2021年考研数学三真题及答案

1、 5/52021年考研数学三真题及答案 2014年考研数学三真题 一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设limnan=a,且a0，则当n充分大时有 (A)ana2 (B) an (C) ana-1n(D) an 【答案】A。 【解析】 【方法1】直接法： 由limnan=a,且a0，则当n充分大时有 ana2 【方法2】排除法： 若取an=2+2n,显然a=2,且(B)和(D)都不正确； 取an=2-2n,显然a=2，且(C)不正确 综上所述，本题正确答案是(A) 【考点】高等数学函数、极限、连续极限的概念与性质 (2

2、)下列曲线中有渐近线的是 (A)y=x+sinx (B)y=x2+sinx (C) y=x+sin1x (D) y=x2+sin1x 【答案】C。 【解析】 【方法1】 由于limxf(x)x=limxx+sin1xx=1=a limxfx-ax=limxx+sin1x-x=limxsin1x=0=b 所以曲线y=x+sin1x有斜渐近线y=x，故应选(C) 解法2 考虑曲线y=x+sin1x与直线y=x纵坐标之差在x时的极限limxx+sin1x-x=limxsin1x=0 则直线y=x是曲线y=x+sin1x的一条斜渐近线，故应选(C) 综上所述，本题正确答案是(C) 【考点】高等数学一元

3、函数微分学曲线的凹凸、拐点及渐近线 (3)设px=a+bx+cx2+dx3.当x0时，若px-tanx是比x3高阶的无 穷小，则下列选项中错误的是 (A)a=0 (B)b=1 (C)c=0 (D)d=16 【答案】D。 【解析】 【方法1】 当x0时，tanx-x 13x3知，tanx的泰勒公式为 tanx=x+ 13x3+o(x3) 又limx0px-tanxx3=limx0a+b-1x+cx2+d-13x3+o(x3)x3=0则a=0,b=1,c=0,d=13 【方法2】 显然，a=0， limx0px-tanxx3=limx0a+bx+cx2+dx3-tanxx3=limx0b+2cx

4、+3dx2-sec2x3x2 由上式可知，b=1,否则等式右端极限为，则左端极限也为，与题设矛盾。 limx0px-tanxx3=limx02cx+3dx2-sec2x3x2=limx02c3x+d-13 故c=0,d=13 综上所述，本题正确答案是(D)。 【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量及其阶的比较 (4)设函数f(x)具有二阶导数，gx=f01-x-f(1)x,则在区间0,1上 (A)当f(x)0时，f(x)g(x) (B)当f(x)0时，f(x)g(x) (C)当f(x)0时，f(x)g(x) (D)当f(x)0时，f(x)g(x) 【答案】D。 【解析】 【方法1】 由于f0

5、=g0,f1=g1,则直线y=f01-x-f(1)x过点(0,f(0)和(1,f(1),当f(x)0时，曲线y=f(x)在区间0,1上是凹的，曲线y=f(x)应位 于过两个端点(0,f(0)和(1,f1)的弦y=f01-x-f(1)x的下方，即f(x)g(x) 【方法2】 令Fx=fx-gx=fx-f01-x-f(1)x,则 Fx=fx+f0-f(1),Fx=f(x), 当f(x)0时，Fx0。则曲线Fx在区间0,1上是凹的，又F0=F1=0， 从而，当x0,1时，F(x)0,即f(x)g(x) 【方法3】 令Fx=fx-gx=fx-f01-x-f(1)x, 则Fx=fx1-x+x-f01-x

6、-f(1)x, =1-xfx-f0-xf1-fx =x1-xf-x1-xf()0,x,x,1 =x1-xf-f() 当f(x)0时,f(x)单调增，ff()，从而，当x0,1时，F(x)0,即f(x)g(x) 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学一元函数微分学函数不等式证明 (5)行列式0aa0 b00b0cc0 d00d= (A)(ad-bc)2 (B)- (ad-bc)2 (C)a2d2-b2c2 (D) b2c2-a2d2 【答案】B。 【解析】灵活使用拉普拉斯公式 0aa0 b00b0cc0 d00d=-c0a0 0d0b0c0a d0b0=cdab 00000000 dcb

7、a =cdab ?dcba=- (ad-bc)2 综上所述，本题正确答案是(B) 【考点】线性代数行列式数字型行列式的计算 (6)设1,2,3均为三维向量，则对任意常数k,l,向量组 1+k3,2+l3线性无关是向量组1,2,3线性无关的 (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 【答案】A。 【解析】 记1=1+k3,2=2+l3，则 1，2=(1,2,3)1001kl 若1,2,3线性无关，则(1,2,3)是3阶可逆矩阵， 故r1，2=r1001kl=2,即1+k3,2+l3线性无关。 反之，设1,2线性无关，3=0，则对于则对任意常数k,

