少年班中王大法计算楼梯上法(续)

1、阶梯上法（续）前言： 在少年班电影第 6 分 58 秒孙红雷向王大法提问： 有 20 级阶梯，每次只能上 1 级或 2 级，总共有多少种上法？正文： 在上一次我们用数学中的排列组合计算的方法验证了少年班 电影王大法计算阶梯上法结果 10946 种，但是王大法是用排列组合的 方法计算的吗？在少年班电影中王大法念念有词： “最高阶非零 子式的阶数 =n-2，任何 n-1 阶子式均为零”仅用了 8 秒钟计算出结 果 10946 种。我们在上一次用排列组合计算时， 计算分为三个大步骤， 第一步、 先把上阶梯的方法分为 11 类，第二步、 又用排列组合分别计算 11 类 上阶梯的上法数量， 第三步、 把

2、第二步计算的阶梯数量相加求得总上 法数量，显然这种计算方法原理上没错，符合逻辑关系，但是计算步 骤多，排列组合分别计算 11 类的上法数量，计算量大，总的来说用 这种方法在 8 秒钟算出结果的可能性不大， 这个问题是不是有其它解 法，王大法是不是有更快的计算方法哪？我的回答是王大法应该有更 快的方法，王大法在 8 秒之内计算出结果很可能用了 -斐波那契数列 的推导法， 用斐波那契数列的推导法计算速度大大提高， 下面我来介 绍一下斐波那契数列的推导法的计算方法：根据斐波那契数列：如果设 an 为该数列的第 n项（ ），那么这句话可以写成如下形式：（n3）上阶梯总数与阶梯上法列表如下：上阶梯总阶梯

3、上法数（数量）（n3）1122332+1453+2585+36138+572113+883421+1395534+21108955+341114489+5512233144+891337723323315987610+377161597987+6101725841597+9871841812584+15971967654181+258420109466765+4181根据上表发现阶梯总数 a20对应 10946答： 20级阶梯，每次只能上 1级或 2级，总共有 10946种上法 大家也都看到了， 用斐波那契数列的推导法与用排列组合法计算速度 快多了，但用斐波那契数列的

4、推导法逻辑关系上比排列组合难理解， 用斐波那契数列的推导法是得出的上表到总阶梯对应阶梯上法为 10946，是巧合，还是每一个阶梯总数对应的阶梯上法都是对的？下 面我们随机抽取一个对应数据用排列组合计算法进行验证： 例如阶梯总数为 15 时，阶梯上法用排列组合计算步骤如下： 第一步先把 15个阶梯按每次上 1阶或 2阶分类如下： 第 1 类：每次上 1 阶 的有 15 次，上 2 阶的有 0 次； 第 2 类：每次上 1 阶 的有 13 次，上 2 阶的有 1 次； 第 3 类：每次上 1 阶 的有 11 次，上 2 阶的有 2 次； 第 4 类：每次上 1 阶 的有 9 次，上 2 阶的有 3

5、 次； 第 5 类：每次上 1 阶 的有 7 次，上 2 阶的有 4 次； 第 6 类：每次上 1 阶 的有 5 次，上 2 阶的有 5 次； 第 7 类：每次上 1 阶 的有 3 次，上 2 阶的有 6 次； 第 8 类：每次上 1 阶 的有 1 次，上 2 阶的有 7 次； 第二步运用排列组合分别计算上述 8 类阶梯上法的种类第 1 类阶梯上法的种类很明显是 1 种；因每次上 1阶有 15次，即为 15个相同元素在 15个位置排列组合 用排列组合公式即为： m!=15！=1，第 1类上法有 1 种；n! 15！第 2 类因每次上 1 阶有 13 次，上 2 阶有 1 次，即为两种不同元素在

6、 14个位数上排列组合，一种元素有 13 个，另一种元素有 1个。用排列组合公式即为： m! =14! =14，第 2 类上法有 14种；n! 13!第 3 类因每次上 1 阶有 11 次，上 2 阶有 2 次，即为两种不同元素在 13个位数上排列组合，一种元素有 11 个，另一种元素有 2 个。 用排列组合公式即为： m!= 13! =78，第 3 类上法有 78 种；n! 11!* 2！同理求得其他类阶梯上法：第 4 类： m!= 12! =220，第 4 类上法有 220种；n! 9!*3！第 5 类： m!= 11! =330，第 5 类上法有 330种；n! 7!*4！第 6 类： m!= 10! =252，第 6 类上法有 252种；n! 5!*5！第 7 类： m!= 9! =84，第 7 类上法有 84种；n! 3!*6！第 8 类： m!= 8! =8，第 8 类上法有 8 种；n! 1!*7！第三步，把上面 8 类阶梯的上法数量相加就得到阶梯总数为 15 时的 阶梯上法数量：1+14+78+220+330+252+84+8=987得到的答案和斐波那契数列的推导法对应阶梯为 15 时的阶梯上法数 量