对数与对数运算

1、对数与对数运算第1页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三1问题的提出：截止到1999年底，我们人口约13亿，如果今后能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过x年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 引入这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式 中，已知a 和N,求b的问题。（这里 a0且a1 ）问：哪一年的人口数可达到18亿，20亿？第2页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三 一般地，如果 ，那么数x 叫做以a为底N的对数，记作其中a叫做对数的底数，N叫做真数。对 数新课教学第3页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三常用对数： 我们通常将

2、以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 简记作 .自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。 并且把 简记作 。 新课教学第4页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三例如： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a0，a1时，新课教学第5页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三1. 是不是所有的实数都有对数？logaNx 中的N 可以取哪些值？ 负数与零没有对数，即：N02. 根据对数的定义以及对数与指数的关系， loga1? logaa? loga10， logaa1 在axN 中,x

3、=logaN，则有3. 对数恒等式(a0, a1)思考与探究第6页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指 数式： (1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)解： 范例第7页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三例2.求下列各式中x的值： (1)(2)(3)(4)解： (1)因为所以(2)因为所以(3)因为所以于是(4)因为所以于是范例第8页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三思考：概念巩固第9页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三求log(12x)(3x2)中的x

4、的取值范围练习：第10页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三问题提出：对数源于指数，对数和指数式怎样互化的？指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？第11页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三知识探究（一）：积与商的对数思考1:求下列三个对数的值： ， ， .你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？思考2:将 推广到一般情形有什么结论?思考3:如果a0，且a1，M0，N0，你能证明等式 成立吗？思考4:若a0，且a1， 均大于0， 则 第12页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三(1)设 由对数的

5、定义可以得： MN= 即证得 证明：新课教学第13页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三(2)设 由对数的定义可以得： 即证得 证明：新课教学第14页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三知识探究（二）:幂的对数思考1: 和 有什么关系?推广到一般情形呢?思考2:如果a0，且a1，M0，你有什么方法证明 等式 成立思考3: 对任意实数 恒成立吗？思考4:如果a0，且a1，M0，则 等于什么？第15页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三(3)设 由对数的定义可以得： 即证得 证明：新课教学第16页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三积

6、、商、幂的对数运算法则：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：上述证明是运用转化的思想：（1）先通过假设，将对数式化成指数式，（2）利用幂的运算性质进行恒等变形；（3）再根据对数定义将指数式化成对数式。（4）归纳小结：第17页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？两数积的对数,等于各数的对数的和；两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数；幂的对数等于幂指数乘以底数的对数第18页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三其他重要公式2:由对数的定义可以得：证明：设 即证得 这个公式叫做换底公式新课教学第19页，共

7、35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三其他重要公式3:证明:由换底公式 取以b为底的对数得： 还可以变形,得 新课教学第20页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三(1)(2) 解： 例3.用 表示下列各式： 范例第21页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三例4.计算： （1） （2） （3） 范例第22页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三= 5+14 = 19解： (1)(2)（1） （2） 范例第23页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三= 3解： (3)（3） 范例第24页，共35页，2022年，5月20日，2点4

8、分，星期三讲解范例例5计算： 解法一： 解法二： 第25页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三例5计算： 讲解范例 解： 第26页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三1.求下列各式的值：（4） （2） （3） （1） 课堂练习第27页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三2.用lg，lg，lg表示下列各式：（2）（1） lglglg；lglglg；（3） lglg lg； （4） （2）课堂练习第28页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三课堂小结 (1)对数的概念：对数、底数、真数； 常用对数； 自然对数。 (2)对数的运算： 积、

9、商、幂的对数运算法则； 3个重要公式。第29页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三 1999底我国人口为13亿,人口增长的年平均增长率为1%,则x年后，我国的人口数为 ；若问多少年后我国的人口达到18亿，即解方程，则而如果计算器只能求10,e为底的对数，那该怎么办？方法：进行换底，把底换成以10，或者换成以e为底或者引入的问题第30页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三例5 20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级

10、M,其计算公式为 M=lgA-lgA0 其中，A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的振级(精确到0.1) (2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?对数的应用第31页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三解：(1)因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。第32页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三(2)由M=lgA-l

11、gA0可得当M=7.6时，地震的最大振幅为当M=5时，地震的最大振幅为所以，两次地震的最大振幅之比是答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅是398倍.第33页，共35页，2022年，5月20日，2点4分，星期三例6 科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14,碳14的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14,可以通过与大气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用,机体中原有的碳14按确定的规律衰减,我们已经知道其“半衰期”为5730年. 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代.对数的应用第34页，共35