、晶体中电子的平均速度和加速度 金属、半导体和绝缘体

1、 5.8 晶体中电子运动的速度和加速度电子的准经典运动Page 1一、准经典近似，电子的平均速度晶体中电子的能带理论：在具有晶体的平衡对称性的电势能中，电子的量子力学本征态可以由布洛赫电子的调制平面波的波函数来描述，能量本征值就是能带。为了计算晶体的电性质，要考虑在外加的电场中的布洛赫电子的量子态这是非常困难的。原因：外加的电势能qV(r)可能破坏了布洛赫电子的哈密顿量的晶格平衡对称性。解决办法：准经典近似把电子运动当作经典粒子来处理。固体中的电子对外加电磁场的响应有如一质量为有效质量的经典自由电子。Page 21、电子平均速度由量子力学，电子的速度算符为由于晶体哈密顿算符中的势场项与动量算符

2、p不对易 波函数并非是速度算符的本征函数表明处于 状态的电子没有确定的速度，只能计算其平均速度Page 3 将算符作用到薛定谔方程的两端，分别得到： 将梯度算符作用到布洛赫函数：Page 4 上式两边相等，得到 上式整理得方程左边方程右边H中不显含k 上式乘以并对晶体积分，积分结果等式右边为零：根据算符的厄米性质厄米算符的定义：Page 6所以等式左边也为零：与（1）式比较，得到电子的平均速度：Page 72、能量和速度的关系由（5）式，可知，电子的平均速度公与能量和状态（k）有关，由于速度是波矢的奇函数：在能带的底部和顶部，斜率dE/dk=0，所以在带顶和带底电子的速度为零。Page 8这种

3、情况和自由粒子速度总是随能量增加而单调增加是显然不同的。在能带中处，速度的数值最大，如图拐点C。CPage 9因能量与波矢由色散关系相联系，能量E变化意味着电子波矢k改变，故二、电子在外场作用下的加速度，有效质量当对一维电子施加外场时，电子受到外场力的作用。单位时间内外力所作的功等于电子能量的改变量：K的变化率正比于电子所受的外力，并有相同的方向，具有牛顿第二定律的形式。但f是外力。Page 10令（8）式化为上式表明在外力作用下，晶体中的电子犹如一个质量为的自由粒子的运动次准经典运动。为有效质量。因此称Page 11在三维情况下，晶体中电子的有效质量是二阶张量，其分量为由于有效质量是张量，所

4、以电子的加速度一般与外力方向不一致。这是因为除了外力作用外，电子还受到晶格周期场的作用，这个作用由有效质量所概括。 有效质量取决于电子的状态，因为不同的状态能带的曲率不同。一般而言，对于宽能带，E（k）随k的变化较大，有效质量小，而对于窄能带，有较质量较大。紧束缚观点：原子外层电子波函数交叠较多，能带较宽，有较质量较小，而内层电子波函数交叠甚少，能带较窄，有较质量较大，定域性更强一些。Page 12以简立方为例，计算紧束缚近似下电子的有效质量：紧束缚近似下，简立方的s态电子的能量为：其它交叉项的倒数全为零。在能带底处：Page 13在能带顶处：在能带：上面讨论表明：在带底及带顶, m*=常数,

5、 与自由粒子在实空间中的运动相似. 随着E的增大（见第一布里渊区的约化能带图）, 能带展宽越大, 也越大, m* 就越小. 此时电子越容易加速, 共有化运动的特征越明显。晶体中电子的有效质量不同于自由电子的质量，是因为计入了周期场的影响，而这种影响主要通过布拉格反射的形式在电子和晶格之间交换动量：有效质量大于零的情况，电子从外力场获得的动量多于电子交给晶格的动量有效质量小于零的情况，电子从外场中得到的动量比它交给晶格的动量少。有效质量趋于无穷时，电子从外场中获得的能量全部交给晶格，这时，电子的平均加速度这零。 5.11 金属、半导体和绝缘体Page 15 一、满带不导电首先讨论没有外加电场的情

6、形。考虑一维布拉菲格子中与原子1s能级相对应的能带。能带理论的一大贡献即成功地解释了固体为何会具有极不相同的导电本领，有的表现为导体，有的表现为绝缘体和半导体。 单位体积晶体中，其中一个波矢为的电子对电流密度的贡献为能带中所有电子对电流的贡献为零。Page 16波矢为kx和-kx的电子对电流的贡献成对抵消这是因为因而总电流为零。Page 17现在设加上指向左方的外电场则每个电子均受到一电场力，使其波矢在经历t时间后的增加量可计算如下：有外加电场的情形Page 18于是所有电子均右移使电子在k空间的分布如右图。満带不导电的解释：能量具有倒格子的周期性，图中位于/a右方 k范围内的状态（现在是被电

7、子占有的状态），完全等价于 /a左方k范围内的状态（现在是空态），因此两图的电子分布是完全等价的。Page 19一个电子的代表点越过位于/a 的布里渊区的边界相当于又从位于 /a 的边界进入同一布里渊区。有电场后，満带中电子的状态随时发生变化，但整体上的分布始终没有变化，仍保持对称分布。所有电子对电流的贡献依然与无外电场时一样地成对相消，即当有外电场时，満带也不导电。Page 20二、不满能带无外场时，不满能带电子的分布是对称的，总电流为零，当施加外电场经时间t后波矢变化k ，破坏了电子在倒空间的对称分布，电子速度不再能全部成对抵消，如图。因而能产生电流。即不满的带能导电。Page 21（a）

