2022年中山市重点中学高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ）A310 B35 C12某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为数学史选讲.球面上

2、的几何.对称与群.矩阵与变换现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：甲同学和丙同学均不选球面上的几何，也不选对称与群：乙同学不选对称与群，也不选数学史选讲：如果甲同学不选数学史选讲，那么丁同学就不选对称与群若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（）A数学史选讲B球面上的几何C对称与群D矩阵与变换3若是第一象限角，则sin+cos的值与1的大小关系是（ ）Asin+cos1Bsin+cos=1Csin+cos1D不能确定4一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则

3、它为“凹数”的概率是ABCD5设全集，则等于（）ABCD6已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ）A种B种C种D种8抛物线的焦点为，点是上一点，则（ ）ABCD9已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）ABCD10设非零向量，满足，则与的夹角为（ ）ABCD11函数的图象是（ ）ABCD12在

4、ABC中，若AB=2，AC=3，A=60，则BC的长为（）ABC3D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，则=_14科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称.假设甲每次通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为_15连续抛掷同一颗骰子3次，则3次掷得的点数之和为9的概率是_16曲线与坐标轴及所围成封闭图形的面积是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设是椭圆上的两点，已知向量，若且椭圆的离心率，短轴长为2，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆的焦点（为

5、半焦距），求直线的斜率的值；（3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.18（12分）已知椭圆：在左、右焦点分别为，上顶点为点，若是面积为的等边三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）.19（12分）己知，函数.（1）若，解不等式；（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围.20（12分）设函数，其中.已知.（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最值.21（12分）被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝

6、数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点.（1）求该方灯体的体积；（2）求直线和的所成角；（3）求直线和平面的所成角22（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：因为第一次摸到红球的概率为35，则第一次摸出红球且第二次摸出红球的概率为35考点：1、条件概率；2、独立事件2、D【解析】列举出所有选择可能，然后根据三个信息，确定正确的选项.【详解

7、】个同学，选门课，各选一门且不重复的方法共种，如下：种类甲乙丙丁1数学史选讲球面上的几何对称与群矩阵与变换2数学史选讲球面上的几何矩阵与变换对称与群3数学史选讲对称与群球面上的几何矩阵与变换4数学史选讲对称与群矩阵与变换球面上的几何5数学史选讲矩阵与变换球面上的几何对称与群6数学史选讲矩阵与变换对称与群球面上的几何7球面上的几何数学史选讲对称与群矩阵与变换8球面上的几何数学史选讲矩阵与变换对称与群9球面上的几何对称与群数学史选讲矩阵与变换10球面上的几何对称与群矩阵与变换数学史选讲11球面上的几何矩阵与变换对称与群数学史选讲12球面上的几何矩阵与变换数学史选讲对称与群13对称与群数学史选讲球面

8、上的几何矩阵与变换14对称与群数学史选讲矩阵与变换球面上的几何15对称与群球面上的几何数学史选讲矩阵与变换16对称与群球面上的几何矩阵与变换数学史选讲17对称与群球面上的几何数学史选讲矩阵与变换18对称与群球面上的几何矩阵与变换数学史选讲19矩阵与变换数学史选讲对称与群球面上的几何20矩阵与变换数学史选讲球面上的几何对称与群21矩阵与变换球面上的几何对称与群矩阵与变换22矩阵与变换球面上的几何矩阵与变换对称与群23矩阵与变换对称与群数学史选讲球面上的几何24矩阵与变换对称与群球面上的几何数学史选讲满足三个信息都正确的，是第种.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查分析与推理，考查列举法，属于基础

9、题.3、A【解析】试题分析：设角的终边为OP，P是角的终边与单位圆的交点，PM垂直于x轴，M为垂足，则由任意角的三角函数的定义，可得sin=MP=|MP|，cos=OM=|OM|，再由三角形任意两边之和大于第三边，得出结论解：如图所示：设角的终边为OP，P是角的终边与单位圆的交点，PM垂直于x轴，M为垂足，则由任意角的三角函数的定义，可得sin=MP=|MP|，cos=OM=|OM|OPM中，|MP|+|OM|OP|=1，sin+cos1，故选A考点：三角函数线4、C【解析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排

10、法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5、B【解析】直接利用补集与交集的运算法则求解即可【详解】解：集合，由全集，故选：B【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查6、B【解析】首先判断充分性可代特殊值，然后再判断必要性.【详解】当时，令，此时，所以不是充分条件

11、；反过来，当时，可得，且，即，所以是必要条件，是的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题考查必要不充分条件，根据必要不充分条件的判断方法判断即可.7、D【解析】试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数当6次选择均为“持平”时，共有种方案；当6次选择中有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有种方案；当6次选择中有2次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有种方案；当6次选择中有0次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各3次，共有种方案.综上可得小明在这一周中每天所吃水果个数的不同

