人教A版高中数学必修4全套教案

1、第一章 三角函数 1com 弧度制 7com 任意角的三角函数 14com本关系 30com46com的性质 52com象 63向量 96com运算及其几何意义com运算及其几何意义com运算及其几何意义com基本定理 121com的正交分解及坐标表示 121com的坐标运算 130com量共线的坐标表示 130com量积的物理背景及其含义 138com数量积的坐标表示模夹角 144com几何中的向量方法 149com物理中的应用举例 157第三章 三角恒等变换 162com余弦公式 163com差的正弦余弦正切公式 171com正弦余弦正切公式 186角恒等变换 194数 象性质及应用三角函

2、数是高中教材中的一种重要函数与其他的函数 相比具有许多重要的特征它以角为自变量是周期函数三角函数是解 决其他问题的重要工具是高中阶段学习的最后一个基本初等函数是 深化函数性质的极好素材本章的认知基础主要是几何中圆的性质相 似形的有关知识特别强调了单位圆的直观作用借助单位圆直观地认 任意角任意角的三角函数正弦函数的图象及基本性质难点是弧度制和图象变换的准确理解和 掌握关键是学好三角函数定义从实际教学情况来看教学中应重视学 生的画图五点画图虽然简单但却易学难掌握在本章教学中教师应根 据学生的生活经验和已有的数学知识通过列举熟知的实例创设丰富 的情境使学生体会三角函数模型的意义教学时可结合本章引言的

3、章 头图让学生围绕这些问题展开讨论通过思考让学生知道三角函数可 以刻画这些周期变化规律从而激发学生的求知欲 和性质及结合三角形的基础知识为背景的三角函数知识频频在各省 高考试题中出现难度虽有降低却是经久不衰的高考考查内容教学分析教材首先通过实际问题的展示引发学生的认知冲突然 后通过具体例子将初中学过的角的概念推广到任意角在此基础上引 出终边相同的角的集合的概念这样可以使学生在已有经验 生活经验 数学学习经验 的基础上更好地认识任意角象限角终边相同的角等概 念让学生体会到把角推广到任意角的必要性引出角的概念的推广问 题本节充分结合角和平面直角坐标系的关系建立了象限角的概念使 得任意角的讨论有一个

4、统一的载体教学中要特别注意这种利用几何 的直观性来研究问题的方法引导学生善于利用数形结合的思想方法 来认识问题解决问题让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意 角能熟练写出与已知角终边相同的角的集合是本节的一个重要任务学生的活动过程决定着课堂教学的成败教学中应反复挖掘探究 栏目及探究示图的过程功能在这个过程上要不惜多花些时间让学生 进行操作与思考自然地更好地归纳出终边相同的角的一般形式也就 自然地理解了集合 S k 360kZ 的含义如能借助信息技 术则可以动态表现角的终边旋转的过程更有利于学生观察角的变化 与终边位置的关系让学生在动态的过程中体会既要知道旋转量又要 知道旋转方向才能准确刻画角

5、的形成过程的道理更好地了解任意角 的 com 的展示使学生理解角的概念推广的必要性理解并掌握正角负 角零角象限角终边相同角的概念及表示树立运动变化的观点并由此刻理解推广之后的角的概念 相同的角不一定相等终边相同的角有无限多个它们相差360的整数 倍这对学生的终身发展形成科学的世界观价值观具有重要意义 合等思想方法的运用为今后的学习与发展打下良好的基础重点难点教学重点将 0360范围的角推广到任意角终边相同的角的集 合教学难点用集合来表示终边相同的角课时安排 1 课时教学过程 机只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品由此发问指针怎样旋 转旋转多少度才能赢还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度自行

6、车车轮旋转的角度螺丝扳手的旋转角度这些角度都怎样解释在学生 急切想知道的渴望中引入角的概念的推广进而引入角的概念的推广 范围是什么用这些角怎样解释现实生活的一些现象比如你原地转体 一周的角度应怎样修正角的定义才能解释这些现象由此让学生展开 讨论进而引入角的概念的推广问题推进新课提出问题你的手表慢了 5 分钟你将怎样把它调整准确假如你125 小时你应当怎样将它调整准确当时间调整准确后分 度角体操运动中有转体两周在这个动作中运动员转体多少度请两名男生 或女生或多名男女学生 起立做由面向黑板转体 背向黑板的动作在这个过程中他们各转体了多少度活动让学生到讲 台利用准备好的教具钟表实地演示拨表的过程让学

7、生站立原地做转 体动作教师强调学生观察旋转方向和旋转量并思考怎样表示旋转方 向对回答正确的学生及时给予鼓励表扬对回答不准确的学生提示引 思路角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一 针方向旋转到终止位置 OB 则形成了一个角 点 O 是角的顶点射线 我们规定一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫 做正角按顺时针方向旋转形成的角叫做负角钟表的时针和分针在旋 转过程中所形成的角总是负角为了简便起见在不引起混淆的前提下 角 或 可以简记作如果一条射线没有作任何旋转我们称它形成了一个零角零角的 始边和终边重合如果 是零角那么 0提出问题能否以同一条射线为始边作出下列角 210-4

