北京市朝阳区北京八十中学2021-2022学年数学高二下期末达标测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1下列说法正确的是（ ）A命题“若，则”的否命题为“若，则”B命题“，”的否定是“，”C样本的相关系数r，越接近于

2、1，线性相关程度越小D命题“若，则”的逆否命题为真命题2在极坐标系中，圆=-2sin的圆心的极坐标系是ABC(1,0)D(1，)3现对某次大型联考的1.2万份成绩进行分析，该成绩服从正态分布，已知，则成绩高于570的学生人数约为（）A1200B2400C3000D15004在边长为2的菱形中，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为（ ）ABCD5函数 的单调递增区间是（ ）ABC(1,4)D(0,3)6已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）ABCD7用数学归纳法证明“能被13整除”的第二步中，当时为了使用归纳假设，对变形正确的是（ ）ABCD8已知一个几何

3、体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则的值为（ ）ABCD9如图，在正四棱柱中， 是侧面内的动点，且记与平面所成的角为，则的最大值为ABCD10同学聚会时，某宿舍的4位同学和班主任老师排队合影留念，其中宿舍长必须和班主任相邻，则5人不同的排法种数为（ ）A48B56C60D12011用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证（ ）ABCD12袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A1,2，6B1,2，7C1,2，11D1,2,3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知二项式展开式的

4、第项与第项之和为零，那么等于_.14如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，记其前项和为，则_15将极坐标方程化为直角坐标方程得_16设复数满足，其中为虚数单位，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足：，.经测算，电车载客量与发车时间间隔满足：，其中.（1）求，并说明的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求每分钟最大净收益.18（12分）已知.猜想的表达式并用数学归纳法

5、证明你的结论.19（12分）某企业有、两个岗位招聘大学毕业生，其中第一天收到这两个岗位投简历的大学生人数如下表：岗位岗位总计女生12820男生245680总计3664100（1）根据以上数据判断是有的把握认为招聘的、两个岗位与性别有关？（2）从投简历的女生中随机抽取两人，记其中投岗位的人数为，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.0500.0250.0103.8415.0246.63520（12分）已知函数.求的单调区间；若在处取得极值，直线y=与的图象有三个不同的交点，求的取值范围21（12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据

6、如下表所示：月份x12345y（万盒）44566（1）该同学为了求出关于的线性回归方程 ，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题，记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望22（10分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，求证： .（为自然对数的底数）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

7、是符合题目要求的。1、D【解析】利用四种命题之间的变换可判断A；根据全称命题的否定变法可判断B；利用相关系数与相关性的关系可判断C；利用原命题与逆否命题真假关系可判断D.【详解】对于A，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故A错误；对于B，命题“，”的否定是“，”，故B错误；对于C，样本的相关系数r，越接近于1，线性相关程度越大，故C错误；对于D，命题“若，则”为真命题，故逆否命题也为真命题，故D正确；故选：D【点睛】本题考查了判断命题的真假、全称命题的否定、四种命题的转化以及原命题与逆否命题真假关系、相关系数与相关性的关系，属于基础题.2、B【解析】由题圆，则可化为直角坐标系下的方程,，圆心

8、坐标为（0，-1），则极坐标为，故选B.考点：直角坐标与极坐标的互化.3、A【解析】根据正态分布的对称性，求得的值，进而求得高于的学生人数的估计值.【详解】，则成绩高于570的学生人数约为.故选A.【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，考查计算正态分布指定区间的概率，属于基础题.4、C【解析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DNAC，BNAC，可得出二面角BACD的平面角为BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥BACD为正四面体，可得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案【详解】如下图所示，易知ABC和ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DNAC，BNAC所以，

9、BND是二面角BACD的平面角，过点B作BODN交DN于点O，可得BO平面ACD因为在BDN中，所以，BD1BN1+DN11BNDNcosBND，则BD1故三棱锥ABCD为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的，又正四面体的高为棱长的，故因此，三棱锥ABCD的内切球的表面积为故选：C【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题5、B【解析】求出函数的导数，在解出不等式可得出所求函数的单调递增区间.【详解】，解不等式，解得，因此，函数的单调递增区间是，故选B.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，一般

10、是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.6、B【解析】求出函数的解析式，并求出零点、关于的表达式，令，知，并构造函数，利用导数求出函数在上的值域，即可作出的取值范围【详解】因为函数，所以，由，得，由，得，设，则，所以，设，则，即函数在上是减函数，故选B.【点睛】本题考查函数零点积的取值范围，对于这类问题就是要利用函数的解析式求出函数零点的表达式，并构造函数，利用导数来求出其范围，难点在于构造函数，考查分析问题的能力，属于难题7、A【解析】试题分析：假设当，能被13整除， 当应化成形式，所以答案为A考点：数学归纳法8、A【

