2022年北京师大附中数学高二第二学期期末联考模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知经过，两点的直线AB与直线l垂直，则直线l的倾斜角是（）A30B60C120D1502下列四个命题中，真命题的个数是（ ）命题“若，则”；命题“且为真，则有且只有一个为真命题”

2、；命题“所有幂函数的图象经过点”；命题“已知是的充分不必要条件”.A1B2C3D43如图，在ABC中，AN=12AC，P是A14B1C124若全集，集合，则（ ）ABCD5双曲线的焦点坐标是ABCD6九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中方田一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦矢矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23，弦长为403m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式

3、计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中A15B16C17D187若抛物线,过其焦点的直线与抛物线交于两点,则的最小值为( )A6BC9D8已知集合，且，则实数的取值范围为（ ）ABCD9把4个苹果分给两个人，每人至少一个，不同分法种数有()A6B12C14D1610点的直角坐标为，则点的极坐标为（ ）A B C D11在等比数列中，已知，则的值为（ ）ABCD12设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13有7张卡片分别写有数字从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是_14学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只

4、评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下：甲说：“作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“两项作品未获得一等奖”； 丁说：“或作品获得一等奖”.评奖揭晓后发现这四位同学中只有两位预测正确，则获得一等奖的作品是_.15若实数满足，则的最小值为_16平面直角坐标系中，若点经过伸缩变换后的点Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图所示，在ABC中，abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体PABC中，

5、S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论18（12分）足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：年份x20142015201620172018足球特色学校y（百个）0.300.601.001.401.70（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱.（已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较）：（2）求y关于x的线性

6、回归方程，并预测A地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.参考公式和数据：，.19（12分）如图，在四边形中，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.20（12分）已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调区间.21（12分）央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名观众进行调查，其中有名男观众和名女观众，将这名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在分钟以上（包括分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在分钟以下（不包括分钟）的称

7、为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取名，再从这名观众中任选名，求至少选到名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.22（10分）在一次考试中，某班级50名学生的成绩统计如下表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀分数697374757778798082838587899395合计人数24423463344523150经计算，样本的平均值，标准差为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为X，

8、并根据以下不等式进行评判：；评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷（1）试判断该份试卷被评为哪种等级；（2）按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量的分布列和数学期望参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】首先求直线的斜率，再根据两直线垂直，求直线的斜率，以及倾斜角.【详解】，直线l的倾斜角是.故选B.【点睛】本题考查了

9、两直线垂直的关系，以及倾斜角和斜率的基本问题，属于简单题型.2、C【解析】令，研究其单调性判断.根据“且”构成的复合命题定义判断.根据幂函数的图象判断.由，判断充分性，取特殊值判断必要性.【详解】令，所以在上递增所以，所以，故正确.若且为真，则都为真命题，故错误.因为所有幂函数的图象经过点，故正确.因为，所以，故充分性成立，当时，推不出，所以不必要，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3、C【解析】以AB,AC 作为基底表示出【详解】P，N分别是AP=又AP=mAB+【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推

10、理能力4、C【解析】分别化简求解集合U,A，再求补集即可【详解】因为，所以.故选：C【点睛】本题考查集合的运算，考查运算求解能力.5、C【解析】分析：由题意求出，则，可得焦点坐标详解：由双曲线，可得，故双曲线的焦点坐标是选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.6、B【解析】分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差.详解：因为圆心角为23，弦长为403m因此根据经验公式计算出弧田的面积为12实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12因此两者之差为16003点睛：扇形面积公式12lr=127、B【解析】分析：设直线方程为，联立方程组

11、得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值.详解：抛物线的焦点，设直线方程为，联立方程组，得，设，则，由抛物线的性质得，.故选：B.点睛：本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.8、C【解析】由已知求得，再由，即可求得的范围，得到答案【详解】由题意，集合，可得，又由，所以故选C【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题9、C【解析】给两个人命名为甲、乙，根据甲分的苹果数进行分类即可求出【详解】按照分给甲的苹果数，

12、有种分法，故选C【点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用10、A【解析】试题分析：,又点在第一象限,点的极坐标为.故A正确.考点：1直角坐标与极坐标间的互化.【易错点睛】本题主要考查直角坐标与极坐标间的互化,属容易题. 根据公式可将直角坐标与极坐标间互化,当根据求时一定要参考点所在象限,否则容易出现错误.11、D【解析】根据数列是等比数列得到公比，再由数列的通项公式得到结果.【详解】因为数列是等比数列，故得到进而得到，则 故答案为：D.【点睛】这个题目考查了等比数列的通项的求法，是简单题.12、C【解析】根据导函数图象，确定出函数的单调区间和极值，从而可得结论.【详解】根据的图象可知，当或时

