从方程的角度理解线性代数课件

1、从方程的角度理解线性代数 用消元法解二元线性方程组一、二元线性方程组与二阶行列式a22 - a12 消去 x2 得a11 - a21 消去 x1 得当 a11a22 - a12a21 0 时,方程组的解为 二阶行列式记 Cramer 法则方程组的解为当系数行列式 D 0 时,例3 计算 n 阶行列式 Laplace 按行列展开定理 行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和. 即 解性质4 对换两行, 行列式值反号. 推论1 有两行全同的行列式, 其值为零.性质5 把行列式某一行的各元素乘以同一数, 然后加到另一行对应的元素上去, 行列式的值不变.性质四、行列式值的计算(2) 利

2、用 Laplace 定理的降阶法.(1) 化为上(下)三角形行列式的所谓化三角形法; 行列式的计算基本过程就是利用性质逐步简化行列式的结构. 为了便于检查, 引进以下记号: 用 ri rj 表示对换第 i, j 行; 用 kri 表示第 i 行乘以非零数 k； 用 rj +kri 表示把第 i 行的 k 倍加到第 j 行. 用 ci 表示第 i 列, 有相仿的记号.性质 主要方法有两个: 下列三种变换称为矩阵的初等行变换： 矩阵的初等行变换 (3) 把矩阵的第 i 行的 k 倍加到第 j 行, 用 rj +kri 记之.(2) 用非零数 k 乘矩阵的第 i 行, 用 kri 记之;(1) 对换

3、矩阵的第 i, j 行, 用 rirj 记之; 线性方程组的消元过程, 同解方程组的变化, 用相应的增广矩阵(行变换)的变化来表示, 显得更加清晰. 一、消元法与矩阵的初等行变换 如果矩阵 A 经过有限次初等行变换, 化为矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B 行等价. 增广矩阵行等价的两个线性方程组同解.解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:例3 解线性方程组 此增广矩阵相应的方程组第三个方程为 0 = 2, 不可能.原方程组无解.(行阶梯形矩阵) 最后, 矩阵 A 便化为行阶梯形矩阵其中 a1ar 0, r m, n, 左下方空白处元素全为零. 用初等行变换化矩阵为行最简形 线性方程组的最简形解

4、法 将线性方程组的增广矩阵化为行最简形, 写出同解方程组, 解便一目了然. 对于齐次线性方程组, 增广矩阵改用系数矩阵即可.例5 解线性方程组 解 化方程组的增广矩阵为行最简形:于是得同解方程组令自由未知元 x2=k1, x4=k2, 得原方程组的通解为 mn 矩阵 aij : 矩阵的第 i 行第 j 列的元素, 用粗体大写字母表示矩阵, 以上矩阵记为 A (aij).简称 (i, j)元.一、矩阵及其线性运算 数与矩阵的乘积 数 k 与矩阵 A=(aij) 的乘积称为数乘运算, 记作 kA, 矩阵的加法与数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 线性运算律 设 A, B, C 为同型矩阵, k,

5、l 为数, 则成立(1)(2)(3)规定为 两矩阵的乘积 设记称矩阵 为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 C = AB. AB 中第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积. 线性方程组可记为矩阵形式 Ax = b, 其中 当b 0 时, 称方程组为非齐次的.当b = 0 时, 称方程组为齐次的;称矩阵 A 为线性方程组的系数矩阵.称矩阵为线性方程组的增广矩阵. 方阵 A 可逆时, 其逆矩阵唯一, 记为 A-1. 逆矩阵 如果存在矩阵 B, 使 AB = BA = E那么称方阵 A 为可逆的, 并称 B 为 A 的逆矩阵.二、逆矩阵 设 A 可逆, 则矩阵方程 A

6、X = B 有唯一解 X = A-1 B. 设 A 可逆, 则矩阵方程 XA = B 有唯一解 X = BA-1 . 设 A 可逆, 则线性变换 y = Ax 的逆变换为 x = A-1 y. 逆矩阵的性质 设 A, B 为 n 阶可逆矩阵, 则有 逆矩阵计算公式 非奇异矩阵 A 可逆, 且其逆矩阵为三、逆矩阵的初等变换求法 设 A 可逆, 则由定理4知, (A, E) 经若干次初等行变换可化为 (E, A-1). 逆矩阵的初等变换求法逆矩阵的初等变换求法:解 例2 已知求 A-1.1.4 矩阵分块法 用若干条横、竖线将矩阵分块, 每一小块称为子矩阵.以子矩阵为元素的形式上的矩阵, 称为分块矩

7、阵.例1 将 34 矩阵分块, 分块法有多种.例如:22 分块:23 分块:解由已知 |A|0, |B|0, 而 |D| = |A|B| 0, 因此 D 可逆.设 其中方阵 X, Y 分别与 A, B 同阶,解得 因此 则例5 设 A 为 n 阶可逆方阵, B 为 r 阶可逆方阵, C 为rn 矩阵, 证明可逆, 并求 D-1. 矩阵的秩 如果矩阵 A 的等价标准形为 那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A), 或 rank(A). 规定零矩阵的秩等于0. 定理1 任一矩阵的等价标准形唯一.推论 n元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是 R(A) R

8、(A) 时, 方程组无解; (2) 当 R(A, b) = R(A) = n 时, 方程组有唯一解; (3) 当 R(A, b) = R(A) n 时, 方程组有无穷多解. 设 n 元线性方程组 Ax = b. 当 R(A) = n 时, n 元齐次方程组 Ax = 0 只有零解. 当 R(A) = r 其中注意:二、线性方程组解的结构 则 Ax = 0 的通解可表示为向量形式 齐次通解结构定理则 Ax = 0 的通解可表示为向量形式其中注意: 设 x1, xn-r (r = R(A)为 n 元方程组 Ax = 0 的解, 且满足条件 R(x1, xn-r) = n- r, 则 Ax = 0

9、的通解为(k1, kn-r 为任意数) 称 x1, xn-r 为方程组 Ax = 0 的一个基础解系. 解 化系数矩阵为行最简形:例4 求线性方程组的一个基础解系.于是得同解方程组分别令 x3 = 7, x4 = 0 和 x3 = 0, x4 = 7, 得基础解系为一、向量组的秩和最大无关组 向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A). 向量组的最大无关组 设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, , ar 为 A 中一个线性无关向量组, 那么称 a1,ar 为 A 的一个最大无关组. 最大无关组的性质 设 A 为一向量组, 则部分组 a1,ar 为 A 的一个最大无关组的充分必要条件是(2) A 中任一向量可由 a1,ar 线性表示.(1) a1,ar 线性无关; 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.证明 设矩阵 A 经初等行变换化为矩阵 B.设矩阵 A 的列向量组有一线性关系因为矩阵 A 与 B 行等价,所以 Ax = 0 与 Bx = 0 同解,由此可知也有 定理1 记 秩与最大无关组的一个算法 例3 设的秩为3,一个最大无关组为易知且有 的秩为3,一个最大无关组为因此且有 化矩阵 A为