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第5页 共5页丽水学院第七届高等数学(微积分)竞赛试卷(数学类) 时间:2013年3月23日,8:3011:00学院: 班级: 姓名:题号一二三四五总分得分一、计算题(本大题共5小题,每小题14分,共70分)1. 求极限(1)(2)解:(1)=(2) =而所以. 计算积分(1) (2)设是上的连续函数,试交换累次积分的积分顺序。解:(1) =(2)3. 比较的大小。解:题目等价于比较的大小。由知,在中严格递减。而4. 设,求:,.解:5. 证明:。证:记则因此二、(满分20分)设在有限区间上有定义,且对任意的都存在,证明:对任意的区间中使得的点至多只有有限个。证明:反证法,假设存在在中有一列使由于有界故有收敛子列,不妨设为又由存在知,对上述存在使有 从而存在正整数当有 固定某个由存在,故存在使 所以 矛盾。因此结论成立。三、(满分20分) 设在内可导,上连续,且对任意有,又 证:存在有证明:构造函数, 显然在内可导,上连续,且 由微分中值定理知,存在使. 令,结合从而在单调增,有,得四、(满分20分)证明:。证明: 显然所以收敛。又因为而发散,类似前面可证收敛。因此发散。从而。五、(满分20分)从调和级数中去掉所有在分母的十进制表示中含数码8的项(如
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