8、5 如何在坐标系中作出这些角象限角是什么意思 0角又是什 么意思 活动先让学生看书思考并讨论这些问题教师提示点拨并 对回答正确的学生及时表扬对回答不准确的学生教师提示引导考虑 问题的思路学生作这样的角使用一条射线作为始边没有固定的参照 所以会作出很多形式不同的角教师可以适时地提醒学生如果将角放 到平面直角坐标系中问题会怎样呢并让学生思考讨论在直角坐标系 内讨论角的好处使角的讨论得到简化还能有效地表现出角的终边周 今后我们在坐标系中研究和讨论角为了讨论问题的方便我们使 角的顶点与坐标原点重合角的始边与 x 轴的非负半轴重合那么角的 终边在第几象限我们就说这个角是第几象限角要特别强调角与直角 坐标

9、系的关系角的顶点与坐标原点重合角的始边与 x 轴的非负半轴 使角的顶点与坐标原点重合角的始边与 x 轴的非负半轴重合 角的终边在第几象限我们就说这个角是第几象限角这样限角-45角是第四象限角50角是第三象限角问锐角是第几象限角钝角是第几象限角直角是第几象限角反之如 何将角按照上述方法放在直角坐标系中给定一个角就有唯一一条 的角是否唯一如果不唯一那么终边相同的角有什么关系在直角坐标系中标出210-150的角的终边你有什么发现它 们有怎样的数量关系 328-32-392角的终边及数量关系是怎样 边相同的角有什么关系所有与 终边相同的角连同角 在内怎样用一个式子表示出 来活动让学生从具体问题入手探索

10、终边相同的角的关系再用所准备 的教具或是多媒体给学生演示演示象限角终边相同的角并及时地引 同的角的表示作好准备为了使学生明确终边相同的角的表示方法还可以用教具作一个 32角放在直角坐标系内使角的顶点与坐标原点重合角的始边与 x 轴的非负半轴重合形成-32角后提问学生这是第几象限角是多少度 角学生对后者的回答是多种多样的至此教师因势利导予以启发学生对问题探究的结果已经水到渠 成本节难点得以突破同时学生也在这一学习过程中体会到了探索的 乐趣激发起了极大的学习热情这是比学习知识本身更重要的讨论结果210与-150角的终边相同328-32-392角的 相同所有与 终边相同的角连同角 在内可以构成一个集

11、合 S 即任一与角 终边相同的角都可以表示成 与整数个周角的和学生认识 kZ 是任意角终边相同的角不一定 在 0360范围内找出与-95012角终边相同的角并判定它 学生很容易分别写出所有与90270的终边相同的角构成集合 这时应启发引导学生进一步思考能否化简这两个式子用一个式子表 让学生观察讨论思考并逐渐形成共识教师再规范地 com 达式子 情况下注意采用简约的形式 点评本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示教学中应引 导学生体会用集合表示终边相同的角时表示方法不唯一要注意采用 写出终边在坐标轴上的角的集合 -2180 -31545-1180 -135450180 45451180 225

12、452180 405453180 585本例是让学生表示终边在已知直线的角并找出某一范 一象限 第二象限第三象限第四象限活动本题关键是写出第一象限的角的集合其他象限的角的 集合依此类推即可如果学生阅读例题后没有解题思路或者把中的 范围写成 090可引导学生分析 360450范围的角是不是第一 象限的角呢进而引导学生写出所有终边相同的角 点评教师给出以上解答后可进一步提问以上的解答形式是唯一 进一步深刻理解终边相同角 直角不属于任何一个象限不属于任何一个象限的角不一定是直 角钝角是第二象限角但是第二象限角不一定是钝角点评要深刻认识锐角直角钝角和象限角的区别与联系并理解记 忆为弄清概念的本质属性还

13、可以再进一步启发设问一定让学生展开讨论在争论中将对问题的认识进一步升华并牢牢的 础知识点评本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期 象限角角并判断是第几象限的角542第四象限角点评能在给定的范围内找出与指定角终边相同的角并判断是第 点评用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集 合并在给定的范围内找出与指定的角的终边相同的角课堂小结让学生自己回忆本节课都学习了哪些新知识你是怎样获得这些 新知识的你从本节课上都学到了哪些数学方法让学生自己得到以下 本节课推广了角的概念学习了正角负角零角的定义象限角的概 念以及终边相同的角的表示方法零角是射线没有作任何旋转一个角 是第几象限的角关

14、键是看这个角的终边落在第几象限终边相同的角 的表示有两方面的内容 1 与角 终边相同的角这些角的集合为 S 数 即为所找的角数形结合思想运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法 预习下一节弧度制设计感想 教学效果会很好教师可充分利用多媒体做好课件在课堂上演示给学 生有条件的学校可以让学生利用计算机或计算器进行探究让学生在 知识提炼方法 念的理解在学生得出象限角的概念后可以充分让学生讨论在直角坐 标系中研究角的好处前瞻性地引导学生体会在直角坐标系中角的周而复始的变化规律为研究三角函数的周期性奠定基础1 列举不在0360的角时应注意所有的角在同一个平面内且 的过程中角的顶点不动 3 在写出终边相