11、解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【详解】解：由三视图可知，几何体的直观图如图：是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，底面都是的等腰直角三角形，高为，所以体积为： ，解得故选A【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，属于简单题9、B【解析】建立以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，设点，利用，转化为，得出，利用空间向量法求出的表达式，并将代入的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出的最大值【详解】如下图所示，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、，设点，则，则

12、，得，平面的一个法向量为，所以， ，当时，取最大值，此时，也取最大值，且，此时，因此，故选B【点睛】本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解，考查运算求解能力，属于难题10、A【解析】采用捆绑法，然后全排列【详解】宿舍长必须和班主任相邻则有种可能，然后运用捆绑法，将其看成一个整体，然后全排列，故一共有种不同的排法故选【点睛】本题考查了排列中的位置问题，运用捆绑法来解答即可，较为基础11、B【解析】直接利用数学归纳法写出时左边的表达式即可【详解】解：用数学归纳法证明，时，第一步应验证时

13、是否成立，即不等式为：；故选：【点睛】在数学归纳法中，第一步是论证时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误12、B【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】用项式定理展开式通项公式求得第4项和第5项，由其和为0求得【详解】二项式展开式的第项为，第5项为，解得故答案为：1【点睛】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，属于基础题14、361【解析】将按照奇偶分别计算：当 为偶数时，

14、；当为奇数时，计算得到答案.【详解】解法一：根据杨辉三角形的生成过程，当为偶数时，当为奇数时，解法二：当时，当时，【点睛】本题考查了数列的前N项和，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.15、【解析】在曲线极坐标方程两边同时乘以，由可将曲线的极坐标方程化为普通方程.【详解】在曲线极坐标方程两边同时乘以，得，化为普通方程得，即，故答案为：.【点睛】本题考查曲线极坐标方程与普通方程之间的转化，解题时充分利用极坐标与普通方程之间的互化公式，考查运算求解能力，属于中等题.16、【解析】分析：由题意首先求得复数z，然后求解其模即可.详解：由复数的运算法则有：，则，.故答案为 点睛：本题主要考查复数的运

15、算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），实际意义是当电车的发车时间间隔为5分钟时，载客量为350；（2）间隔时间为5分钟时净收益最大，每分钟最大净收益为60元.【解析】（1）根据的解析式代入求得,其意义为某一时刻的载客量.（2）将的解析式代入即可求得的解析式.根据基本不等式性质及函数单调性可求得收益的最大值及取得最大收益时的间隔发车时间.【详解】（1）因为所以的实际意义是当电车的发车时间间隔为5分钟时,载客量为 （2）根据,则将的解析式代入的解析式可得化简即可得当时, ,当且仅当时等号成立当

16、时, ,当时等号成立综上可知,当发车时间间隔为时,线路每分钟的收益最大,最大为元.【点睛】本题考查了分段函数的应用,利用基本不等式及函数的单调性求最值,属于基础题.18、证明见解析【解析】首先计算，猜想， 再用数学归纳法证明.【详解】 猜想， 下面用数学归纳法证明：时，猜想成立； 假设时猜想成立，即则时，由及得 又=, 时猜想成立.由知.【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的归纳推理能力和计算能力.19、 (1)有的把握认为招聘的、两个岗位与性别有关.(2)见解析.【解析】分析：（1）根据所给公式直接计算求解作答即可；（2）先分析此分布为超几何分布，然后确定X的取值可能，根据超几分布求解

17、概率写分布列即可.详解：（1），故有的把握认为招聘的、两个岗位与性别有关.（2）的可能取值为0，1，2，.的分布列为012.点睛：考查独立性检验和离散型随机变量分分布列，属于基础题.20、【解析】解：（），当a0时，f（x）0，f（x）在R上单调递增；当a0时，由f（x）0即，解得或，由f（x）0得，f（x）的单调增区间为和（，）；f（x）的单调减区间是（）因为f（x）在x1处取得极大值，所以，a1所以，由f（x）0解得由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x1处取得极大值f（1）1，在x1处取得极小值f（1）2因为直线ym与函数yf（x）的图象有三个不同的交点，结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（2，1）；21、（1） ，6.1（2）见解析【解析】试题分析：（1）由线性回归方程过点（，）,可得,再求x=6时对应函数值即为6月份生产的甲胶囊产量数（2）先确定随机变量取法：=0，1，2，3，再利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据公式求数学期望试题解析：解：（1）=3，（4+4+5+6+6）=5，因线性回归方程=x+过点（，），=50.63=3.2，6月份的生产甲胶囊的产量数： =0.66+3.2=6.1（2）=0，1，2，3，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，其分布列为0123P所以E=22、（1）当时， 只有增区间为，当时， 的增区