灰色理论基础

1、灰色理论在灰色理论中，通常用GM （n, m）来表示灰色模型，其中，n为差分次数，m为变量的个 数。对于沉降的预测，工程研究人员一般采用GM（1, 1）来进行预测。等时距GM（1, 1）模型等时距GM（1, 1）模型是最常用的一种灰色预测模型，也是非等时距GM（1,1）模型的建 模基础。设观测到的原始等时距数据序列为：X0 = x（0）（1）,x（0）（2）, ., x（0）（k）,x（0）（n）其中，x（0） （k）为时刻对应的初始数值，时间步长 *为常数，i = 1,2,3 . n。对X0中的数据经过一次累加（1-AGO）运算，得到光滑的生成数列:X X 1=,.,x(1) (k),.,

2、x(1)其中，x(1)(t ) = k x(0)(t)，k = 1,2,3 . n。i=1XU的均值数据序列zU可以表示为：ZU = z(1),z(1)(2),.,z(1)(k),.,zd)(n 1)其中，z(k) = 1/2 x(1)(k) + x(1)(k +1)x（k）的GM（1, 1）模型白化形式的微分方程可表示为:dx (dx (t)dt+ ax(t) = b, t g 0, +3)(1)其中，s b为待定参数，可以由式（1）离散化后求得，式（1）在区间k,k +1离散后的方程为：x (0) (k +1) + az (1)( k) = b (2)离散的过程： 式（1）在区间k, k

3、+1上积分，有: TOC o 1-5 h z k + 1k + 1k + 1+J dx(t) + J ax(t)dt = J bdtk+1J dx(t) = x(k +1)x(k) = x(0) (k +1)k+11J x (1)(t 冲勺x (1)( k+1)+x (1)(k )=z (1)(k)所以，式（1）离散后的方程为式（2）。利用最小二乘法可以从式(2)中求得参数a和b：x(0)(k +1)+az(i)(k) = b n x(0)(k + 1)=-az(k) + b n Y = Ba- z，11-x (0)-式中，B =-z (i)(2),1,Y=x(0)-a ,a =b ,1,-z

4、 (i)(n -1),1_x(0) (n)一 a ,、所以，a = (BtB)-1 BtY。b把求得的参数代入式(1)中，可以得到白化方程的解为:x(i)(f) = c e-at + b / a当 t=1 时，x(i)(t)=x(i)(1) = x(0) (1)n x(i)(t)=(x(1)-b/a)e-a(t-i) + b/a所以GM(1,1)模型的时间相应数据序列为：x(k + 1)=(x(0)(1)-b I a)e-ak + b / a，A=123.n。还原到初始数据为：X(0) (k + 1)=x(k +1)-X(1)(k) = (1-ea)x(0)(1)-b/ae-ak，k=1,2,

5、3.n。预测精度分析及检验根据GM(1,1)模型计算得到的预测值是否可靠，必须通过一定的检验手段和评价标准进行 验证，常采用关联度分析或后验差检验来保证预测的可靠性，这里主要介绍后一种检验方法。后验差检验方法是根据残差的均方差七和原始数据的均方差的比值来判断的。原始数据 序列为七(0)(k)，预测数据序列为(0)(k)其残差为：x=1 x (0)(k)nk=1 (k) x=1 x (0)(k)nk=1:二 x (0)(k ) - x2k=1S =2A _ (k) -S =2A _ (k) -2k=1后残差比值为C = S2 / S 小误差概率为：p = P(k)- 0.950.950.800.

6、800.700.7C0.65对X1可以建立GM (1,1)模型的条件：光滑比：P (k) = x(o)(k) / x(k -1)级比：o (k) = x(1)(k)/x(1)(k-1)当k 3，p (k) 0.5(说明原始数据光滑)，o (k) g(L1.5(说明X 1满足准指数规律)，可以对X1可以建立GM(1,1)。非等时距GM(1,1)模型当时间步长七-1,。c (常数)时，原始数据序列为非等时距数据序列，在实际工程中得到 的原始数据往往属于这一类型的数据。因此必须将非等时距数据序列转化为等时距序列，在 利用建立等时距GM(1,1)模型的方法建立非等时距GM(1,1)模型。利用三次样条插

7、值法(cubic spline interpolation method)将非等时距数据序列转化为等时距数据序列，在按照等时距GM(1,1)模型进行预测。三次样条插值法用Matlab实现的代码及实例代码：pp=csape(x,y；conds：valconds)x,y为初始数据序列conds为初始边界条件：边界为一阶导数，用complete表示，其值在valconds中给出；边界为二阶导数，用second表示，其值在valconds中给出，缺省时为0,0；非扭结条件，用not-a-knot表示；周期条件，用periodic表示一般选用前两种。实例：Clear;x=1,2,4,5;y=1,3,4,

8、2;pp=csape(x,y；complete,-1,3);xx=1:0.1:5;yy=ppval(pp,xx);plot(xx,yy).等时距GM(1,1)模型用Matlab实现的程序代码：y=input(请输入原始数据序列)；n=length(y);%原始数据序列的维数yy=ones(n,1);%列向量，用来给变量申请内存yy(1)=y(1);for i=2:nyy(i)=yy(i-1)+y(i);end%yy为1-AGO累加后生成的数列 %接下来求B向量B=ones(n-1,2);For i=1:n-1%B矩阵的第一列元素%B矩阵的第一列元素%B矩阵的第二列元素%B的转置矩阵%此处所求的YN矩阵为行向量%A为2维列向量B(i,2)=1;endBT=B；%接下来求Y矩阵For j=1:n-1YN(j)=y(j+1);endYN=YN；A=inv(BT*B)*BT*YN;a=A(1);b=A(2);t=b/a;%灰色模型的预测数据 t-test=input(请输入需要预测的个数);for i=1:n+t-test;yys(1)=y(1);yys(i+1