15、同的角的集合时可根据具体问题对相应的集合 教学分析在物理学和日常生活中一个量常常需要用不同的方法 进行度量不同的度量方法可以满足我们不同的需要现实生活中有许 多计量单位如度量长度可以用米厘米尺码等不同的单位制度量重量 可以用千克斤吨磅等不同的单位制度量角的大小可以用度为单位进 通过类比引出弧度制给出 1 弧度的定义然后通过探究得到弧度 数的绝对值公式并得出角度和弧度的换算方法在此基础上通过具体 的例子巩固所学概念和公式进一步认识引入弧度制的必要性这样可 以尽量自然地引入弧度制并让学生在探究过程中更好地形成弧度的 概念建立角的集合与实数集的一一对应为学习任意角的三角函数奠 通过探究讨论关键弄清

16、1 弧度角的定义使学生建立弧度的概念 理解弧度制的定义达到突破难点之目的通过电教手段的直观性使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性可行性通过周角的两 种单位制的度量得到角度与弧度的换算公式使学生认识到角度制弧 度制都是度量角的制度二者虽单位不同但却是互相联系辩证统一的 进一步加强对辩证统一思想的理解渗透数学中普遍存在相互联系相 转化的观点三维目标 总结引入弧度制的好处学会归纳整理并认识到任何新知识的学习都 会为解决实际问题带来方便从而激发学生的学习兴趣重点难点教学 重点理解弧度制的意义并能进行角度和弧度的换算教学难点弧度的概念及其与角度的关系课时安排 种度量单位是怎样换算的家庭购买水果常

17、用千克斤为单位进行度量 这两种度量单位是怎样换算的度量角的大小除了以度为单位度量外 还可采用哪种度量角的单位制它们是怎样换算的 遍使用的钟表实际上我们使用的钟表是用时针分针和秒针角度的变 化来确定时间的无论采用哪一种方法度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的在初中已学过利用角度来度量角的大小现在来 学习角的另一种度量方法弧度制要使学生真正了解弧度制首先要弄 在引入弧度制后可以引导学生建立弧与圆心角的联系弧的度数 等于圆心角的度数随着角的概念的推广圆心角和弧的概念也随之推 广从形上说圆心角有正角零角负角相应的弧也就有正弧零弧负弧从 数上讲圆心角与弧的度数有正数0负数圆心角和弧的正负实际上表

18、 示了角的不同方向就像三角函数值的正负可以用三角函数线 有向线 段 的方向来表示一样每一个圆心角都有一条弧与它对应并且不同的 圆心角对应着不同的弧反之亦然推进新课新知探究提出问题问题在初中几何里我们学习过角的度量1的角是怎 活动教师先让学生思考或讨论问题并让学生回忆初中有关 角度的知识提出这是认识弧度制的关键为更好地理解角度弧度的关 系奠定基础讨论后教师提问学生并对回答好的学生及时表扬对回答 不准确的学生提示引导考虑问题的关键教师板书弧度制的定义规定 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角以弧度为单位 制提出问题问题作半径不等的甲乙两圆在每个圆上作出等于其 半径的弧长连结圆心与弧的

19、两个端点得到两个角将乙图移到甲图上 样的关系 的弧度数是多少既然角度制弧度制都是角的度量制那么它们之间如 何换算 活动教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关 系提问学生归纳的情况让学生找出区别和联系教师给予补充和提示 对表现好的学生进行表扬对回答不准确的学生提示和鼓励引入弧度 之后应与角度进行对比使学生明确第一弧度制是以弧度为单位来度 量角的单位制角度制是以度为单位来度量角的单位制第二 1 弧度是 第三无论是以弧度还是以度为单位角的大小都是一个与半径大小无 关的定值教师要强调为了让学生习惯使用弧度制本教科书在后续的 尽量采用弧度制 弧度化为角度 2 rad 3601 rad 5730 5

20、718弧度制 与角度制的换算公式设一个角的弧度数为 rad n n rad 该怎么用弧度来表示扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示2r -2 - 0师先给学生说给图象对一些特 殊角填表然后概括出一般情况教师让学生互动起来讨论并总结出规 律提问学生的总结情况让学生板书教师对做正确的学生给予表扬对 没有总结完全的学生进行简单的提示检查完毕后教师做个总结学生 认识换算问题即角度制弧度制都是角的度量制那么它们一定可以换 算推而广之同一个数学对象用不同方式表示时它们之间一定有内在 联系认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一教师给学生指出角的概念推广后在弧度制下角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系每

21、一个角都有唯一的一个实数 即这个角的 弧度数 与它对应反过来每一个实数也都有唯一的一个角 即弧度数 等于这个实数的角 与它对应值得注意的是今后在表示与角 终边相 者 2k 60一类的写法在弧度制中与角 终边相同的角连同角 在 的一一对应关系图 2 讨论结果与角 终边相同的角连同角 在内 可以写成 2k kZ 的形式弧度制下关于扇形的公式为 l RS R2S lR-180 0 未旋转 0 0 r 逆时针方向 180r向 2 360 应用示例 活动本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度 制的联系与区别以达到熟练掌握定义从实际教学上看弧度制不难理 解学生结合角度制很容易记住根据弧度制的定义我

22、们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角 个是答案 D 将下列用弧度制表示的角化为 2k kZ 02 活动本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角教师给 解 -4 是第一象限角 10 是第二象限角 2k kZ 02 的形式再根据 角终边所在的位置进行判 |0628 的形式通过 与 比较大小估计出角所在的象限变式训练 1 把-1 480写成 2k kZ 02 的形式2 若 -4 0 且 与 1 中 终边相同求解 1 -1 480 - -10 0 2-1 480 2 -5 2 与 终边相同 2k kZ同 活动本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边 相同的角并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的

