电磁场与电磁波基础()

1、第7章 非导电介质中的电磁波1. 非导电介质中的电磁波方程 4. 复数折射率的相关结论 重点：3. 平面电磁波在非理想介质中的传播 2. 平面电磁波在理想介质中的传播 5. 相速度、色散、群速度难点：1. 平面电磁波在非理想介质中的传播 2. 相速度、色散、群速度7.非导电介质中的电磁波方程回顾一般媒质中的麦克斯韦方程组： 三个媒质方程 设我们所讨论的媒质是无界、线性、均匀和各向同性的，并且我们所关心的空间中不存在电荷和电流，即自由空间情形。及此时满足：一般媒质中的麦克斯韦方程组变为： 或可得与波动方程的一般形式比较可知在一般介质中，电磁波的传播速度 无界、线性、均匀和各向同性的一般媒质中的磁

2、波方程 无界、线性、均匀和各向同性的一般媒质中的电波方程 同理均匀平面电磁波分析 均匀平面波 在如图所示的均匀平面电磁波中，电磁波向着Z方向传播，根据均匀平面波的定义可直接得出：因为其中而平面电波 的分量都与x ,y无关 所以因为其中而平面磁波 的分量都与x ,y无关 所以 可得 代入麦克斯韦方程从上式两端比较可得各式表明: 与时间t无关故可取: 而与时间无关的恒定分量一定是与波动无关的部分 于是 假设取电场与x轴方向一致，即 代入麦克斯韦方程由此可得 所以 因为 并且 和 均与时间无关，因此它们不是波动的部分，故可取 从而有 同理可得定义7.2平面电磁波在理想介质中的传播平面波中的电场复数表

3、示形式 理解理想介质是一种无损耗介质，在这里指电导率 电场矢量的方向是 方向，电磁波则是沿 z 方向传播波速为 这里的 k 称为传播常数或波数 这时，一维波动方程的形式就变成对于无界、均匀、理想介质中的电磁波 ，可取解的形式为 项表示了离开原点向正 z 方向传播的波，反之， 则表示了沿负z方向传播的波。 考虑到均匀平面波只存在 和 分量 式中 称为媒质的波阻抗、或本质阻抗（本征阻抗），在自由空间 在自由空间中传播的平面电磁波的电场为 试求磁场强度 解：因为题中所给电场 是沿+Z方向传播的，电磁波能流密度矢量 也是沿+Z方向的，因此磁场应取 方向。而 A/m例题故对比可知：相位常数（传播系数）

4、传播方向为+Z方向，电场方向为x方向。由波数公式所以 波长 解：平面电磁波的一般表达式为 已知在自由空间传播的平面电磁波的电场为 试求此波的波长、频率、相速度、磁场强度以及平均能流密度矢量例题 在自由空间，相速频率因为 所以 为求平均坡印廷矢量，须先将场量写成复数形式： 解： （1） 波沿+Z轴方向传播;（rad/m） 试求（1） 及传播方向；（2）E 的表达式；（3）S 的表达式；巳知自由空间中例题V/m（3） （2）定义7.3平面电磁波在非理想介质中的传播实际的介质都是有损耗的，因此，研究波在非理想介质中的传播具有实际意义。非理想介质是有损耗介质也称为耗散介质，在这里是指电导率 ,但仍然保

5、持均匀、线性及各向同性等特性。非理想介质是有损耗介质，有损耗介质中出现的传导电流会使在其中传播的电磁波发生能量损耗，从而导致波的幅值随着传播距离的增大而下降。研究表明，传播过程中幅值下降的同时，波的相位也会发生变化，致使整个传输波的形状发生畸变，如图所示平面波在有耗介质中的传播 电磁波的传播 电波磁波(波长)前进方向观看波形图1. 等效复介电系数 对于随时间按照正弦规规律变化的电磁场，其复数形式的麦克斯韦方程中有可改写为式中 称为复介电系数，即 复介电系数虚部与实部之比为 ,它代表了传导电流和位移电流密度的比值。该比值是一个相角，工程上称之为损耗正切，表示为 式中 称为损耗角 有耗介质的本征阻