13、，所以函数在区间和上单调递增；当时，所以函数在区间上单调递减，由此可知函数在和处取得极值，并且在处取得极大值，在处取得极小值，所以的图象最有可能的是C.故选：C.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，考查数形结合思想和分析能力.解决此类问题，要根据导函数的图象确定原函数的单调区间和极值，一定要注意极值点两侧导数的符号相反.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、114【解析】根据题意,按取出数字是否重复分4种情况讨论:、取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4;、取出的4张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2;若取出的4张卡片为2

14、张1和2张2;、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1.分别求出每种情况下可以排出四位数的个数,由分类计数原理计算可得答案【详解】根据题意，分4种情况讨论：(1)取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时=24种顺序,可以排出24个四位数;(2)取出的4张卡片中有2个重复数字,则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1,在2、3、4中取出2个,有种取法,安排在四个位置中,有种情况,剩余位置安排数字1,可以排出312=36个四位数,同理,若重复的数字为2,也可以排出36个重复数字;(3)若取出的4张卡片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有种情况,

15、剩余位置安排两个2,则可以排出61=6个四位数;(4)取出的4张卡片中有3个重复数字,则重复的数字为1,在2、3、4中取出1个卡片,有 种取法,安排在四个位置中,有 种情况,剩余位置安排1,可以排出34=12个四位数;所以一共有24+36+36+6+12=114个四位数.故答案为:114.【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用,属于难题,有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题,解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”,在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉

16、讨论又不能遗漏,这样才能提高准确率,难度较难.14、C【解析】若获得一等奖,则甲、丙、丁的话是对的,与已知矛盾;若获得一等奖,则四人的话是错误的,与已知矛盾;若获得一等奖,则乙、丙的话是对的,满足题意;所以获得一等奖的作品是.15、【解析】实数满足，可得，分别令，转化为两个函数与的点之间的距离的最小值， ，设与直线平行且与曲线相切的切点为，则，解得，可得切点，切点到直线的距离. 的最小值为，故答案为.【方法点睛】本题主要考查及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功

17、效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题巧妙地将最值问题转化为两点间的距离，再根据几何性质转化为点到直线的距离公式求解.16、3.【解析】由点P的直角坐标求出伸缩变换后的点Q的坐标，将点Q的坐标看作极坐标，根据极坐标的性质距离为，将极坐标代入即可求出距离【详解】点P经伸缩变换后，点Q的坐标为，将点Q看作极坐标，则距离为.【点睛】本题考查点的伸缩变换以及极坐标的性质，注意题目中给出的点P的坐标为直角坐标，不要看错题目，并且注意距离为正数，要有绝对值.

18、三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、SS1cos S2cos S3cos 【解析】类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为SS1cos S2cos S3cos .证明：如图，设点在底面的射影为点，过点作，交于，连接，就是平面PAB与底面ABC所成的二面角，则，同理，又，SS1cos S2cos S3cos .考点：类比推理.18、（1） ，y与x线性相关性很强（2），244【解析】（1）根据题意计算出r，再比较即得解；（2）根据已知求出线性回归方程，再令x=2020即得解.【详解】（1）由题得所以，y与x线性相关性很强.（2），关于的线性回归方程是.当时，即该

19、地区2020年足球特色学校有244个.【点睛】本题主要考查相关系数的应用，考查线性回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（）在梯形中，设，题意求得,再由余弦定理求得,满足,得则.再由平面得，由线面垂直的判定可.进一步得到丄平面;（）分别以直线为:轴，轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 ,令得到的坐标，求出平面的一法向量.由题意可得平面的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当时，有最小值为,此时点与点重合.试题解析：（）证明：在梯形中，,设，又,.则.平面,平面，,而,平面.,平面.（）解：分别以直线为轴，轴，轴建立如图

20、所示的空间直角坐标系，设，令，则，设为平面的一个法向量，由得，取，则，是平面的一个法向量，当时，有最小值为，点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.20、（1）（2）当时，函数的增区间是（0,1），减区间是；当时，函数的增区间是和，减区间是；当时，函数增区间是，没有减区间；当时，函数的增区间是（0,1）和，减区间是.【解析】（1）求导，根据导数的几何意义，写出切线方程的点斜式方程，整理化简即可；（2）求导，根据参数对导数正负的影响对参数进行分类讨论，求得对应的单调性和单调区间.【详解】（1）若，导函数为.依题意，有，则切线方程为，即.（2），当时，由，得，则函数的增区间是（0,1），减区间是；当时，由，得，再讨论两根的大小关系；当时