23、要领最终达到 熟练掌握从实际教学来看用弧度制解决角的问题要很容易却难掌握 很有可能记错或者混淆或者化简错误学生需多做些这方面的题来练 基本功可先让学生多做相应的随堂练习在黑板上当场演练教师给予 批改指导对易出错的地方特别强调对学生出现的种种失误教师不要 着急在学生的练习操作中一一纠正这对以后学习大有好处又0 2 0 2点评本题是在一定的约束条件下求与角 终边相同的角一 求当扇形的圆心角多大时扇形的面积最大并求这个最大值活动这是一道应用题并且考查了函数思想教师提示学生回 顾一下用函数法求最值的思路与步骤教师提问学生对已学知识的掌 握和巩固并对回答好的学生进行表扬对回答不全面的学生给予一定 的提示

24、和鼓励教师补充函数法求最值所包括的五个基本环节 1 选取 自变量 2 建立目标函数 3 指出函数的定义域 4 求函数的最值 5 作出相应结论其中自变量的选取不唯一建立目标函数结合有关公式 进行函数定义域要根据题意确定有些函数是结构确定求最值的方法 并确保在定义域内能取到最值点评这是一个最大值问题可用函数法求解即将扇形的面积 S 表 示成某个变量的函数然后求这个函数的最大值及相应的圆心角 点评求扇形的关键是求得扇形的圆心角半径弧长三个量中的任 意两个量相反也可由扇形的面积结合其他条件求扇形的圆心角半径 弧长解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用知能训练 15 2 -240 3 543 1 k

25、 kZ 2 k kZ 4 1 cos075 cos075 2 tan12 tan12点评体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同并进 一步认识两种单位制注意在用计算器求三角函数值之前要先对计算 点评通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式体会引入弧度 弧度数的绝对值公式课堂小结 调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制它们是互相联系的 关系式由此可以很方便地进行角度与弧度的换算三个注意的问题同 要切记特殊角的弧度数同学们要熟记重要的一点是同学们自己找到了角的集合与实数集 R 的一一对 应关系对弧度制下的弧长公式扇形面积公式有了深刻的理解要把这 两个公式记下来并在解决实际问题中灵活运用表扬

26、学生能总结出引 入弧度制的好处这种不断总结不断归纳梳理知识编织知识的网络特 别是同学们善于联想积极探索的学习品质会使我们终生受用这样持 之以恒地坚持下去你会发现数学王国的许多宝藏以服务于社会造福 本节课的设计思想是在学生的探究活动中通过类比引入弧度制 这个概念并突破这个难点因此一开始要让学生从图形代数两方面深 入探究不要让开始的探究成为一种摆设如果学生一开始没有很好的 理解那么以后有些题怎么做就怎么难受通过探究让学生明确知识依 附于问题而存在方法为解决问题的需要而产生将弧度制的概念的形 成过程自然地贯彻到教学活动中去由此把学生的思维推到更宽的广 度本节设计的特点是由特殊到一般由易到难这符合学生

27、的认知规 律让学生在探究中积累知识发展能力对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪但由于学生知识水平的限制本节不能扩展 太多建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并 为后续三角函数的学习奠定基础根据本节特点可考虑分层推进照顾全体对优等生重在引导他们 变式思维的训练培养他们求同思维求异思维的能力以及思维的灵活 性深刻性与创造性鼓励他们独立思考勇于探索敢于创新对正确的要 予以肯定对暴露出来的问题要及时引导剖析纠正使课堂学习成为再 过程学生已经学过锐角三角函数它是用直角三角形边长的比来刻画 的锐角三角函数的引入与解三角形有直接关系任意角的三角函数是 刻画周期变化现象的数学模型它

28、与解三角形已经没有什么关系了因 此与学习其他基本初等函数一样学习任意角的三角函数关键是要使 学生理解三角函数的概念图象和性质并能用三角函数描述一些简单 的周期变化规律解决简单的实际问题本节以锐角三角函数为引子利用单位圆上点的坐标定义三角函 数由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系使得我们在讨 论三角函数的问题时对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问 题等都可以从圆的性质 特别是对称性 中得到启发三角函数的研究 中数形结合思想起着非常重要的作用利用信息技术可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标单位圆中的三角函数线之间的联系并在角的变化过程中将这种联系 直观地体现出来所以信息技术可以帮

29、助学生更好地理解三角函数的 本质激发学生对数学研究的热情培养学生勇于发现勇于探索勇于创 新的精神通过学生之间师生之间的交流合作实现共同探究教学相长 的 com 单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义理解三角函数是以 实数为自变量的函数并从任意角的三角函数定义认识正弦余弦正切 函数的定义域理解并掌握正弦余弦正切函数在各象限内的符号 表示出来 教学重点任意角的正弦余弦正切的定义终边相同的角的同一三 教学难点用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数三角函数符 示课时安排思路 1 我们把角的范围推广了锐角三角函数的定义还能适用吗 对边与斜边的比值吗类比角的概念的推广怎样修正三角函数定义由 此展开新课另外用单

