《数字信号处理》第2章 时域离散信号的频域分析

1、第2章 时域离散信号的频域分析 2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.5 离散系统的系统函数和频率响应 2.1 引言 信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。 模拟域，信号-连续变量时间t的函数 系统-微分方程描述 频域分析-用拉普拉斯变换和傅里叶变换 时域离散信号和系统， 信号-序列表示，其自变量仅取整数。 系统-用差分方程描述 频域分析-用Z变换或序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换周期序列的离散傅里叶级数离散系统的系统函数和频率响应 本章学习：2.2 时域离散

2、信号的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义 序列x(n)的傅里叶变换定义为(2.2.1) FTx(n)存在的充分必要条件是序列x(n)满足 (2.2.2) X(e j)的傅里叶反变换为(2.2.3) X(e j)表示x(n)的频域特性，也称为频谱，是连续变量的复函数，可表示为：幅度谱相位谱序列x(n)的傅里叶变换和Z变换之间的关系： 式中z=e j表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(2.2.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(2.2.4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。 比较二式可得： (2.2.4) 例

3、 2.2.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT 解：(2.2.5) 设N=4，x(n)=R4(n)， 设N=4，幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。 图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线 2.2.2 序列傅里叶变换的性质1. FT的周期性在定义(2.2.1)式中，n 取整数， 因此下式成立 (2.2.6) 因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是 2。 这样X(e j)可以展成傅里叶级数，其实(2.2.1)式已经是傅里叶级数的形式， x(n)是其系数。 图 2.2.2 cosn的波形 2. 线性 那么 设 式中a, b为常数 3. 时移与频移设X(e j) = FTx(

4、n)， 那么(2.2.7)(2.2.8) (2.2.9) 4. FT的对称性 设序列xe(n)满足下式： xe(n) = x*e(-n) 则称xe(n)为共轭对称序列。 将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 将上式两边n用-n代替， 并取共轭， 得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n) 因此得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n) 即共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地， 可定义满足下式的共轭反对称序列 xo(n) = -x*o(-n)同理可以得到： xor(n) = -xor(-n) xoi(n) =

5、xoi(-n)即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。 对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即 x(n) = xe(n)+xo(n) 式中xe(n), xo(n)可以分别用原序列x(n)求出， 对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论。 (a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n) 将上式进行FT，得到 X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j) 式中 (b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分 xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n) 进行FT可以得到： X(ej)=XR(ej)+jXI(ej

6、) 式中： FTxe(n)= XR(ej) FTxo(n)= jXI(ej)图 2.2.3 例2.2.3图 5. 时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(e j)=X(e j)H(e j) 6. 频域卷积定理 设y(n)=x(n)h(n) 则 7. 帕斯维尔(Parseval)定理 帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数 2.3.1 周期序列的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列，可以展成傅里叶级数 式中ak是傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以 ，并对n在一个周期N中求和

7、。 (2.3.1) 可以证明 上式中， k和n均取整数， 当k或者n变化时， ak 是周期为N的周期序列，令 则 也是周期为N的周期序列，称为 的离散 傅里叶级数系数，用DFS表示。 取整数 (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4)式和(2.3.5)式称为一对DFS。(2.3.5)式表明将一个周期序列分解成N个谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k, k=0, 1, 2 N-1， 幅度为 。 基波分量的频率是2/N， 幅度是 。 一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。 将(2.3.3)式和(2.3.1)式重写如下， (2.3.4) (2.3.5) 上式中， k和n均取整数。并记

8、： 例2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进 行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列 ，周期为8， 求 的DFS。 解： 其幅度特性 如图2.3.1(b)所示。 图 2.3.1 例2.3.1图时域的周期化 频域的离散化 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述(2.4.1)(2.4.2) 这里t与（模拟角频率）的域均在之间。 从模拟信号幅度取值考虑，可分为两种信号，即连续信号和采样信号， 它们之间的关系可描述如下： 采样信号 和连续信号xa(t)， 它们的傅里叶变换之间的关系，重写如

9、下： 下面我们研究如果时域离散信号x(n)，是由对模拟信号xa(t)采样产生的， 即在数值上有有下面关系： x(n) = xa(nT) (2.4.3) 注意上面式中n取整数，否则无定义。x(n)的一对傅里叶变换重写如下： 这里 （数字频率）取0，2或-， 。X(e j)与Xa(j)之间有什么关系，数字频率与模拟频率( f )之间有什么关系？对上式进行FT，得到：如果序列是由一模拟信号取样产生，则序列的数字频率与模拟信号的频率( f )成线性性关系，即： =T 或 =/ T式中T是采样周期T=1/fs ， =/fs=2f/fs 上面2式即表示序列的傅里叶变换X(ej)和模拟信号xa(t)的傅里叶

10、变换Xa(j)之间的关系式，得到结论： 序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号同模拟信号的FT之间的关系一样，都是Xa(j)以周期s=2/T进行周期延拓，只是频率轴上取值的对应关系为=T 。 图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系 例2.4.1设xa(t)=cos(2f0t)，f0=50Hz以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号 和时域离散信号x(n)， 求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。 解： 图 2.4.2 例2.4.1图图 2.4.3 四种信号的时域与频域的对应关系2.5 离散系统的频率响应和系统函数 2.5.1 频率响

11、应函数与系统函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉中响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j) 一般称H(e j)为系统的频率响应或传输函数，它表征系统的频率响应特性。 |H(e j)|为幅频特性，（）为相频特性。图2.5.1 理想低通、高通滤波器幅度特性 若系统输入为x(n), 则系统输出y(n)为 对h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式(2.6.2) 如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与H(z

12、)之间关系如下式：(2.6.3) 2.5.2 几种特殊系统的系统函数及特点 1. 全通滤波器 如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数， 即 |H(ej)|=1, 02 则该滤波器称为全通滤波器。 全通滤波器的频率响应函数可表示成 H(ej)=e j () 起纯相位滤波作用。 全通滤波器的系统函数一般形式如下式：例如： 图 2.5.2 全通滤波器一组零极点示意图 全通滤波器的极点与零点以共轭倒易关系出现，即如果z-1k为全通滤波器的零点，则z*k必然是全通滤波器的极点。 因此， 全通滤波器系统函数也可以写成如下形式： 2. 梳状滤波器 例如， , 0a1， 零点为 1， 极点为a, 所以H(z

13、)表示一个高通滤波器。以zN代替H(z)的z， 得到： 零点： 极点：图 8.1.2 梳状滤波器 的零极点分布和幅频响应特性(N=8) 3. 最小相位系统 最小相位系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相位系统的几个重要特点。 (1) 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成， 即 H(z)=Hmin(z)Hap(z) 证明：假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位圆外， 令该零点为z=1/z0，| z0 |1，则H(z)可表示为 (2) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中， 最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小，最小相位系统对(n)的响应波形延迟最小。 (3)