探究函数概念的策略

1、 探究函函数概念念的策略略策略引入入 两两只黄色色的小鸡鸡正争着着啄地上上的一条条蚯蚓。一个小小男孩对对一个小小女孩喊喊：快看啊啊，小鸡鸡吃蚯蚓蚓！才不是是吃，是是争着蚯蚯蚓玩！小女孩孩说。瞧，蚯蚯蚓被吃吃到肚子子里去了了。小男孩孩惊叫道道。好奇怪怪，小鸡鸡怎么会会吃蚯蚓蚓呢！小小鸡只吃吃碎米，奶奶每每天给小小鸡碎米米吃。小女孩孩嘟嘟囔囔囔。 小鸡鸡还吃饭饭、吃菜菜叶、吃吃虫子，还吃-小小男孩说说不出来来，停顿顿了一会会，可能还还吃巧克克力。说完，他从口口袋里掏掏出刚才才吃剩的的巧克力力，掰了了一小块块，放在在地上。小鸡认认为是小小泥块，才不吃吃。小女孩孩说。不会的的！小男孩孩嚷道，它们没没有

2、看见见。说完，弯腰捡捡起了巧巧克力，丢到小小鸡群中中。吃了，吃了。小鸡爱爱吃巧克克力，谁谁都爱吃吃巧克力力。小男孩孩跳着，笑着，奔到房房下：妈妈，妈妈，小鸡爱爱吃巧克克力！以上这这一幕，体现了了一次探探究活动动，探究究是人的的天性。正是通通过对周周围世界界不断的的探究，人成长长起来了了！策略剖析析 探究的策策略就是是在探究究问题的的过程中中所采取取的方法法，如对对比、等等价探究究、加强强条件或或削弱条条件等等等。它是是在好奇奇心驱使使下、以以问题为为导向、有高度度智力投投入且内内容和形形式都十十分丰富富的学习习活动。策略的的合理使使用能使使问题的的探究过过程更有有方向性性，更有有效，提提高学习

3、习的效率率，达到到准确把把握概念念实质的的目的。学会探究，就掌握了剖析概念的利器函数是贯贯穿高中中数学知知识的主主线，其其思想方方法渗透透到各部部分内容容的学习习中。由由于函数数的概念念比较抽抽象，涉涉及面广广，同学学们理解解起来感感到难度度大，在在运用中中常常表表现出思思路闭塞塞、逻辑辑紊乱。要全面面准确地地掌握函函数概念念，不仅仅要具有有“打破沙沙锅问到到底”的探究究精神，而且要要掌握科科学地探探究的策策略，使使我们的的探究活活动具有有目的性性及可行行性。在在学习中中，对所所研究的的对象进进行分析析、综合合、抽象象，对概概念的必必要性和和合理性性进行推推敲,直到我我们能够够界定问问题,并形

4、成成和修正正解决问问题的方方案。对函数概概念的探探究可以以从以下下几个方方面进行行： 1.通通过对比比，探究究函数与与映射的的联系 当学习习一个新新概念时时，要开开展知识识之间的的纵横联联系，寻寻求不同同概念之之间的交交汇点，对相似似的概念念要把握握它们之之间的区区别与联联系。函函数概念念是建立立在映射射概念基基础上的的。映射射f:AAB是指，对于集集合A的的每一个个元素aa，按照照某个对对应法则则f，在集集合B中中都有唯唯一确定定的值和和它对应应。当AA、B都都是非空空数集时时，映射射f:AAB叫做从从A到BB的函数数。可见见，映射射是建立立在集合合A集合B上的单单值对应应。由于于函数是是描

5、述变变量情景景中的两两个变量量之间存存在的量量的关系系。因此此，函数数又是建建立在从从非空集集到非空空集上的的映射，故函数数是一种种特殊的的映射。2、探究究“关键词词”与本质质探究一：寻求关关键词。审查函函数的定定义，发发现“每一个个确定”，“唯一确确定”是定义义中的关关键词。它的意意思是，自变量量x所在的的集合中中的每一一个元素素，通过过某种对对应法则则，在另另一个变变量y所在的的集合中中都有且且只有一一个确定定的值与与x的值对对应。它它体现函函数是从从一个数数集到另另一个数数集上的的单值映映射。 例例1：下下列各图图象中， yy y y y o x 0 x o x o xx （11） （2

6、） （3） （4）不可能是是函数yy=f(x)的的图象的的序号是是_。 在在四个图图象中，从定义义中所要要求的对对应关系系入手，发现（3）、（4）不符合合“唯一确确定”的条件件，故答答案：（3）（4）。 请同同学们想想一想：怎样修修改（33）（44）的图图象，使使它们能能作为某某函数的的图象？ 数学不是空中楼阁，数学是来源于生活的。探究二：把握本本质要素素。对于函数数而言，函数有有三要素素：定义义域，值值域，及及对应法法则f。其中中f是使“对应”得以实实现的方方法和途途径，是是联系xx和y的纽带带，是函函数的核核心；定定义域是是自变量量x的取值值范围，值域是是全体函函数值的的集合。对于函数数的

7、对应应法则的的确定，具体问问题具体体分析。在分析析过程的的关键在在于探究究y与x之间存存在的等等量关系系。一旦旦定义域域和对应应法则确确定，函函数的值值域就随随之确定定。关于于函数的的定义域域的探究究可以从从以下方方面展开开。其一：研研究函数数的解析析式。在在一般情情况下，函数的的定义域域就是使使函数的的解析式式有意义义的自变变量的取取值范围围。其二：扣扣紧函数数所针对对的具体体的背景景。数学学是来源源于生活活的。例例如：我我们用函函数来模模拟在销销售衣服服的过程程中，在在一周到到5周内内，每件件衣服的的销售价价格y与周次次x的函数数关系时时，该函函数的定定义域就就不是RR，而是是且，诸如如此

