《高代解几》专升本考纲

1、四川理工学院数学系专升本高等代数、解析几何考试大纲第一部分 高等代数一、多项式1、知识范围（1）数域、一元多项式、整除的概念（2）最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数（3）复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式2、要求（1）理解数域的概念（2）理解并掌握一元多项式的定义、运算及运算性质，多项式的整除、互素的概念及性质， 最大公因式的概念掌握多项式的带余除法和辗转相除法（3）理解不可约多项式、本原多项式、重因式、多项式函数的概念掌握因式分解与数域的 关系，因式分解及唯一性定理，复系数多项式与实系数多项式的因式分解定理及标准分 解式（4）有理系数多项式有理根的求法，有理系数多项式不

2、可约的判定（艾森斯坦判别法）二、行列式1、知识范围（1）排列、n级行列式的定义.（ 2 ）行列式的性质，行列式的计算（ 3 ） Cramer 法则.2、要求（1）理解排列、逆序、奇偶排列的概念，掌握对换与排列的关系.会计算一个n级排列的逆 序数，并判断该排列的奇偶性.（2）理解 n 级行列式的定义、能确定出每项前带的符号.熟练掌握行列式的基本性质，能熟 练应用基本性质计算 n 级行列式.掌握计算的三种基本方法（化三角形、递推、表为行 列式之和）.（3）理解并掌握行列式按行（列）展开，余子式与代数余子式的概念，范德蒙行列式.（ 4 ）克拉默法则及其应用.三、线性方程组1、知识范围（ 1 ）消元法

3、、n 维向量空间及向量的线性相关性矩阵的秩线性方程组有解判别定理及线性方程组解的结构2、要求掌握线性方程组的消元法理解并掌握n维向量的定义、基本运算和运算的性质，向量的线性组合、线性表示、线 性相关及线性无关的概念、性质、判定及相关定理，两个向量组等价的定义，向量组的 极大无关组、向量组的秩矩阵的秩的定义及计算，会利用矩阵的秩计算向量组的秩，会利用初等变换求矩阵的秩 和解线性方程组掌握线性方程组有解的判别定理、解的性质，齐次线性方程组解的结构和基础解系，非 齐次线性方程组解的结构及全部解的求法四、矩阵1、知识范围矩阵的运算，矩阵的逆及其秩矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用2、要求掌

4、握矩阵的概念、运算和运算规律，几种特殊矩阵(单位矩阵、对角矩阵、对称(反对 称)矩阵、数量矩阵等)，矩阵乘积的行列式与秩理解并掌握可逆矩阵的定义及简单性质，伴随矩阵及用伴随矩阵求逆矩阵的方法理解并掌握初等矩阵的定义，矩阵的等价，初等矩阵与初等变换的关系，熟练掌握用初 等变换求逆矩阵的方法了解矩阵分块的定义及其运算，分块乘法的初等变换及其应用五、二次型1、知识范围( 1)二次型及其矩阵表示二次型的标准形、规范形( 3)正定二次型2、要求掌握二次型的矩阵与秩，二次型与对称矩阵的对应关系，二次型的等价与矩阵的合同理解并掌握标准形的定义、化二次型为标准型的配方法和合同变换法，二次型的规范形， 实二次型

5、的惯性定理理解并掌握正定二次型(正定矩阵)的概念，实二次型(实对称矩阵)正定的充要条件了解负定、半正定、半负定、不定二次型(矩阵)的概念六、线性空间1、知识范围线性空间的定义与简单性质线性空间的基与维数，向量的坐标，基变换与坐标变换（3）子空间、子空间的交与和、子空间直和（4）线性空间的同构2、要求（1）理解并掌握线性空间的定义与简单性质，线性空间的维数、基与坐标的概念，基变换与 坐标变换，过渡矩阵的概念会求线性空间的基与维数，会求过渡矩阵、向量的坐标（2）理解并掌握线性子空间的定义及其判定，扩基定理，子空间的交与和运算及其性质，维 数公式，子空间的直和及是直和的充要条件（3）掌握线性空间同构