8、无外电场（b）有外电场 不满带电子在k空间的分布Page 22三、价带填充程度决定导电性导体、绝缘体与半导体原子结合成晶体后，原子的能级转化为相应的能带。由于原子内层电子能级是充满的，所以相应内层能带也是满带，是不导电的。晶体是否导电取决于与价电子能级对应的价带是否被电子充满。如果价带是满带，这种晶体就是绝缘体或半导体，否则就是导体。由于每个能带可容纳2N个电子，N是晶体原胞数目，因此：价带是否被电子填満取决于每个原胞所含的价电子数目，以及能带是否交叠。Page 23对Li,Na,K等碱金属, 每原子含一个价电子、体心立方布拉菲晶格、每个原胞只有一个价电子，整个晶体中的价电子只能填満半个价带，

9、它们是导体；例如：对于Na金属：每个原子11个电子，电子组态为：N个原子组成晶体时，3s能级过渡成能带，能带中有N个状态，可以容纳2N个电子。但钠只有N个3s电子，因此能带是半満的，在电场作用下，可以产生电流。Page 24 Ba、Mg、Zn等二价元素，虽然每个原胞有偶数个电子, 由于晶体结构的特点，各方向上带宽不等的能带产生重迭, 形成一个更宽的能带，它可包含几个布里渊区，因而可填充比2N更多的电子，结果使能带不完全充满，因而也是导体。例如，金属Mg：孤立原子有2个3s电子，晶体中的3s能带可容纳2N个电子，能带应该是満的，按照上述原则，镁应该是绝缘体。但实验指出，镁及其它碱土族晶体都是金属

10、，为什么？这是由于它的3s能带和较高的能带有交迭的现象。实际上，价电子并未填满3s能带，有一部分电子占有了能量较高的带，因此，仍有电子在不满的带，使晶体具有金属的性质。Page 25对C, Si, Ge等, 半导体。具有FCC点阵的复式晶格，价电子的组态是一个ns和三个np态，每个初基元胞中有两个原子，八个价电子。电子态之间有强烈的交迭，产生为禁带隔开的二个能带每个带有4N个能级。从能带结构和电子填充情况看，半导体和绝缘体相似。半导体禁带较窄，热激发使満带和空带都成为导带。热激发的电子数目随温度按指数规律变化。Page 26Page 27四、空穴对于半导体，由于热激发，使得満带顶部的电子跃迁到

11、空带，使原来的満带和空带都成为导带。为了描述这种近満带的导电功能，人们引入“空穴”的概念。半导体的近満带中未被电子占据的量子态称为空穴。若近満带中某k态未被电子占据，在有电场时会有电流产生空穴导电设此电流为当有电子再填満这个k态时，此带恢复成満带，总电流变为零Page 28即上式说明，空穴对电流的贡献如同速度为而带正电的电荷对导电的贡献。満带顶电子的平均加速度因为令则平均速度外电场Page 29也是空穴的加速度，所以说明：由于正电荷e的粒子。空穴等价于一个具有正质量Page 30能带理论的主要结论：Page 31Page 32能带理论的主要成就：Page 33能带理论的局限性：Page 34能

12、带理论的局限性：Page 35能带理论的局限性：Page 36能带理论的局限性：Page 37空穴（hole）与空位（vacancy）的区别空穴空位k(状态)空间的一种状态空缺, 是存在这一空缺的整个能带的描述, 同其它电子一样, 在真实空间的位置不确定真实空间中格点(原子实)的空缺在k空间的运动方向与其它电子相同（K空间的状态变化）在真实空间以跳跃的方式运动, (实际上是其它原子实的跳跃运动, 而非其它原子实或晶格的总体运动)总带正电荷不总带正电荷(可正可负)Page 38例1：晶格常数为a的一维晶体中，电子的波函数为f是某一函数，求电子在以上状态中的波矢。解：由此得（1）根据布洛赫定理，在

13、一维周期势场中运动的电子的波函数满足于是Page 39因此得若只取布里渊区内的值，即则有令得因此所以有在布里渊区内的值为Page 40Page 41Page 42Page 43Page 44Page 45Page 46Page 47Page 48Page 49Page 50Page 51Page 52Page 53Page 54Page 55当布拉格反射条件，受到晶格的全反射。反射波与入射波的干涉形成驻波（相加或相减构成两个不同的驻波）。时，波长正好满足Page 56本章要点1、能带理论的基本近似和结论能带理论的基本近似：能带理论是建立在单电子近似和周期场假定基础是的晶体电子理论。能带理论的普

14、遍结论：（1）布洛赫定理晶体电子的波函数具有形式，k是描述电子状态的量子数，称为电子波矢。（2）能带晶体电子的能量只能取某些与k有关的允许值E（k），这些能带允许值形成一个个能量准连续区能带En(k)。Page 57本章要点不同的的量子数n代表不同的能带，不同能带之间存在着能隙。（3）布洛赫波和能带的性质即能量在k空间具有对称性，能量和波函数都是k的周期函数，在倒格空间具有倒子的周期性，即相差一个倒格矢的两个状态是等价的状态。（4）波矢k的数目在周期性边界条件下，引入布里渊区的概念，k的取值个数与构成晶体的原胞数目N相同。Page 58本章要点2、能带理论的近似方法近自由电子近似：以自由电子波函数作为零级近似，把晶格周期势看作微扰。此模型适用于处理电子共有化程度较高的金属。近自由电子近似能谱及能隙：周期势的付里叶展开系数的两倍。Page 59本章要点 紧束缚近似 此模型适合处理内层电子* 孤立原子互相靠拢分裂的能级展宽形成能带*