高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲

1、高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 高二数学棱柱、棱锥和棱台 【本讲主要内容】 棱柱、棱锥和棱台 棱柱的概念及性质、棱锥的概念及性质和棱台的概念及性质 【知识把握】 【知识点精析】 1. 棱柱的有关概念和性质。 1棱柱的定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。 2棱柱的几个概念。 这里，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面内的两

2、个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。 3棱柱的表示方法：棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如三棱柱ABC A B C -111 4棱柱的分类。 棱柱按底面边数能够分为三棱柱、四棱柱、五棱柱 按侧面与地面能否垂直，棱柱又能够分为直棱柱和斜棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱是特殊的直棱柱。 5棱柱的性质： 侧棱都相等；侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； 直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体； 长方体：底面是矩形的直平行六面体； 正方体：棱长都相等的长方体叫

3、做正方体。 四棱柱与特殊的平行六面体有如下关系： 正方体?正四棱柱?长方体?直平行六面体?平行六面体?四棱柱 长方体的性质：长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 2. 棱锥的有关概念。 1棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。 2棱锥的几个概念。 这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。 3棱锥的表示方法：棱锥用表示顶点和底面各顶点，或者底面一条对角线端点的字母来表示，如棱锥S ABCDE ，或者棱锥S AC 。

4、 4棱锥的分类 棱锥按底面多边形的边数能够分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 正棱锥是一种特殊的棱锥，它知足下面条件： 底面是正多边形；顶点在底面的射影是底面的中心。只要正棱锥才有斜高顶点到 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 底边的垂线段，其他棱锥的顶点到各底边的垂线段不都等长。 5棱锥的性质。 一般棱锥的性质： 假如棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面类似，并且它们的面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。 正棱锥的性质： 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。 棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成

5、一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 3. 棱台的有关概念。 1棱台的定义：棱锥被平行与底面的平面所截，两个平行平面间的几何体叫做棱台。 2棱台的几个概念。 原棱锥的底面叫做棱台的下底面，截面叫做棱台的上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱台的顶点，原棱锥的高被截得的部分叫做棱台的高。 3棱台的表示方法：棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如棱台A B C A BC -。 4棱台的分类 棱台按底面多边形的边数能够分为三棱台、四棱台、五棱台 正棱台是一种特殊的棱台，它知足下面条件： 底面是正多边形；侧棱延长线交点在

6、上下底面的射影分别是上下底面的中心。只要正棱台才有斜高同一侧面与上下两个底面交线的中点连线。 5棱台的性质。 正棱台的性质： 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形。各侧面内的斜高相等。 棱台的高线、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角梯形；棱台的高线、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角梯形。 【解题方法指导】 例1. 已知三棱锥D ABC 的三个侧面与底面全等，且AB AC =3，BC=2，则以BC 为棱，面BCD 与面BCA 所成二面角的大小是 A. arccos 33 B. arccos 13 C. 2 D. 23 解：依题意，AB=BD=AC=CD=3，BC=AD=2 因而取BC 中

7、点E ，联合AE 、DE ， 则有AE BC ，DE BC 得AED 是所求二面角的平面角 AE=DE=2 AD AE DE 2224=+ 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 AED = 2 点评：此题没有附图，考生必须本人作图，因此考察了基本作图能力，解题的关键是在于审题时，认清图形的对称性。 例2. 设有三个命题： 甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体 丙：直四棱柱是直平行六面体 以上命题真命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 思路：根据平行六面体、长方体以及直平行六面体的概念即可判定真假。 解：甲命题

8、符合平行六面体的定义，故甲命题正确。底面是矩形的平行六面体的侧棱，可能与底面不垂直，故乙命题是错误的。由于直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故丙命题是错误的。故选B 。 点评：此题关键在于明确几何体的概念、特征。 例3. 直三棱柱ABC A B C -111所有棱长为a ，求面对角线AB BC 11与所成角的余弦值。 解：取AB 、BB B C 111、中点E 、F 、G ，连结EF 、FG 、GE 取BC 中点H ，连结GH 、EH C 1 C FG/BC 1，EF/AB 1 直线FG 与EF 所成的角即为AB BC 11与所成的角 由于ABC A B C -111是各棱长均为a 的直三棱柱