12、选择方案共有种方案,故D正确.考点：排列组合，考查分类讨论思想.8、B【解析】根据抛物线定义得，即可解得结果.【详解】因为，所以.故选B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.9、A【解析】由题意可得： ，由二项式系数的性质可得：奇数项的二项式系数和为 .本题选择A选项.点睛：1二项展开式的通项是展开式的第k1项，这是解决二项式定理有关问题的基础在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制2因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法3二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分

13、利用二项展开式的特点和式子间的联系10、B【解析】由，且，可得，展开并结合向量的数量积公式，可求出的值，进而求出夹角.【详解】由，且，得，则，即，故，则，故.又，所以.故选：B【点睛】本题考查向量夹角的求法，考查向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.11、A【解析】根据已知中函数的解析式，利用导数法分析出函数的单调性及极值，比照四个答案函数的图象，可得答案【详解】，令得；当时，即函数在内单调递减，可排除B,D；又时，排除C，故选A.【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分析出函数的单调性是解答的关键，属于中档题.12、D【解析】在中，由，以及的值，利用余弦定理，即可求解，

14、得到答案.【详解】由题意，在中，由，由余弦定理可得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及余弦定理是解答特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握余弦定理是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先根据诱导公式化简，再由即可得【详解】，则，【点睛】本题主要考查了诱导公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题14、 【解析】甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，故所求概率为.填15、；【解析】利用分步计数原理，连续拋掷同一颗骰子3次，则总共有：666=216种情况，再列出满足条件的所有基本

15、事件，利用古典概型的计算公式计算可得概率.【详解】每一次拋掷骰子都有1，2，3，4，5，6，六种情况，由分步计数原理：连续抛掷同一颗骰子3次，则总共有：666=216种情况，则3次掷得的点数之和为9的基本事件为25种情况即：(1,2,6)，(1,3,5)，(1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)，(2,1,6)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)，(3,1,5)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(3,5,1)，(4,1,4)，(4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)，(5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，(6,1

16、,2)，(6,2,1)，共25个基本事件，所以.【点睛】本题考查分步计数原理和古典概型概率计算，计数过程中如果前两个数固定，则第三个数也相应固定.16、【解析】分析：首先利用定积分表示曲边梯形的面积，然后计算定积分详解：曲线与两坐标轴及所围成的图形的面积为即答案为点睛：本题考查了定积分的运用求曲边梯形的面积；正确利用定积分表示是关键三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）；（）；（）三角形的面积为定值1【解析】试题分析：（1）根据条件可得，再设直线的方程为：，与椭圆联立方程组，利用韦达定理和已知条件，即可求出的值；（2）先考虑直线斜率不存在的情况，即，根据，求得

17、和的关系式，代入椭圆的方程求得点的横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得AOB的面积的值；当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示出和，再利用，弦长公式及三角形面积公式求得答案.试题解析：（1）由题可得：，所以，椭圆的方程为设的方程为：，代入得：，即： 即，解得：（2）直线斜率不存在时，即， ，即 又点在椭圆上 ，即 ， ，故的面积为定值1当直线斜率存在时，设的方程为，联立得：， 所以三角形的面积为定值1.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特

18、殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值.18、解（1）；（2）或.【解析】（1）由是面积为的等边三角形，结合性质 ，列出关于 、 的方程组，求出 、，即可得结果;（2）先证明直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，利用弦长公式可得 ，化简得.原点到直线的距离为，的面积，当最大时，的面积最大.由，利用二次函数的性质可得结果.【详解】（1）由是面积为的等边三角形，得，所以，从而，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，当轴时，则为椭圆的短轴，故有，三点共线，不

19、合题意.所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点，点，联立方程组消去，得，所以有，则 ，即，化简得.因为，所以有且.原点到直线的距离为，的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，而，所以当时，取最大值为3，面积的最大值.把代入，得，所以有，即直线的方程为或.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.19、（1）；（2）【解析】（1）零点分段解不等式即可（2）等价

20、于，由，得不等式即可求解【详解】（1）当时，当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得.综上可知，原不等式的解集为.（2）.存在使得成立，等价于.又因为，所以，即.解得，结合，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题20、（1）；（2）最小值为，最大值.【解析】（1）利用辅助角公式化简，并利用解方程，解方程求得的值.（2）求得图像变换后的解析式，根据的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得的最大值和最小值.【详解】（1）因为.由题设知，所以，故，又，所以.（2）由（1）得.所以.，所以当，即时，取得最小值，当，即时，取得最大值.【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查三角函数的