2021-2022学年北京第十二中学高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1定义在R上的偶函数满足，当时，设函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A3B4C5D62在一组样本数据，（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A-3B0C-1D13设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为ABCD4已知，是双曲线的上、下两个焦点，的直线与双曲线的上下两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD5复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的

3、点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6已知是离散型随机变量，则（ ）ABCD7若满足约束条件，则的最小值是（ ）A0BCD38如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧河岸边选定一点，测出、的距离是，则、两点间的距离为（ ）ABCD9已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（ ）ABCD10已知函数，当时，在内的极值点的个数为（ ）ABCD11如图，在三棱锥中，面，是上两个三等分点，记二面角的平面角为，则（ ）A有最大值B有最大值C有最小值D有最小值12设，向量，且，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共

4、20分。13己知关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是_.14某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率为，设为下雨，为刮风，那么等于_15若函数的定义域为，则实数的取值范围为 16某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从点到点的最短路径的走法有_种三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.18（12分）若存在常数（），使得对定义域内的任意，（），都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”.（1）判断

5、函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（2）若函数（）是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；（3）若（）是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数，都有.19（12分）如图，底面，四边形是正方形，.()证明：平面平面；()求直线与平面所成角的余弦值.20（12分）以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”，设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.（1）求椭圆及其“准圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于、两点，当时，试求直线交“准圆”所得的弦长；（3）射线与椭圆的“准圆”交于点，若过点的直线，与椭圆都只有一个公共点，且与椭圆的“准圆”分

6、别交于，两点，试问弦是否为”准圆”的直径?若是，请给出证明：若不是，请说明理由.21（12分）已知四边形是矩形，平面，点在线段上（不为端点），且满足，其中.（1）若，求直线与平面所成的角的大小；（2）是否存在，使是的公垂线，即同时垂直？说明理由.22（10分）若，且.(1)求；(2)归纳猜想通项公式.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据题意，分析可得函数与的图象都关于直线对称，作出两个函数图象，分析其交点情况即可得到答案.【详解】由题意，函数满足可知，函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，所以函数的图

7、象关于轴对称，由函数可知，函数的图象关于直线对称，画出函数与的图象如图所示：设图中四个交点的横坐标为，由图可知，所以函数与的图象所有交点的横坐标之和为4.故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性、指数函数的图象与性质；考查数形结合思想和运算求解能力；利用函数的奇偶性和对称性作出函数图象是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.2、C【解析】因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点，都在直线上，则有相关系数，故选C.3、B【解析】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体

8、积最大，然后进行计算可得详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型4、D【解析】根据双曲线的定义，可得 是等边三角形，即 即 即又 0 即 解得 由此可得双曲线的渐近线方程为.故选D【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键5、B【解析】，故对应的点在第二

9、象限.6、B【解析】根据题意，由随机变量的分布列的性质可得则只有两个变量，进而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性质计算可得答案.【详解】根据题意，则则只有两个变量，则，得，即，则，则.故选：B【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、数学期望以及方差与方差性质，属于基础题.7、B【解析】可行域为一个三角形及其内部,其中，所以直线过点时取最小值，选B.8、A【解析】利用三角形的内角和定理求出，再利用正弦定理即可求解.【详解】由三角形的内角和可得，在中，由正弦定理可得，所以，故选：A【点睛】本题考查了正弦定理在生活中的应用，需熟记正弦定理，属于基础题.9、B【解析】抽象函数解不等式

10、考虑用函数的单调性，构造函数，可得为偶函数，且在在上为增函数，将不等式化为，即可求解.【详解】令，易知函数为偶函数，当时，所以在上为增函数，所以，即，所以，解之得.故选:B.【点睛】本题考查抽象函数不等式，利用函数的单调性将不等式等价转换，解题的关键构造函数，构造函数通常从已知条件不等式或所求不等式结构特征入手，属于中档题.10、C【解析】求导令导函数等于0，得出，将问题转化为函数，的交点问题，画出图象即可判断.【详解】令得出令函数，它们的图象如下图所示由图可知，函数，有两个不同的交点，则在内的极值点的个数为2个故选：C【点睛】本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题.11、B【解

11、析】将三棱锥放入长方体中，设，计算，则，得到答案.【详解】将三棱锥放入长方体中，设，如图所示：过作平面与，与，连接，则为二面角的平面角，设为，则，故.同理可得：设二面角的平面角为，.，当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力.12、B【解析】试题分析：由知，则，可得故本题答案应选B考点：1.向量的数量积；2.向量的模二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】对和讨论，利用二次函数的性质列不等式求实数的取值范围.【详解】解：当时，对恒成立；当时，解得，综合得：，故答案为：.【点睛】本题考查二次