30、位圆定义法单刀直入给出定义然后再在适当时 机联系锐角三角函数这也是一种不错的选择思路 2 教师先让学生看教科书上的思考通过这个思考提出用直 角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题以引导学 生回忆锐角三角函数概念体会引进象限角概念后用角的终边上点的 坐标比表示锐角三角函数的意义从而为定义任意角的三角函数奠定 基础教科书在定义任意角的三角函数之前作了如下铺垫直角三角形 为载体的锐角三角函数象限角为载体的锐角三角函数单位圆上 点的坐标表示的锐角三角函数推进新课新知探究提出问题 问题在初中时我们学了锐角三角函数你能回忆 定义吗 三角函数吗 活动教师提出问题学生口头回答突出它是以锐角为 自变

31、量边的比值为函数值的三角函数教师并对回答正确的学生进行 表扬对回答不出来的同学给予提示和鼓励然后教师在黑板上画出直 教师提示前面我们对角的概念已经进行了扩充并且学习了弧度 制知道了角的集合与实数集是一一对应的在此基础上我们来研究任 意角的三角函数教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系 b根据初中学过的三角函数定义我们有sin cos tan锐角三角函数是以锐角为自变量边的比值为函数值的三角函 数sin cos tan 表达式简化 活动教师先让学生们相互讨论并让他们动手画画图 形看看从图形中是否能找出某种关系来然后提问学生由学生回答教 师的问题教师再引导学生选几个点计算一下对应的比值获得具

32、体认 识并由相似三角形的性质来证明最后可以发现由相似三角形的知识 对于确定的角 这三个比值不会随点 P 在 的终边上的位置的改变 过图形教师引导学生进行对比学生通过对比发现取到原点 圆中角 的弧度 数的绝对值等于圆心角 所对的弧长 符号由角 的终边的旋转方向 为单位圆这样上述 点就是 的终边与单位圆的交点锐角三角函数 位圆上点的坐标表示 么所以正弦余弦正切都是以角为自变量以单位圆上点的坐标或坐 标的比值为函数值的函数我们将它们统称为三角函数教师出示定义后可让学生解释一下定义中的对应关系教师应指 出任意角的正弦余弦正切的定义是本节教学的重点用单位圆上点的 坐标表示任意角的三角函数与学生在锐角三角

33、函数学习中建立的已 有经验有一定的距离与学生在数学必修一的学习中建立起来的经验 也有一定的距离学生熟悉的函数 y f x 是实数到实数的一一对应而 这里给出的三角函数首先是实数 弧度数 到点的坐标的对应然后才 是实数 弧度数 到实数 横坐标或纵坐标 的对应这就给学生的理解造成一定的困难教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几 何直观认识的基础上先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系 在直角坐标系中考查锐角三角函数得出用角的终边上点的坐标 比值 表示锐角三角函数的结论然后再特殊化引出用单位圆上点的坐标表 示锐角三角函数的结论在此基础上再定义任意角的三角函数在导学过程中教师应点拨学生注意尽管

34、我们从锐角三角函数出 发来引导学生学习任意角的三角函数但任意角的三角函数与锐角三 角函数之间并没有一般与特殊的关系教师在教学中应当使学生体会 到用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数不仅简单方便而且反映本 质教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么对 应关系有什么特点函数值是什么特别注意 既表示一个角又是一个 可以把三角函数看成是自变量为实数的函数值得注意的是 1 正弦余 弦正切余切正割余割都是以角为自变量以比值为函数值的函数 2 sinsin积而是一个比值三角函数的记号是一个整体 讨论结果这三个比值与终边上的点的位置无关根据初中学过 由相似三角形的知识对于确定的角 这三个比值不会随点

35、 P 在 的终边上的位置的改变而改变提出问题问题学习了任意角并利用单位圆表示了任意角的三 角函数引入一个新的函数我们可以对哪些问题进行讨论 的 活动教师引导学生结合在数学必修一中的有关函数的问题让 学生回顾所学知识并总结回答老师的问题教师对学生总结的东西进 行提问并对回答正确的学生进行表扬回答不正确或者不全面的学生 给予提示和补充教师让学生完成教科书上的探究教师提问或让学生 按照这样的思路我们一起来探究如下问题请根据任意角的三角 函数定义先将正弦余弦正切函数在弧度制下的定义域填入下表再将 这三种函数的值在各象限的符号填入图 3 中的括号内三角函数定义教师要注意引导学生从定义出发利用坐标平面内点

36、的坐标的特 的定义域是 R 类似地可写出余弦函数的定义域对于正切函数 tan xtan义 所以正切函数的定义域是 k kZ 由学生填写下表三角函数定义域 sin R cos R tan k k Z 三角函数的定义告诉我们各三角函数在各象限内的符 四象限角是负的 可制作课件展示 同样地余弦函数在第一四象限是 正的在第二三象限是负的正切函数在第一三象限是正的在第二四象 讨论结果定义域值域单调性等 活动教师留给学生一定的时间学生独立思考并回答明确可以用角 终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数但用单位 圆上点的坐标来定义既不失一般性又简单更容易看清对应关系教师 要点拨引导学生习惯画图充分利用数形