6、抗是一个复数，其结果使均匀平面波中电场强度矢量与磁场强度矢量之间存在相位差。 总结除了用复介电系数 代替无耗介质中的 以外，有耗介质中的复数麦克斯韦方程在形式上与无耗介质中的麦克斯韦方程完全相同。所以可直接写出有耗媒质中的本征阻抗为 式中 称为相对复介电系数 2.波动方程及其解有耗媒质中均匀平面波的一维波动方程为传播系数 称为复波数。我们引入另外一个变量 ，令 也可称之为传播系数 令 于是上面的一维波动方程的解可写为 （其中 为实数） 可以发现， 的存在会引起场量 和 呈指数型衰减，因此，我们将 称为衰减常数(attenuation constant)，单位为奈贝/米（Np/m）；而 的存在则

7、会引起场量 和 的相位发生变化，因此，我们将 称为相位常数，单位为弧度/米（rad/m） 由于有耗媒质中均匀平面波的相速 ，即 v 与频率有关于是同一媒质中，不同频率的波将以不同的速度传播，该现象称为波的色散，相应媒质被称为色散媒质。 从上面的式子，你会注意到式中出现了前面定义过的损耗正切。损耗正切的取值不同将会影响到介质的性质发生变化，通常，我们有如下一些对应的分类： 1、理想介质： 这时 2、良介质： （一般取 ）这时 3、理想导体 ： ，这时 说明电磁波在理想介质中立刻衰减到零， 说明波长为零，相速为零。这些特点表示电磁波不能进入理想导体内部。 4、良导体： （一般取 ）这时 5、半导体

8、 ： 可与 相比拟， 的表示为一般形式。7.4低密度气体中的电磁波假设 是一个关于空间和时间无关的函数，故而可交换微分次序 我们仍然假设场中不存在自由电荷和自由电流，于是由第三章可知，非导电介质中的麦克斯韦方程可以写成： 将上式中 的散度用 来表示，可以得到 这个方程看上去很有可能变为如下形式的三维波动方程，即 显然这要取决于 和 之间所存在的是何种关系 考虑单色平面极化波 介质的折射率极化矢量 象 一样仅有 x 方向上的分量,并且该分量也象 一样仅与 z 和 t 有关。所以有这表明，在介质内部电荷的位移是沿着所施加的电场方向的，所以极化矢量 也就在 方向上，并且随着角频率变化，于是有 代入波

9、动方程类似地可得 并且 对于其间分子呈均匀分布的介质（如本节的低密度气体）来说，极化矢量与电场矢量的关系为 若仅含x方向的分量，故有这就是平面电磁波在上述模型所表示的一般介质（如低密度气体）中传播时所必须满足的条件，它建立了折射率n与分子模型参数 的联系。 对于低密度气体，n 的值会接近于1，即有 其中如果我们所关心的只是电磁波穿过大量的介质(分子级)时所发生的情况（通常都是如此），我们就可以假设介质的任何影响都只是对分子结构所产生的平均影响。因此,在计算介质极化问题时也就可以使用介质中的平均值。 于是从 可得 7.5高密度气体中的电磁波前面得出的关于折射率的表达式只适用于低密度气体，这是因为

10、高密度介质中的分子内，电荷分离所产生的场的作用使得电极化场更为复杂。就单个分子而言,它们在任何时刻都与其相邻分子所受到的场的作用基本相同。 高密度介质中的电磁波 利用洛仑兹方程所给出的局部场式中正是由于局部场才使介质中产生极化，于是有 即克劳休斯-莫索提方程（Clausius-Mosotti equation） 介质的极化与场之间虽仍然是线性关系，但是比例系数却已经变了。 在平面波中有 因为 用相对介电系数可将克劳休斯-莫索提方程写成另外一种形式 所以 7.6复数折射率的相关结论上面得出了两个等式 它们都描述了分子极化率与折射率之间的关系，具体使用哪个等式则将取决于介质的密度。 由于因此，折射

11、率中就可能因为含有阻尼项 而成为复数。 已知，单色（monochromatic）、线性(linear)极化(polarization)平面电磁波的电场为 3. 波的频率等于分子的谐振频率时，分子极化率就变成了纯虚数。在这种情况下，波的能量被介质耗散的程度最大。实际介质中存在着几个这样的谐振频率点,在这些点上波的辐射达到最小。 由上式可得结论复数折射率的实部决定了波的速度，而且很容易得 出折射率实部的定义为两个速度之比，即2. 当波在介质中传播时，复数折射率的虚部使波的 幅值按指数规律衰减，虚部值越大，波的衰减就 越快。显然,这是由分子模型中衰减因子所决定的。低密度气体中波的传播速度问题7.7相

