初中数学北师大版七年级下册第二章相交线与平行线-整合提升密码

1、专训1几何计数的四种常用方法名师点金：1.对于几何中的计数问题，掌握一定的方法能够让我们准确、高效地得出结果，常见的计数方法有：按顺序计数、按画图计数、按基本图形计数、按从特殊到一般的思想方法计数2计数的原则是不重复、不遗漏 按顺序计数问题1如图，两条直线相交于一点O，则图中共有()对补角A2 B3 C4 D5(第1题)(第2题)2如图在同一平面内有A，B，C，D，E五个点，过其中任意两点画直线最多有_条 按画图计数问题3请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别有几个交点？4在同一平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图 按基本图形计数问题5如图

2、，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？(第5题) 按从特殊到一般的思想方法计数问题6观察如图所示的图形，寻找对顶角(不含平角)(第6题) (1)两条直线相交于一点，如图所示，共有_对对顶角；(2)三条直线相交于一点，如图所示，共有_对对顶角；(3)四条直线相交于一点，如图所示，共有_对对顶角；.(4)根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角有_对；(5)根据探究结果，求2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数7同一平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？专训2相交线与平行线中的思想方法名师点金：1.本

3、章体现的主要方法有：基本图形(添加辅助线)法、分离图形法2几种主要的数学思想：方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等 基本图形(添加辅助线)法1如图，已知ABCD，探讨图中APC与PAB，PCD的数量关系，并请你说明成立的理由(第1题) 分离图形法2若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？(第2题) 方程思想3如图，由点O引出六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且AOOB，OF平分BOC，OE平分AOD，若EOF170，求COD的度数(第3题) 转化思想4如图，ABCD，1B，2D，试说明：BEDE.(第4题) 数形结合思想5如图

4、，直线AB，CD被EF所截，12，CNFBMN180.试说明：ABCD，MPNQ.(第5题) 分类讨论思想6如图，已知直线l1l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点，当P在线段CD上运动时，请你探究1，2，3之间的关系(第6题)专训3全章热门考点整合应用名师点金：本章知识是中考的必考内容，也是后面学习有关几何中计算和证明的基础其常见的题目涉及角度的计算，垂线段及其应用，平行线的判定和性质，命题形式有填空题，选择题，解答与说理题，题目难度不大其热门考点可概括为：三个概念，两个判定，两个性质，两个方法，两种思想 三个概念eq avs4al(概念1) 相交线1图中的对顶角

5、共有()A1对 B2对 C3对 D4对(第1题)(第2题)2如图，直线AB与CD相交于点O，EOAB，则1与2()A是对顶角 B相等 C互余 D互补3如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分AOC，COF35，BOD60，求EOF的度数(第3题)eq avs4al(概念2) 三线八角(第4题)4如图，如果140，2100，那么3的同位角等于_，3的内错角等于_，3的同旁内角等于_5如图，点E在AB的延长线上，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？(第5题)(1)A和D；(2)A和CBA；(3)C和CBE.eq avs4al(概念3) 平行线6在同一平面内，直

6、线a与b满足下列条件，写出其对应的位置关系(1)a与b没有公共点，则a与b_；(2)a与b有且只有一个公共点，则a与b_(第7题)7如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC.利用方格纸完成以下操作：(1)过点A作BC的平行线；(2)过点C作AB的平行线，与(1)中BC的平行线交于点D；(3)过点B作AB的垂线BE. 两个判定eq avs4al(判定1) 垂线8如图，直线AB，CD相交于点O，OMAB.(1)若120，220，则DON_；(2)若12，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；(3)若1eq f(1,4)BOC，求AOC和MOD的度数(第8题)eq avs4al(判定2) 平行线9如图

7、，已知CFAB于点F，EDAB于点D，12，猜想FG和BC的位置关系，并说明理由(第9题) 两个性质eq avs4al(性质1) 垂线段的性质10如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为点E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？(忽略河流的宽度)(第10题)eq avs4al(性质2) 平行线的性质11(2023雅安)如图，已知ABCD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，且EG平分FEB，150，则2等于()A50 B

8、60 C70 D80(第11题)(第12题)12(2023抚顺)如图，分别过等边三角形ABC的顶点A，B作直线a，b，使ab.若140，则2的度数为_13如图，在四边形ABCD中，ABCD，BCAD，那么A与C、B与D的大小关系如何？请说明理由(第13题) 两个方法eq avs4al(方法1) 作辅助线构成“三线八角”14如图，EBD，猜想AB与CD有怎样的位置关系？并说明理由(第14题)eq avs4al(方法2) 作辅助线构成“三线平行”15如图，已知ABCD，试说明：BDBED360.(第15题) 两种思想eq avs4al(思想1) 方程思想16如图，ABCD，123123，判断BA是

9、否平分EBF，并说明理由(第16题)eq avs4al(思想2) 转化思想17如图，在五边形ABCDE中，AECD，A107，ABC121，求C的度数【导学号：60052023】(第17题)答案eq avs4al(专训1)1C(第2题)210点拨：如图，可作直线AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条3解：图有0个交点，图有1个交点，图、图有3个交点，图、图有4个交点，图有5个交点，图有6个交点 (第3题) 4解：如图所示(第4题)5解：以一个“#”形为基本图形的有5个，以两个“#”形为基本图形的有4个，以三个“#”形为基本图形的有3个，以四个“#”形为基本图形的有