12、不等式恒成立的问题，要特别注意讨论二次项系数为零的情况，是基础题.14、【解析】由题意可知，故答案为.15、【解析】试题分析：要使函数的定义域为，需满足恒成立当时，显然成立；当时，即综合以上两种情况得考点：不等式恒成立问题16、7.【解析】分析：根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动，将原问题转化为排列、组合问题，注意图中有空格，注意排除，计算可得答案详解：根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动；从A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，有种情况，但图中有空格，故是方法数为中故答案为：7.点睛：本题考查排列、组合的应用，解题的关键

13、将圆问题转化为排列、组合问题，由分步计数原理计算得到答案三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】试题分析：（1）将点代入椭圆方程,结合关系式和,组成方程组,可解得的值,从而可得椭圆的方程.（2）由题意分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为.将直线方程和椭圆方程联立,消去整理为关于的一元二次方程.由题意可知其判别式大于0,可得的范围. 设，的坐标分别为，.由韦达定理可得的值.根据数量积公式用表示.根据的范围求得范围.试题解析：解：（1）由题意得解得，椭圆的方程为（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由得.直线与椭圆交于不同的两点，解得.设

14、，的坐标分别为，则，的取值范围为考点：1椭圆的简单基本性质;2直线与椭圆的位置关系;3值域问题.18、（1）不是；详见解析（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）利用特殊值,即可验证是不是“利普希兹条件函数”.（2）分离参数,将不等式变为关于,的不等式,结合定义域即可求得常数的最小值;（3）设出的最大值和最小值,根据一个周期内必有最大值与最小值,结合与1的大小关系,及“利普希兹条件函数”的性质即可证明式子成立.【详解】（1）函数不是“利普希兹条件函数”证明: 函数的定义域为 令则所以不满足所以函数不是“利普希兹条件函数”（2）若函数（）是“利普希兹条件函数”则对定义域内任意,（）,均有即设则,

15、即因为所以所以满足的的最小值为（3）证明:设的最大值为,最小值为 在一个周期内,函数值必能取到最大值与最小值设因为函数（）是周期为2的“利普希兹条件函数”则若,则成立若,可设,则所以成立综上可知,对任意实数,都成立原式得证.【点睛】本题考查了函数新定义及抽象函数性质的应用,对题意正确理解并分析解决问题的方法是关键,属于难题.19、（1）见解析；（2）直线与平面所成角的余弦值为.【解析】分析：(1)先根据线面平行判定定理得平面，平面.，再根据面面平行判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面的一个法向量，利用向量数量积求得向量夹角，最后根据线面角与向量夹

16、角互余关系得结果.详解： ()因为，平面，平面，所以平面.同理可得，平面.又,所以平面平面.（）（向量法）以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知得，点，,.所以，.易证平面，则平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则。则.即直线与平面所成角的余弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20、（1）；（2）；（3）是准圆的直径，具体见解析【解析】（1）根据所给条件可知，根据面积公式可

17、知 ，最后解方程组求解椭圆方程；（2）设直线为，与椭圆方程联立，表示根与系数的关系，并且代入的数量积的坐标表示，求，最后代入直线和圆相交的弦长公式；（3）首先求点的坐标，当直线与椭圆有一个交点时，得到，可知 ，可知两条切线互相垂直，根据圆的性质可得答案.【详解】（1），准圆.（2），设：， ， ， ，即 ，圆心与该直线距离，弦长.（3），整理为： 因为直线与圆只有1个交点， 整理为： 椭圆切线与垂直，即，在准圆上，也在准圆上，是准圆的直径【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21、 (1)；(2)不存在满足条件，理由见详解.【解析】(1)建立空间直角坐标系，根据直线的方向向量与平面法向量的夹角余弦值得到线面角的正弦值，从而计算出线面角的大小；(2)假设存在满足，根据表示出的坐标，即可求解出的坐标表示，根据、求解出的值.【详解】(1) 建立空间直角坐标系如图所示：当时，为中点，因为，所以，所以，取平面一个法向量，设直线与平面所成的角的大小为，所以，所以，所以，所以直线与平面所成的角的大小为；(2)设存在满足条件，因为，所以，所以，又因为，当是的公垂线时，所以，所以无解即假设不成立，所以不存在满足条件.【点睛】