6、的定义及充要条件七、线性变换1、知识范围（1）线性变换的定义与运算（2）线性变换的矩阵，特征值与特征向量，矩阵对角化问题（3）线性变换的值域与核，不变子空间2、要求（1）理解并掌握线性变换的定义、运算及运算性质，线性变换的矩阵，坐标变换公式，线性 变换在不同基下的矩阵，矩阵的相似关系（2）理解并掌握特征值、特征向量、特征多项式的定义，特征值与特征向量的求法，相似矩 阵有相同的特征多项式，哈密尔顿凯莱定理（3）掌握属于不同特征值的特征向量之间的关系，特征子空间的维数与所属特征根重数的关 系，矩阵可对角化的条件（4）了解不变子空间的定义，不变子空间与矩阵可对角化的关系，线性变换的值域与核，线 性变

7、换的秩与零度的关系八、欧几里得空间1、知识范围 （1）欧氏空间的定义和基本性质（2）标准正交基、正交变换（3）欧氏空间的同构、子空间（4）实对称矩阵的标准形2、要求1）掌握欧氏空间的定义和简单性质，向量的长度、夹角、距离，度量矩阵的概念及性质， 欧氏空间的同构2）理解并掌握标准正交基的概念、性质，施密特正交化方法，正交矩阵的概念及简单性质标 准正交基的过渡矩阵与正交矩阵的关系3）理解并掌握正交变换的定义和基本性质，正交变换的等价命题，子空间的正交概念，实 对称矩阵的性质，用正交替换变二次型为标准形的计算第二部分 解析几何一、矢量与坐标1、知识范围（1）基本概念：矢量的定义、矢量的模、单位矢量

8、、矢量的线性关系、矢量的坐标表示法、 矢量的方向余弦、矢量在坐标轴上的射影（2）矢量的线性运算：加法、减法、数乘（3）标架与坐标（4）两矢量的数性积、矢性积（5）三矢量的混合积2、要求（1）理解矢量的概念，掌握矢量的坐标表示法以及矢量线性相关与矢量共线、共面之间的关 系，会求满足条件的单位矢量、方向余弦、矢量在轴上的射影（2）掌握笛卡尔直角坐标系（3）掌握矢量的线性运算、矢量的数性积、矢性积及混合积的计算（4）掌握两矢量平行、垂直的充要条件会求两矢量的夹角（5）掌握用矢量法证明几何问题的基本环节（6）了解矢量运算的模型、矢量的各种运算与重要几何性质的关系二、轨迹与方程1、知识范围（1）曲面的方

9、程（2）母线平行于坐标轴的柱面方程（3）空间曲线方程2、要求 （1）掌握球面的方程、母线平行于坐标轴的柱面方程（2）会求曲面与坐标面的交线、曲线对坐标面的射影及射影柱面，能说出所得图形的名称（3）了解曲面参数方程和曲线参数方程的一般理论三、平面与空间直线1、知识范围（1）平面的方程（2）空间直线的方程（3）空间点、直线、平面三者自身以及相互间的相关位置2、要求（1）理解基本概念：平面的法矢量、平面的法式方程；直线的方向矢量、方向角、方向数（2）掌握平面的点位式、点法式方程，理解平面的一般方程、截距式方程、法式方程（3）掌握直线的对称式方程、坐标式参数方程，了解直线的一般方程，能将一般方程化为对

10、称式方程（4）会判定空间点、直线、平面三者自身以及相互间的相关位置（5）会求空间点、直线、平面三者自身以及相互间的距离（6）会求以下交角：直线与直线、直线与平面、平面与平面（7）了解两异面直线公垂线的方程会求平面束中的一个平面四、柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面1、知识范围（1）柱面、锥面、旋转曲面（2）椭球面、双曲面、抛物面（3）直纹面的直母线2、要求1）理解柱面的方向、准线和母线会求柱面的方程2）理解锥面的顶点、准线、母线的概念，掌握锥面方程的一般形式会求锥面的方程3）理解旋转曲面的旋转轴、母线、经线、纬圆的概念，会求旋转曲面的方程4）能通过椭球面、双曲面、抛物面的标准方程认识曲面的性质及形状5）了解直纹面的直母线、有关直母线的性质附 1 参考教材：1 北京大学数学系高等代数（第三版）高等教育出版社2003 年2吕林根、许子道等.解析几何（第三版）M.高等教育出版社.2001年.附2试卷结构1、考试形式：闭卷笔试2、试卷总分：100 分3、 答题时间：120 分钟4、 试卷题型及大致比例：（ 1 ）填充题（ 20%）（ 2）选择题（ 20%）（ 3 ）计算、综合题（ 40%）（ 4 ）证明题（ 20%）5、 试题难易大致比例（ 1 ）容易题约 30%（ 2）中等难度题