37、结合但要提醒学生注意 角 这样定义三角函数突出了点 P 的任意性说明任意角 的三角函 数值只与 有关而与点 P 在角的终边上的位置无关教师要让学生充 论后深刻理解这一点 Pcos x 题可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上再由定义得解切值所以 sin cos tan 求证当且仅当下列不等式组成立时角 为第 活动教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数 值的符号有什么样的关系提示学生从三角函数的定义出发来探究其 内在的关系可以知道三角函数的定义告诉我们各三角函数在各象限 于第三四象限角是负的同样地余弦函数在第一四象限是正的在第二 三象限是负的正切函数在第一三象限是正的在第二四象限是

38、负的证明我们证明如果式都成立那么 为第三象限角因为sin 又因为式 tan 0 成立所以 角的终边可能位于第一或第三 因为式都成立所以 角的终边只能位于第三象限 于是角 为第三象限角学们自己证明点评本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号 其条件以一个不等式出现在教学时要让学生把问题的条件结论弄清 楚然后再给出证明这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能 力活动引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点终边相同的 的关系再到函数值之间的 系进行讨论然后再用三角函数的定义证明 得到一组公式 公式一 解 1 sin390 sin 36030 sin302 cos cos 2 costan

39、 tan -36030 tan30点评本题主要是对诱导公式一的考查利用公式一将任意角都转 生独立思考这一题目本题虽然是个填空题看似简单但内含分类讨论 思想可以找两个学生来板演这个例题对解答思路正确的学生给以鼓 励对思路受阻的学生要引导其思路的正确性并适时地点拨学生假如 是个大的计算题应该怎样组织步骤均有 10sin 3sec 0 f 1 sin f 2 sin f 3 sin 0fsinfsinf6 sin2 0活动让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求根据函数有意义的特征来求 自变量的范围对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结 合三角函数的定

40、义进行求含正切函数的组合型三角函数的定义域时 正切函数本身的定义域往往被忽略教师提醒学生应引起注意这种情 况同时函数的定义域是一个集合所以结论要用集合形式表示 2k 2k kZZ式有意义必须 sin 0 且 tan 有意义由此推导出 的取值范围就是函数的定义域域x2 要使函数有意义必须使 sinx 与 tanx 有意义有函数 y incostan 2sin cos tan点评已知角 终边上一点的坐标由定义求角 的三角函数值3 角 0 90 180 270 360 角 的弧度数 0sin 0 1 0 -1 0 cos 1 0 -1 0 1tan 0 不存在 0 不存在 0 点评熟悉特殊角的三角函

41、数值角形内角有关的三角函数值的符号5 1 正 2 负 3 零 4 负 5 正 6 正位置的角对应的三角函数值的符号或 2 或或或或象限的角对应的三角函数值的符号7 1 0874 6 2 3 05 4 1点评求三角函数值并进一步地认识三角函数的定义及公式一课本节课我们给出了任意角三角函数的定义并且讨论了正弦余弦 正切函数的定义域任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展 是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离坐标与坐标的比记忆方 法可用锐角三角函数类比记忆至于三角函数的定义域可由三角函数 的定义分析得到本节课我们重点讨论了两个内容一是三角函数在各 象限内的符号二是一组公式两者的作用分别是前者确定

42、函数值的符 容是我们日后学习的基础经常要用请同学们熟记作业关于三角函数定义法总的说来就两种单位圆定义法与终边定义 法这两种方法本质上是一致的正因为此各种数学出版物中两种定义 方法都有采用在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义 进行类比学习理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关 键也是学好本章内容的关键在教学中教师应该充分调动学生独立思 考和总结的能力以巩固对知识的理解和掌握教师在教学中始终引导学生紧扣三角函数的定义善于利用数形 结合在利用三角函数定义进行求值时应特别强调要注意横向联系即 不仅仅能求出该值还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系 出规律来求解设计者房增凤 观览车

43、大家是否想过大观览车在转动过程中座椅离地面的高度随着 转动角度的变化而变化二者之间有怎样的相依关系呢 将任意角的三角函数化成 0360角的三角函数的一组公式前面还 分析讨论了三角函数的定义域这些内容的研究都是建立在任意角的 三角函数定义之上的这些知识在以后我们继续学习三角内容时是经 常反复运用的请同学们务必在理解的基础上要加强记忆由三角函数 或者说是用数来表示的今天我们再来学习正弦余弦正切函数的另一 种表示方法几何表示法我们知道直角坐标系内点的坐标与坐标轴的 方向有关因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段 的方向以使它们的取值与点的坐标联系起来推进新课提出问题 问题回忆上节课学习的

44、三角函数定义并思考三 角函数的定义能否用几何中的方法来表示应怎样表示呢段 活动指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆设任意角 的 负值 弦余弦函数的定义就有 就有 tan AT 被看作带有方向的线段叫做有向线段提出问题 问题怎样把三角函数线与有向线段联系在一起 当角 的终边变化时它们有什么变化 活动师生共同讨论最后一2 当角 的终边在 x 轴上时正弦线正切线都变成点 3 正弦线 余弦线正切线都是与单位圆有关的有向线段所以作某角的三角函数 作单位圆4 线段有两个端点在用字母表示正弦线余弦线正切线时要先写 起点字母再写终点字母不能颠倒或者说含原点的线段以原点为起点 5 三种有向线段的正负与坐标轴正反

