C解析由sin2Asin2B2sin2C，得a2b22c2，即a2b2c2c20，又由余弦定理可得cos Ceq f(a2b2c2,2ab)0，所以角C为锐角.9.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为()A.eq f(1,3) B.eq f(2,3) C.eq f(

6、1,4) D.eq f(2,9)答案A解析甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所以可能出现的结果列表如下：甲乙锤剪子包袱锤(锤，锤)(锤，剪子)(锤，包袱)剪子(剪子，锤)(剪子，剪子)(剪子，包袱)包袱(包袱，锤)(包袱，剪子)(包袱，包袱)因为由表格可知，共有9种等可能情况.其中平局的有3种(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱).设事件A为“甲和乙平局”，则P(A)eq f(3,9)eq f(1,3).10.正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为()A.eq f(1,2) B.eq f(r(3),2) C.eq f(r(3),3) D.eq f

7、(r(6),3)答案C解析如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AD与B1C1平行，则直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值即为B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值.因为A1BC1为等边三角形，则B1在平面A1BC1上的投影即为A1BC1的中心O，则B1C1O为B1C1与平面A1BC1所成角.可设正方体边长为1，显然BOeq f(r(3),3)eq r(2)eq f(r(6),3)，因此B1Oeq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),3)2)eq f(r(3),3)，则sinB1C1Oeq f(B1O,B1C1)eq f(r(3),3).11.从装有两个红球和三

8、个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是()A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”答案AB解析“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.12.在RtABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是()A.|eq o(AC,sup6()|2eq o(AC,sup6()eq o(AB

9、,sup6()B.|eq o(BC,sup6()|2eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()C.|eq o(AB,sup6()|2eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()D.|eq o(CD,sup6()|2eq f(o(AC,sup6()o(AB,sup6()o(BA,sup6()o(BC,sup6(),|o(AB,sup6()|2)答案ABD解析eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|cos A，由|eq o(AB,sup6()|cos A|eq o(AC,sup6()|可得|eq

10、 o(AC,sup6()|2eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，即选项A正确，eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()|eq o(BA,sup6()|eq o(BC,sup6()|cos B，由|eq o(BA,sup6()|cos B|eq o(BC,sup6()|可得|eq o(BC,sup6()|2eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()，即选项B正确，由eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()|eq o(AC,sup6()|eq o(CD,sup6()|cos(ACD)0，知选项C错误，由图可知RtACDRtABC，

11、所以ACBCABCD，由选项A，B可得|eq o(CD,sup6()|2eq f(o(AC,sup6()o(AB,sup6()o(BA,sup6()o(BC,sup6(),|o(AB,sup6()|2)，即选项D正确.13.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EFeq f(1,2)，则下列结论中错误的是()A.ACAFB.EF平面ABCDC.三棱锥ABEF的体积为定值D.AEF的面积与BEF的面积相等答案AD解析A.因为ACBD，而BDB1D1，所以ACB1D1，即ACEF，若ACAF，则AC平面AEF，即可得ACAE，由图分析显然不成立，故A不正

12、确；B.因为EFBD，EF平面ABCD，BD平面ABCD，所以EF平面ABCD，故B正确；C.VABEFeq f(1,3)SBEFeq f(1,2)ACeq f(1,3)eq f(1,2)EFBB1eq f(1,2)ACeq f(1,12)EFBB1AC，所以体积是定值，故C正确；D.设B1D1的中点是O，点A到直线EF的距离是AO，而点B到直线EF的距离是BB1，所以AOBB1，SAEFeq f(1,2)EFAO，SBEFeq f(1,2)EFBB1，所以AEF的面积与BEF的面积不相等，D不正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率

13、分别为0.6和0.5，则两人都不感冒的概率是_，两人中有人患感冒的概率是_.答案0.20.8解析“有人感冒”这一事件包括甲、乙中有一人感冒和全都感冒.设事件A：甲患感冒，事件B：乙患感冒.则则两人都不感冒这一事件的概率为P(eq xto(A)eq xto(B)1P(A)1P(B)0.2，两人中有人感冒这一事件的概率为P(eq xto(A)BAeq xto(B)AB)P(eq xto(A)B)P(Aeq xto(B)P(AB)P(eq xto(A)P(B)P(A)P(eq xto(B)P(A)P(B)P(eq xto(A)P(B)P(A)0.40.50.60.8.15.已知非零向量a，b满足|a