12、速与能流速度在低密度气体中，折射率的近似表示式为 实部 虚部 假如当频率 时发生谐振，上述两式都可以化为最简形式我们知道,折射率的实部被定义为自由空间中的电磁波速（光速）与介质中的波速之比，即 从前面的式子可知，虽然 在任何频率下均为正值，但当频率 大于谐振频率 时, 为负，这时折射率的实部 如果 ,则意味着电磁波速 v 将超过光速 c ，这不就与爱因斯坦的狭义相对论发生矛盾了吗？ 我们将速度 v 称为相速，即正弦波的最大速度。一般情况下，速度 v 是恒定相位面在波中向前推进的速度，所以我们也可以根据电场极小值通过空间一固定点的速度来定义这个速度。具体来看，如果平面波中的电场表示为相速则当经过

13、时间 后，各点电场发生的相位变化为 ，因此电场沿z轴的分布也发生了变化，所以，在波的传播过程中，每一等相位面沿z轴向前移动的距离均为 ，等相位面移动的速度就是相速。 能流速度 自由空间中的能流速度和相速均为c，但是介质中的复数折射率告诉我们，这两种速度在介质中不再相等了，换言之，我们不可能以大于光速的相速v发射信号(能量)，即，超越物理速度的极限c是不可能的。 注能流速度为坡印廷矢量的时间平均值 除以能量密度的时间平均值在自由空间， ， ，此时 。所以，上式中当折射率接近真空中的折射率值时，能流速度接近于光速C。7.8色散媒质：1.有色散媒质；2.无色散媒质。有色散媒质（1）正常色散媒质；（2

14、）非正常色散媒质。在正常色散媒质中， 波长大的波，相速较大，即du/ d 0 在非正常色散媒质中，波长小的波，相速较大，即du/ d 0； 在无色散媒质中，不同波长的波相速相等，即du/ d = 0。定义不同频率的波将以不同的速率在介质中传播的现象称为色散波的相速与介质折射率有关,而介质折射率又与频率有关，所以波的相速将随频率而变，显然波的色散是由媒质特性所决定的。非正常色散区 3.在非正常色散区折射率的虚部存在着极大值，因而波的能量损失严重。 2.如果用一个三棱镜将一束阳光进行分谱,那么在非正常色散区各种频谱的排列顺序就会被颠倒。 1.由于折射率随着频率的“规则”变化而与之相反变化, 是负的

15、，因而在谐振频率附近的频域就是“非正常色散区”。 7.8相速与群速是指其折射率的虚部为非零值的媒质,这时波在传播的过程中会逐渐衰减。 群速设两个略有差别的波 一个角频率为的正弦波被另一个正弦波调制的情形色散介质指波的传播速度即相速取决于介质折射率的实部,因而随频率而变，不同频率的波将以不同的速率在其中传播。耗散介质两个波迭加并经整理得 一个角频率为的正弦波被另一个正弦波调制的情形定义群速 图中，波包络的传播速度为 基波的相速仍为 群速 定义为 群速的定义是基于无损耗介质得出的。对于有损耗介质，群速的概念仅适用于非常窄的频带，这是因为不同频率分量的衰减不同，将使波包产生畸变失真的现象。 一般情况

16、下，相速与群速不相等，它是由于波包通过有色散的媒质，不同单色波分量以不同相速向前传播引起的。 注意已知相速为 由于所以显然，存在以下三种可能的情况： ，即相速与频率无关，这时群速等于相速，即 ，这表明不同波长的波相速相等，对应于这种波所传播的媒质应为无色散媒质。 2. ，即频率越高相速越小，这时群速小于相速，即 。这表明波长大的波，相速较大，对应于这种波所传播的媒质应为正常色散媒质。 3. ，即频率越高相速越大，这时群速大于相速，即 。这表明波长小的波，相速较大，对应于这种波所传播的媒质应为非正常色散媒质。 1. 在正常色散媒质中，波长大的波，相速较大，群速小于相速；2. 在非正常色散媒质中，波长小的波，相速较大，群速大于相速； 3. 在无色散媒质中，不同波长的波相速相等，群速等于相速。 一般情况下，群速度代表信号速度；非正常色散时，介质中光波相速度可