10、2个，以五个“#”形为基本图形的有1个，所以共有5432115(个)6解：(1)2(2)6(3)12(4)n(n1) (5)当2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数为2 016(2 0161)2 0162 0154 062 240.方法规律：本题运用了从特殊到一般的思想，前三题可以直接数出对顶角的对数根据前三题中的结果，探究出一般规律，再运用规律来解决最后一个问题7解：首先画图如下，列表如下：(第7题)直线条数1234平面最多被分成的部分个数24711当n1时，平面被分成2个部分；当n2时，增加2个，分成224(个)部分；当n3时，增加3个，分成2237(个)部分；当n4时，增加4

11、个，分成223411(个)部分；所以当n条直线时，分成2234n11234n1eq f(n（n1）,2)eq f(n2n2,2)(个)部分eq avs4al(专训2)(第1题)1解：APCPABPCD.理由如下：如图，过点P作PEAB.因为ABCD，所以PEABCD.所以PABAPE，PCDCPE(两直线平行，内错角相等)因为APCAPECPE，所以APCPABPCD(等量代换)2解：如图，将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形，由每个基本图形都有2对同旁内角，知共有16对同旁内角 (第2题) 3解：设CODx.因为OF平分BOC，OE平分AOD，所以COFeq f(1,2)BOC，EO

12、Deq f(1,2)AOD.因为EOFxCOFEOD170，所以COFEOD170 x.又因为x2COF2EOD90360，所以x2(170 x)90360.所以x70，即COD70.点拨：有些复杂的求角度的问题用方程思想求解非常简单，注意方程思想的应用4解：过点E在DEB内部作EFAB.因为ABCD，所以EFCD.所以DEFD(两直线平行，内错角相等)又D2，所以DEF2(等量代换)同理由EFAB，1B，可得BEF1.又因为12BEFDEF180(平角定义)，所以12BEFDEFBED90.所以BEDE.点拨：解该类问题需转化为比较简单、熟悉的几何问题，通过在“拐点”处作平行线为辅助线，把一

13、个大角分成两个小角，分别与已知角建立联系，这种转化思想在解题时经常用到5解：由对顶角相等，得CNFEND.因为CNFBMN180，所以ENDBMN180.所以ABCD.所以EMBEND.又因为12，所以END2EMB1，即ENQEMP.所以MPNQ.点拨：平行线的判定是由角与角的数量关系到“形”的判定，而性质则是由“形”到“数”的说理，研究两条直线的垂直或平行的共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角和角之间的关系6分析：观察图形，仅靠题图难以找到1，2，3之间的关系，为此过P点作l1的平行线，因为P是线段CD上的一个动点，所以P点可能在C，D两点之间，也可能与C点或D点重合，因此应按上述三种

14、情况分类讨论解：当点P在C，D之间时，过P点作PEAC，则PEBD，如图.因为PEAC, 所以APE1(两直线平行，内错角相等)因为PEBD，所以BPE3(两直线平行，内错角相等)因为2APEBPE，所以213.当点P与点C重合时，10，如图.因为l1l2(已知)，所以23(两直线平行，内错角相等)因为10， 所以213.当点P与点D重合时，30，如图.因为l1l2(已知)，所以21(两直线平行，内错角相等)因为30，所以213.综上所述，当点P在线段CD上运动时，1，2，3之间的关系为213. (第6题) eq avs4al(专训3)1B3解：根据对顶角的性质，得AOCBOD60.因为OE平

15、分AOC，所以COEeq f(1,2)AOCeq f(1,2)6030.所以EOFEOCCOF303565.480；80；1005解：(1)A和D是由直线AE，CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角(2)A和CBA是由直线AD，BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角(3)C和CBE是由直线CD，AE被直线BC所截形成的，它们是内错角6(1)平行(2)相交7解：如图(第7题)8解：(1)90(2)ONCD.理由：因为OMAB，所以1AOC90.又12，所以2AOC90.所以CON90.所以ONCD.(3)因为1eq f(1,4)BOC，所以BOC41.所以BOM31.因为BOM90，所以13

16、0.所以AOC90160.所以MOD1801150.9解：FGBC.理由如下：因为CFAB，EDAB，所以CFDE.所以1BCF.又因为12，所以2BCF.所以FGBC.10解：按方案一铺设管道更节省材料理由如下：因为CEAB，DFAB，CD不垂直于AB，根据“垂线段最短”可知，CEPC，DFPD，所以CEDFPCPD.所以按方案一铺设管道更节省材料11D13解：AC，BD.理由如下：因为ABCD，BCAD，所以BC180，AB180(两直线平行，同旁内角互补)所以AC(同角的补角相等)同理得BD.点拨：两直线平行是证明两角相等的重要工具平行线就像一个“桥梁”，由已知两角关系(相等或互补)，通

17、过平行线的性质，得到另外一对角之间的关系(第14题)14解：ABCD.理由如下：如图，过E点作EFAB，所以BBEF.因为BEDBD，所以BEDBEFD，即BEFDEFBEFD.所以DEFD.所以EFCD.所以ABCD.15解：方法1：如图，过点E作EFAB.因为ABCD，EFAB，所以EFCD.所以2D180.因为EFAB，所以1B180.所以1B2D360.所以BDBED360.方法2：如图，过点E作EFAB.因为ABCD，EFAB，所以EFCD.所以2D.因为EFAB，所以1B.因为12BED360，所以BDBED360.(第15题)点拨：本题还有其他解法，如连接BD、延长DE交AB的延长线于点F等16解：BA平分EBF.理由如下：因为123123，所以可设1k，则22k，33k