14、|4|b|，且b(a2b)，则a与b的夹角为_.答案eq f(2,3)解析设a与b的夹角为，根据题意，可得b(a2b)0，即|a|b|cos 2b20，代入|a|4|b|，得到cos eq f(1,2)，于是a与b的夹角为eq f(2,3).16.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|xy|的值为_.答案4解析由题意可得，xy20，(x10)2(y10)28，设x10t，y10t，则2t28，解得t2，|xy|2|t|4.17.ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知ab，c22b2(1sin C)，则C_.答

15、案eq f(,4)解析c22b2(1sin C)，可得，sin C1eq f(c2,2b2)，又ab，由余弦定理可得，cos Ceq f(a2b2c2,2ab)1eq f(c2,2b2)sin C，sin Ccos C0，可得eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(Cf(,4)0，C(0，)，可得Ceq f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(3,4)，Ceq f(,4)0，可得Ceq f(,4).三、解答题(本大题共6小题，共82分)18.(12分)已知|a|4，|b|8，a与b夹角是120.(1)求ab的值及|ab|的值；(2)当k为何值时

16、，(a2b)(kab)?解(1)由向量的数量积的运算公式，可得ab|a|b|cos 12048eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)16，|ab|eq r(a2b22ab)eq r(4282216)4eq r(3).(2)因为(a2b)(kab)，所以(a2b)(kab)ka22b2(2k1)ab0，整理得16k128(2k1)(16)0，解得k7.即当k7时，(a2b)(kab).19.(12分)如图，在三棱锥ABCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，ABAD，AEBC.求证：(1)EF平面ACD；(2)AECD.证明(1)因为在BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，所

17、以EFCD，又因为EF平面ACD，CD平面ACD，从而EF平面ACD.(2)因为点E是BD的中点，且ABAD，所以AEBD，又因为AEBC，BC平面BCD，BD平面BCD，BCBDB，故AE平面BCD，因为CD平面BCD，所以AECD.20.(14分)在ABC中，cos(AC)0，sin Aeq f(1,3).(1)求sin C的值；(2)设ABC的平分线与AC交于D，若AC3，求BD的长.解(1)由cos(AC)0，得ACeq f(,2)，又由ABC，所以Beq f(,2)，所以sin Csineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)A)cos Aeq f(2r(2),3).(2

18、)在RtABC中，sin Aeq f(1,3)，AC3，所以BCACsin A3eq f(1,3)1，在DBC中，sinBDCsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)A)eq f(r(2),2)(sin Acos A)eq f(4r(2),6)，由正弦定理得，eq f(BD,sin C)eq f(BC,sinBDC)，所以BDeq f(BCsin C,sinBDC)eq f(f(2r(2),3),f(4r(2),6)eq f(8r(2)4,7).21.(14分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不

19、处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据：处罚金额x(单位：元)50100150200迟到的人数y5040200若用表中数据所得频率代替概率.(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B类是其他员工.现对A类与B类员工按分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？解(1)设“当罚金定为100元时，某员工迟到”为事件A，则P(A)eq f(40,200)eq f(1,5)，不处罚时，某员工迟到的概率为eq f(80,200)eq f(2

20、,5).当罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低eq f(1,5).(2)由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽出两人，设从A类员工抽出的两人分别为A1，A2，从B类员工抽出的两人分别为B1，B2，设“从A类与B类员工按分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件M中首先抽出A1的基本事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)共6种，同理，首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，故事件M共有4624(种

21、)基本事件，设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)共4种基本事件，P(N)eq f(4,24)eq f(1,6)，抽取4人中前两位均为B类员工的概率是eq f(1,6).22.(15分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20,25)，第2组25,30)，第3组30,35)，第4组35,40)，第5组40,45，得到的频率分布直方图如图所示.(1)若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6

22、名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第5组志愿者有被抽中的概率.解(1)第3组的人数为0.310030，第4组的人数为0.210020，第5组的人数为0.110010，因为第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组eq f(30,60)63；第4组eq f(20,60)62；第5组eq f(10,60)61.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人.(2)设“第5组的志愿者有被抽中”为事件A.记第3组

23、的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有15种等可能情况.其中第5组的志愿者被抽中的有5种，P(A)eq f(5,15)eq f(1,3).答第5组的志愿者有被抽中的概率为eq f(1,3).23.(15分)如图在AOB中，D是边OB的中点，C是OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点，设eq o(OA,s