9、 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 GH 面ABC 且GH=a ，EH a =2 GE a = 52 在GEF 中，EF AB a FG BC a = =12221222 11， cos EFG =-1 4 EFG=arccos()-14 AB 1与BC 1所成角的余弦值为1 4 点评：考生应熟练把握直三棱柱的性质。 【考点突破】 【考点指要】 棱柱、棱锥是立体几何中的重要几何体，高考常以棱柱、棱锥为载体，考察有关位置关系的证实和量的计算，棱台的问题往往通过割补法转化为棱锥来解决。 其中以棱柱为载体的试题常以解答题形式出现，考察的知识点较多，如线面平行、线面垂

10、直、面面平行与面面垂直，异面直线所成的角及距离等。在计算的时候要注意把某些平面图形分离出来，运用平面几何方法进行解决，这是解决立体几何中计算问题的重要方法与技巧。 【典型例题分析】 例 1.在正三棱柱ABC A B C -111中，若AB BB =21，则AB 1与C B 1所成的角的大小为 A. 60 B. 90 C. 105 D. 75 解析：如图，D D 1、分别为B C BC 11、中点 连结AD 、D C 1 设BB AB 112=，则 则B 1D 为AB 1在平面BC 1内的射影 又BE BD C BC BC BC = = 33222 3 11，cos 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识

11、精讲 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 DE BE BD BE BD C BC 2221216 =+-?=cos 而BE DE BD 22213161 2 +=+= BED=90 AB 1与C 1B 垂直 故选B 例 2. 设棱锥的底面面积为82cm ，那么这个棱锥的中截面过棱锥的高的中点且平行于底面的截面的面积是 A. 4cm 2 B. 222cm C. 2cm 2 D. 22cm 解析：棱锥被中截面截得的棱锥与原棱锥是类似体 且类似比为1/2 截面即小棱锥的底面面积等于原棱锥底面面积的14 应为22cm ，故选C 例3. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 A.

12、323 B. 283 C. 243 D. 203 解析：正六棱台的上、下底面面积分别为 S S 上下 =? ?=?=634263634 4243 2 2 V h S S S S 台上上下下=+?+=1 3 283() 故选B 【综合测试】 一. 选择题 1. 侧棱长为23a 的正三棱锥V ABC 的侧棱间的夹角为40，过顶点A 作截面AEF ，则截面AEF 的最小周长为 A. 22a B. 6a C. 4a D. 123a 2. 正方体ABCD A B C D -1111中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B C 11的中点，那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 A. 三角形 B.

13、 四边形 C. 五边形 D. 六边形 3. 设三棱柱ABC A B C -111的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA CC 11、上的点，且PA=QC 1， 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 则四棱锥B APQC 的体积为 A. 1 6 V B. 1 4 V C. 13 V D. 12 V 4. 三棱台ABC A B C -111中，AB A B =1 2 11，设三棱台体积为V ，则四棱锥B A ACC 111-的体积为 A. 7 8 V B. 6 7V C. 5 6 V D. 45 V 二. 填空题 5. 长方体有公共顶点的三个面的面积分别是236、，这

14、个长方体对角线的长是_。 6. 下面是关于三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角也相等的三棱锥是正三棱锥。 其中，正确命题的编号是_。 三. 解答题 7. 已知正四棱柱ABCD A B C D -1111，点E 在棱D D 1，D B 1/面EAC ，且面EAC 与面ABCD 成45角，AB=a 。 1求截面EAC 面积；2求异面直线A B 11与AC 之间距离；3求三棱锥B EAC

15、 1-体积。 B A 1 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 综合测试答案 1. B 提示：将三棱锥侧面展开，连结AA，由余弦定理或正弦定理可求得，最小 周长为6a 。 2. D 提示：取C D D D B B 1111、中点M 、N 、S ，则六边形MNQPSR 即为所求。 3. C 提示：V V V V B APQC B AA C C B A B C 四棱锥四棱锥三棱柱三棱锥-=-121 211111() =-=12131 3 ()V V V 4. B 提示：将三棱台补成三棱锥S A B C -111，可求得V V B A ACC S A B C 11111

16、13 4 -=，而 V V S A B C 三棱锥-=11187 V V B A ACC 四棱锥1116 7 -= 5. 6 提示：设三边长分别为a 、b 、c ，可解得a=1，b =2，c =3，则对角 线可求。 6. 提示：反例如图 D BCD 为正三角形，AD 面BCD ，AD=BD=CD 则三棱锥A BCD 不是正三棱锥 侧面高线的垂足不一定是底边中点 7. 提示：1连结BD 交AC 于O 点，连结OE 、OD B A 1 EOD 为面EAC 与面ABCD 所成的角，EOD=45 AB=a AC=2a 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲 ED=DO=2 2 a EO=a S AC EO a EAC