专题椭圆焦点三角形

1、椭圆的焦点三角形一知识梳理定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点构成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。因此周长为定值2a+2c性质二：已知椭圆方程为x2y21(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角a2b2形PF1F2中F1PF2,则SF1PF2b2tan.2y证明：记|PF1|r1,|PF2|r2，P由椭圆的第必定义得r1r22,(r1r2)242.aaF1OF222在F1PF2中，由余弦定理得：r1r22r1r2cos(2c)2x.配方得：(r1r2)22r1r222cos4c2.r1r即4a22r1r2(1

2、cos)4c2.由随意三角形的面积公式得：1sin2sincosSF1PF2r1r2sin22222tan.2b1cosb2cos2b22性质三：已知椭圆方程为x2y21(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角a2b2形PF1F2中F1PF2,则cos2b2112e2.而且点P在y轴上是张角最大。a2证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：2b212b2112e2.当切仅当r1r2，即点P在y轴r1r2)2a2(2是cos取的最小值，而角获得最大值。二典型例题例1如图把椭圆x2y21的长轴AB分红8分，2516过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于P,P,P七个点

3、，F是椭圆的一个焦点，则PFPF.PF_127127解：只要取椭圆的另一焦点与P1,P2,P7七个点分别连结，由结论1和对称性可知例2若P是椭圆x2y21上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260，1）10064求F1PF2的面积2）求点P的坐标例3已知F1、F2是椭圆x2y21(ab0)的两个焦点，椭圆上一点P使a2b2F1PF290，求椭圆离心率e的取值范围。由焦点三角形性质二，cos90012e2.e12练习题1.椭圆y2x21上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线相互垂直，则F1PF24924的面积为（）A.20B.22C.28D.242.椭圆x2y21的左右焦点为F1、F2，P是

4、椭圆上一点，当F1PF2的面积4为1时，PF1PF2的值为（）A.0B.1C.3D.63.椭圆x2y21的左右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，当F1PF2的面积4最大时，PF1PF2的值为（）A.0B.2C.4D.24已知椭圆x2y21（a1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，a2且F1PF260，则|PF1|PF2|的值为（）A1B1C4D2333已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点P在椭圆上，直线PF与PF倾斜角的差为90，FPF的面积是，离心率为5，1212203求椭圆的标准方程.6x2y2PF2的点P的个数为？F1,F2是椭圆C:1的焦点,在C上知足PF184A.0B.1C.3D.47椭圆x2y21的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，94点P横坐标的取值范围是。8已知椭圆的两个焦点为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A22122D21B2C29已知ABC的极点B、C在椭圆x2+y2=1上,极点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的4此外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是.10设F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,点M在椭圆上,若MF1F2是直角三角形,则MF1F2的面积等于(