8、l,向量组1+k3,2+l3线性无关，但1,2,3线性相关， 所以1+k3,2+l3线性无关是向量组1,2,3线性无关的必要非充分条件。 综上所述，本题正确答案是(A)。 【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关 (7)设随机事件A与B相互独立，且PB=0.5,PA-B=0.3,则PB-A= (A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B。 【解析】A，B独立，则A,B独立，B,A也独立,而A-B=AB,B-A=BA 可用独立性来计算。 PA-B=PAB=PAPB=0.3 PB=1-PB=0.5 可得PA=0.6 PB-A=PBA=PBPA=0.50.4=0.2 综上

9、所述，本题正确答案是(B)。 【考点】概率论与数理统计随机事件和概率事件关系，概率性质和五大公式 (8)设X1,X2,X3为来自正态总体N(0,2)的简单随机样本，则统计量 S=X1-X22X3服从的分布为 (A)F(1,1) (B) F(2,1) (C)t(1) (D)t(2) 【答案】C。 【解析】 X1-X2N(0,22)，所以X1-X22N(0,1) X3N0,2,X3N(0,1)，X322(1) X1-X2与X3相互独立，故X1-X22与X32也独立。 所以X1-X22X32/1t(1) ,而X1-X22X32/1=X1-X22X3=S 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】概率论与

10、数理统计数理统计的基本概念 二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。） (9)设某商品的需求函数为Q=40-2p(p为商品的价格)，则该商品的 边际收益为。 【答案】20-Q 【解析】由题设知收益函数为R=pQ=(40-Q2)Q,则边际收益为dRdQ=20-Q 【考点】高等数学一元函数微分学一元微分在经济中的应用(10)设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域， 则D的面积为。 【答案】32-ln2 【解析】 【方法1】 曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域D如下图，则D的面积为 S=-2-12+xdx+-1-122+1xdx=32-ln2 【方法

11、2】 用二重积分计算面积，即 S=Ddxdy=12dy-y-1ydx=12-1y+ydy=32-ln2 【考点】高等数学一元函数积分学定积分应用 (11)设0axe2xdx=14,则a=。 【答案】12。 【解析】 0axe2xdx=120axde2x=12xe2x0a-120ae2xdx=a2-14e2a+14可知a2-14e2a=0，则a=12 【考点】高等数学一元函数积分学定积分计算 (12)二次积分01dyy1(ex2x-ey2)dx= 。 【答案】e-12。 【解析】 二次积分的积分区域为 D=x,y0y1,yx1=x,y0 x1,0yx 交换积分次序得 01dyy1ex2x-ey2

12、dx=01dx0 xex2x-ey2dy =01(ex2-0 xey2dy)dx=01ex2dx-01(0 xey2dy)dx =01ex2dx-(x0 xey2dy)01+01xex2dx =01ex2dx-01ey2dy+12ex201=e-12 【考点】高等数学二重积分变换积分次序和坐标系 (13)设二次型fx1,x2,x3=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1， 则a的取值范围是。 【答案】-2,2 【解析】 由配方法 fx1,x2,x3=x12+2ax1x3+a2x32-x22-4x2x3+4x32+4x32-a2x3 2 =(x1+ax3)2-(x2-2x3)2

13、+(4-a2)x32 负惯性指数为1，故4-a20，解得a-2,2 【考点】高等数学二次型二次型的概念与标准形 (14)设总体X的概率密度为 fx;=2x32, 00 , x0 对X进行独立重复的观测，直到第二个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数 (I)求Y的概率分布 (II)求EY 【解析】 ()令A=对X进行一个观测得到的值大于3。 显然PA=PX3=3+f(x)dx=3+2-xln2dx=18, 记事件A发生的概率PA=18=p Y的可能取值应为k=2,3,?, PY=k=Ck-11p(1-p)k-2p=(k-1)p2(1-p)k-2,k=2,3,? 所以Y的分布为 PY=k=k-1p21-pk-2，p=18，k=2,3,? （） EY=2kk-1p21-pk-2 记1-p=q EY=p22k k-1qk-2=p2ddq2k qk-1 =p2ddq1k qk-1-1=p2ddq(1k qk-1)=p2ddq2(1qk) =p2ddq2(0qk-1)=p2ddq2(0qk)=p2ddq2(11-q) =p2ddq11-q2=p2?2(1-q)3=p2?2p3=2p=16 【考点】高等数学随机变量的数字特征数学期望 (23)设随机变量X,Y的概率分布相同，X的概率分布为PX=0=13, PX=0=23 ，且X,Y的相关系数xy=12 (I)求