45、方向一致三种有向线段的 三角函数值相同线正切线统称为三角函数线 上 的 射 影 分 别 为 点 MN 则 sin _cos _tan _sin _cos _tan _活动根据三角函数线的定义可知 sin MPcos OMtanATsin NQcos ONtan AT点评掌握三角函数线的作法注意用有向线段表示三角函数线时 书写顺序不能随意颠倒利用三角函数线证明| sin | cos |1解当 的终边落在坐标轴上时正弦 或余弦 线变成一个点而余 边 有| sin | cos | | OM | MP | 1| sin | cos |1 此写出角 的集合 1 sin 2 sin 活动引导学生画出单位圆

46、对于 1 可设角 的终边与单位圆 的角的终边然后根据已知条件确定角 的范围故满足条件的角 的集合为 2k 或 2k kZ 的区域 如图中的阴影部分 即为角 的终边所在的范围故满足条件的角 的集合为 2k 2k kZ点评在解简单的特殊值 如等 的等式或不等式时应首先在单 位圆内找到对应的终边 作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交连结 交点与坐标原点作射线 一般情况下用 02 内的角表示它然后画出 满足原等式或不等式的区域用集合表示出来 域cosxylgsinx活动先引导学生求出 x 所满足的条件这点要提醒学生注意 研究函数必须在自变量允许的范围内研究否则无意义再利用三角函 数线画出满足条件的角 x

47、 的终边范围求解时可根据各种约束条件利 解 1 由题意得 sinx0sin2x sinxx 2k 2k 2k 2k kZ 等式 2活动引导学生总结证明恒等式的方法与步骤特别地在证明 三角恒等式时一般地是从较繁的一边推向较简的一边从方向上来推 证三角恒等式主要有三种推证方法即从左边推向右边从右边推向左 边左右两边同推向第三个式子有sin cos sec csc点评根据本题的特点被证式的左边比较复杂故可由左边证向右边 边 左边 右边故原等式成立知能训练解答 1 终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况包括三角 的同一三角函数的值相等点评利用单位圆中的三角函数线认识三角函数的性质对未学性 统一要求2

48、 3 4 略 余都是近似数 图略sin225 -07cos225 -07tan225 -1sincostan -058的三角函数线 概念与三角函数的定义结合起来可以从数和形两方面认识三角函数 的定义并使得对三角函数的定义域函数值符号的变化规律公式一等 点评反思单位圆中的三角函数线对认识三角函数概念的作用课 本节课我们学习了有向线段的定义正弦线余弦线正切线的定义 这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段其之所以特殊一是其与 坐标轴平行 或重合 二是其与单位圆有关这些线段分别都可以表示 相应三角函数的值所以说它们是三角函数的一种几何表示三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具利 用三角函

49、数线可以解或证明三角不等式求函数的定义域以及比较大 小三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具作业若 为锐角则 1 sin cos 1 2 sin2 cos2 1 yyxk -k kZ对于三角函数线开始时学生可能不是很理解教师应该充分发挥 好图象的直观作用让学生通过图形来感知了解三角函数线的定义在 学生理解了正弦线余弦线正切线的定义后教师应引导学生会利用三 角函数线来发现总结归纳正弦函数余弦函数正切函数的性质以便为 以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础教师要让学 生对三角函数线了解即可要让学生利用任意角的三角函数线来感知 对应的三角函数图象的变化趋势不要再向深处挖掘因为

50、三角函数线 能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决教师在教学中要搞好 师生互动让学生自己动脑动手多启发学生善于发现问题提出问题解 决问题的能力让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力com数的基本关系与三角函数的定义域符号的确定一样同角三角函数的基本关系 式的推导紧扣了定义是按照一切从定义出发的原则进行的通过对基 本关系的推导应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成学 会通过对基本概念的学习善于钻研从中不断发掘更深层次的内涵接 或间接地联系起来在使用时一要注意同角至于角的表达形式是至关 k kZ 求出另外的两个这是同角三角函数关系式的一个最基本功能在求值 时根据已知的三角函数值确定角的终边

51、的位置是关键和必要的有时 由于角的终边的位置不确定因此解的情况不止一种解题时产生遗漏 的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置二是利用平方关 系开方时漏掉了负 com 函数的定义导出同角三角函数基本关系式并 能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明 一求二 2 化简三角函数式 3 证明三角恒等式通过本节的学习学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明 三角恒等变形的能力树立转化与化归的思想方法重点难点教学重点 课本的三个公式的推导及应用 思路 1 先请学生回忆任意角的三角函数定义然后引导学生先计 算后观察以下各题的结果并鼓励学生大胆进行猜想教师点拨学生能 否用定义给

52、予证明由此展开新课计算下列各式的值ossincos提出问题 在以下两个等式中的角是否都可以是任意角若 不能角 应受什么影响 显然当 的终边与坐标轴重合时这个公式也成立这就是说同一个角 的正弦余弦的平方和等于 1 商等于角 的 对于同一个角的正弦余弦正切至少应知道其中的几个值才能 其他的三角函数的值 活动问题先让学生 用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系然后教师点拨学生思考 这两个公式的用处同时启发学生注意同一个角这个前提条件及使等 有意义的角的取值范围 考正确的学生给予鼓励对没有思路的学生教师点拨其思考的方法最 一求二在上述两个等式中不是所有的角都可以是任意角在第一个等 式中 可以是任意角在