8、类的的问题，请同学学们结合合平时学学习加以以重视。其三：灵灵活处理理函数的的定义域域，使之之符合研研究问题题的特殊殊要求。例如：函数在在R上是是有意义义的，但但不存在在反函数数，如果果将其定定义域限限制在RR+，那么么它就存存在反函函数。在在什么条条件下，两个函函数被认认为是相相同的函函数？3、探究究符号 准确确运用 探究究发展 数学学知识的的表达方方式有文文字语言言，符号号语言及及图象语语言，三三种语言言的互化化在解决决问题时时十分重重要。三三种语言言中，符符号语言言由于形形式简洁洁、抽象象、概括括性强，因此，理解及及运用的的难度大大。例如在学学习函数数的周期期性时，抓住定定义中的的f(x+

9、T)=f(xx)提出出问题。例2、你你能从ff(x+T)=f(xx)得出出其他关关于函数数周期性性的表达达式吗？探究1：将f(x+TT)=ff(x)改写为为f(xx+T)= -f(xx)。注注意到-f(xx)就是是f(xx)的相相反数，因此计计算f(x+22T)=f(x+TT)+TT=-f(xx+T)=-f(x)=f(x).可见满满足条件件f(xx+T)= -f(xx)的函函数仍具具有周期期性，最最小正周周期为22T。探究2：若f(x+TT)= 或f(xx)=- ，同样样可以推推出f(x)的的周期为为2T.探究3：若将ff(x+T)=f(xx)改为为f(TT-x)=f(xx)，该该函数还还具备

10、周周期性吗吗？如果果不具备备周期性性，那么么你能得得出什么么结论？ 当当函数ff(x)满足f(T-x)=f(xx)时，函数不不具备周周期性。反例：满足，此此时T=2，但但它不是是周期函函数。通通过研究究它的图图象还可可以发现现x=11是其图图象的对对称轴。类似的的反例还还有f(x)= 等等。从对反反例的研研究，可可以对满满足f(T-x)=f(xx)的函函数进行行对称性性的论证证。你注意到探究过程的特点吗？探究概念，是不是挺有用的？证明：在在函数图图象上任任取一点点P（xx,y）则y=f(xx) 设设P关于于x=T的对称称点（T-xx,y）。 由由f(TT-x)=f(xx)得f(T-x)=f(x

11、x) 即即y=ff(T-x) 所以以（T-xx,y）也在yy=f(x)的的类似的的图象上上。得到结论论：当函函数f(x)满满足f(T-x)=f(xx)时，f(xx)的对对称轴为为x=T。例3：当当f（xl）f（1-xx）时，函数yy=f(x)的的图象的的对称轴轴是什么么？并回回答yf（xl）与 yyf（1-xx）的图图象的对对称轴。对这个问问题，你你是否认认为它们们的对称称轴都是是y轴？分析：我我们先来来比较两两个问题题中的条条件有何何区别：发现问问题1是是对一个个函数图图象的对对称性的的探究，这个问问题在上上例中我我们已经经研究过过了。而而第二个个问题是是对两个个函数图图象之间间的位置置的对

12、称称性的研研究。解：当ff（xl）f（1-xx）时，y=ff(x)的图象象的对称称轴是yy轴。我我们由函函数图象象的基本本知识已已经知道道y=ff(x)与y=ff(-xx)的图图象关于于y轴对称称，再根根据图象象的平移移，f(x-11)是将将f(xx)的图图象向右右平移11个单位位得到；f(11-x)的图象象是将ff(-xx)的图图象也向向右平移移1个单单位得到到。所以以yf（xl）与 yyf（1-xx）的图图象的对对称轴是是x=11.探究是数学的生命线可见，不不透彻理理解一个个图象的的对称性性与两个个图象的的对称关关系的区区别，两两者很容容易混淆淆。可见见对概念念理解如如果仅仅仅停留在在字面

13、上上的含义义是远远远不够的的，还须须理解其其隐含着着的深层层次的含含义并掌掌握各种种等价的的表达方方式，并并将其开开拓发展展。4、探究究概念的的隐含条条件 例4：判判断函数数的奇偶偶性。分析：本本题中如如果只去去考察的的关系式式，易将将此函数数错认为为偶函数数。产生生错解的的一个重重要原因因在于忽忽略对该该函数的的定义域域的考察察。事实实上，该该函数的的定义域域是，不不关于原原点对称称。所以以此函数数是非奇奇非偶函函数。隐含条件太重要了，值得好好关注。函数奇偶偶性的定定义是这这样叙述述：对定定义域DD上的任任意x，如果果都有成成立，则则称是偶偶函数；如果，则称是是奇函数数。虽然然定义中中字面上上并没有有提到定定义域关关于原点点对称，但是我我们探究究定义不不难得到到：对任任意，则则-成立立，因此此定义域域D关于于原点对对称。由以上各各例可以以看出，对概念念的探究究活动十十分的重重要。在在探究的的过程中中，不仅仅学习了了概念，而且对对概念的的理解也也更深刻刻。我们们还发现现对概念念进行探探究往往往还能得得到许多多重要的的发现，有了以以上的探探究成果果，对我我们解决决许多函函数问题题有很大大的帮助助。策略演练练求证：函函数y=f(xx)