53、第二个等式中 k kZ在上述两个等式中只要知道其中任意一个就可以求出其余的 两个知道正弦 余弦 就可以先求出余弦 正弦 用等式 1 进而用第二 n活动同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握先让学生接 触比较简单的应用问题明确和正确地应用同角三角函数关系可以引 的值最容易求得在求cos 时需要进行开平方运算因此应根据角 所 cos2 1-sin2 1- 2点评本题是直接应用关系求解三角函数值的问题属于比较简单 和直接的问题让学生体会关系式的用法应使学生清楚 tan 中的负号来自 是第二象限角这也是根据 商数关系直接运算后的结果它不同于在选用平方关系式的三角函数 条件得出角的终边只能在第二或第三象限

54、启发学生思考仅有 cos 0 是不能确定角 的终边所在的象限 tan 点评在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时 候应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限分类讨论所有的情况 活动引导学生思考讨论角的终边在什么位置能否直接利用 在坐标轴上关于 sin cos tan 的关系式只有 tan 在这个式子 中必须知道其中两个三角函数值才能求出第三个因此像这类问题的 求解不能一步到位需要公式的综合应用其步骤是先根据条件判断角 的终边的位置讨论出现的所有情况然后根据讨论的结果利用基本关 要求学生灵活运用三角函数公式进行变形化简求解需要学生认真细致分析题目的条件灵活运用公式需要较高的思维层次 解

55、本题仿照上题可以比较顺利完成求证 活动先让学生讨论探究证明方法教师引导思考方向教 材中介绍了两种证明方法证法一是从算式一边到另一边的证法算式 右边的非零因式 1sin 在左边没有出现可考虑左边式子的分子分母同乘以 1sinx 再化简在证法二中可以这样分析要让算式成立需证 方关系可知这个等式成立将上述分析过程逆推便可以证得原式成立证法二因为 1-sinx 1sinx 1-sin2x cos2x cosxcosxx 和证法二外你可否还有其他的证明方法教师和学生一起讨论由此可 所以点评这是一道很有训练价值的经典例题教师要充分利用好 这个题目从这个例题可以看出证明一个三角恒等式的方法有很多证 明一个等

56、式可以从它的任何一边开始证得它等于另一边还可以先证 得另一个等式成立从而推出需要证明的等式成立化简 活动引导学生探究原式结果为 cos440时是不是最简形式还应怎么办教师引导学生运用诱导公式一化简为 cos80由于 oscos点评恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式提醒学生注 意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点 1 所含的三角函数种类最少 2 能求值 指准确值 的尽量求值 3 不含特殊角的三角 点评提醒学生注意 12sin cos sin2 cos2 2sin coss costan0374 1 cos tan cos sin2 5 1 左 sin2 cos2 sin2 -cos

57、2 sin2 -cos2 右2 左 sin2 sin2 cos2 cos2 sin2 cos2 1 右课堂 及成立的条件根据一个任意角的正弦余弦正切中的一个值求出其 余的两个值 可以简称知一求二 时要注意这个角的终边所在的位置 从而出现一组或两组或四组 以两组的形式给出知一求二的解题步骤一般为先确定角的终边位置再根据基本关 系式求值若已知正弦或余弦则先用平方关系再用其他关系求值若已 造方程组求值教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一 般方法及应注意的问题并让学生总结本节用到的思想方法作业的推导和应用是本节课的重点也是本节课的难点公式的应用实际上是求可化为完全平方的三角函数式的算

58、术平 方根的化简题和证明题这类问题可按下列情形分别处理符号可以确定则可以根据算术平 直接得到结果2 如果这个三角函数式的值的符号不可以确定则可根据题设条 件经过合理的分类讨论得到结果三角函数式的化简体现了由繁到简的最基本的数学解题原则它 不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式还需要熟悉和灵活 运用这些公式的等价形式同时这类问题还具有较强的综合性对其他 非三角知识的灵活运用也具有较高的要求在教学时要注意进行相关 证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来 促成统一的过程证明时常用的方法一般有以下三种式一边开始证明它等于另一边证 2 依据等于同量的两个量相等证明左右两边等于同一个式

59、子 3依据等价转化思想证明与原式等价的另一个式子成立从而推出原式 教材上在运用这一方法时使用的是综合法初学恒等式的证明时 运用等价转化的方法可以使证明的思路更清楚一些实际上使用综合 法时不一定要求进行等价转化只需证明等式成立的充分条件即可 教 师知道即可 证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本 使学生明白如果算式中含有正弦余弦正切等三角函数为了便于 将算式两边沟通可通过切化弦使两边的三角函数相同本节主要是推导诱导公式二三四并利用它们解决一些求解化简 本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续又是后 继学习内容的基础它们与公式一组成的六组诱导公式用于解决求任 意角的三角函数值的问

60、题以及有关三角函数的化简证明等问题在诱导公式的学习中化归思想贯穿始末这一典型的数学思想无 论在本节中的分析导入还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值 转化为求锐角的三角函数值均清晰地得到体现在教学中注意数学思 想渗透于知识的传授之中让学生了解化归思想形成初步的化归意识 特别是在本课时的三个转化问题引入后为什么确定180 角为第一 研究对象- 角为第二研究对象正是化归思想的运用公式二公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大 于 90的非负角但是在推导中却把 拓广为任意角这一思维上的转 折使学生难以理解甚至会导致对其必要性的怀疑因此它成为本课时 课本例题实际上是诱导公式的综合运用难点在于需