立体几何平行与垂直有答案

1、立体几何平行与垂直有答案 立体几何平行与垂直有答案 立体几何平行与垂直有答案 高三文科数学专题温习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1 直线与平面平行的断定与性质 2. 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1直线和平面垂直的定义：直线l 与平面内的 都垂直，就讲直线l 与平面相互垂直 2直线与平面垂直的断定定理及推论 立体几何平行与垂直有答案 立体几何平行与垂直有答案 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线 垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于同一条直线的两平面平行 二、平面与平面垂直 1平面与平面垂直的断定定理 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知

2、三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且PMB 为正三角形。求证：DM 平面APC ； 求证：平面ABC 平面APC ； 若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 解：M AB 为中点,D 为PB 中点, MD AP ，又MD APC ?平面 DM APC 平面 PMB 为正三角形,且D 为PB 中点，MD PB 又由1知,MD AP AP PB 立体几何平行与垂直有答案 立体几何平行与垂直有答案 又已知AP PC AP PBC 平面， AP BC ，又AC BC BC APC 平面,平面ABC 平面PAC , 20AB =，

3、10MB =,10PB = 又4BC = ，PC = 111 4244BDC PBC S S PC BC ?= =?=?= 12MD AP =又 11 33 D BCM M BCD BDC V V S DM -?=?=?= 例2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA 底面ABC ，2AC BC =，14AA = ，AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点. 求证：CN 平面11ABB A ； 求证：/CN 平面1AMB ； 求三棱锥1B AMN -的体积 证实：由于三棱柱111ABC A B C -中，1AA 底面ABC 又由于CN ?平面ABC ， 所以1AA CN

4、 . 1分 由于2AC BC =，N 是AB 中点， 所以CN AB . 2分 由于1AA AB A =I ， 3分 所以CN 平面11ABB A 4分 证实：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ， 由于N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点， 所以1/NG BB ，11 2NG BB = . 又由于1/CM BB ，11 2 CM BB =， 所以/CM NG ，CM NG =. A B C A 1 B 1 C 1 M N A B C A 1 B 1 C 1 M N G 立体几何平行与垂直有答案 立体几何平行与垂直有答案 所以四边形CNGM 是平行四边形. 6分 所以/CN MG . 7

5、分 由于CN ?平面1AMB ，GM ?平面1AMB ， 8分 所以/CN 平面1AMB 9分 由知GM 平面1AB N . 10分 所以11MN M N 114 4323 B A AB V V -=?=. 13分 【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1 AA 平面ABC ，ABC ?为等腰直角三角形， 90=BAC ，且1AA AB =，F E D ,分别是BC CC A B ,11的中点。 1求证：/DE 平面ABC ； 2求证：F B 1平面AEF ； 3设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积。 1取AB 中点O ，连接DO CO , =,/,2 1 ,/

6、11CE DO CE DO AA DO AA DO 平行四边形DOCE ，?DE CO DE ,/平面 ABC ，?CO 平面ABC ，/DE 平面ABC 。 4分 2等腰直角三角形ABC ?中F 为斜边的中点，BC AF 又 直三棱柱111C B A ABC -，面ABC 面C C BB 11， AF 面B C 1，F B AF 1 设EF F B E B EF F B E B EF F B AA AB =+= =121221111,2 3,23,26,1 又,F EF AF = F B 1面AEF 。 8分 3由于点D 是线段 1AB 的中点，故点D 到平面AEF 的距离是点1B 到平面A

7、EF 距离的 12 。1B F =， 所以三棱锥D AEF -的高为4a ；在Rt AEF ?中 ，,22 EF AF a = =，所以三棱锥 D AEF -的底面面积为2 8a ，故三棱锥D AEF -的体积为2311 38416a a a ?=。12分 立体几何平行与垂直有答案 立体几何平行与垂直有答案 O P D C B A 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD 平面ABCD ，AB DC ，PAD 是等边三角形，已知24BD AD = ，2AB DC = 1求证：BD 平面PAD ； 2求三棱锥A PCD -的体积 1证实：在ABD 中，由于2

8、AD =，4BD = ，AB = 222 AD BD AB +=. 2分 AD BD 又平面PAD 平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BD ?平面ABCD ， BD 平面PAD . 4分 2解：过P 作PO AD 交AD 于O . 又平面PAD 平面ABCD ， PO 平面ABCD 6分 PAD 是边长为2的等边三角形， PO =由1知，AD BD ，在Rt ABD 中， 斜边AB 边上的高为5AD BD h AB ?= =. 8分 AB DC ， 112 225ACD S CD h =?=. 10分 11233A PCD P ACD ACD V V S PO -=?=?=

9、. 14分 立体几何平行与垂直有答案 立体几何平行与垂直有答案 例4、如图，四棱锥P ABCD 中，PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为PC 的中 点，.3 1 CB CG = I 求证：PC BC ； II 求三棱锥C DEG 的体积； III AD 边上能否存在一点M ，使得/PA 平面MEG 。若存在，求AM 的长；否则，讲明理由。 I 证实：PD 平面ABCD ，BC PD 又ABCD 是正方形，BC CD ， PDICE=D ， BC 平面PCD 又PC ?面PBC ，PC BC II 解：BC 平面PCD ，GC 是三棱锥G DEC 的高。 E 是P

10、C 的中点，1)222 1 (212121=?=?PDC EDC EDC S S S 9 2 1323131=?=?=?-DEC DEC G DEG C S GC V V III 连结AC ，取A C 中点O ，连结EO 、GO ，延长GO 交AD 于点M ，则PA/平面MEG 。 下面证实之 E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，EO/平面PA ， 又MEG PA MEG EO 平面平面?, ，PA/平面MEG 在正方形ABCD 中，O 是AC 中点，OCG ?OAM ? ,32=CG AM 所求AM 的长为.32 立体几何平行与垂直有答案 立体几何平行与垂直有答案 【变式2】直棱柱ABC

11、D -A 1B 1C 1D 1底面ABCD 是直角梯形，BAD ADC 90，AB 2AD 2CD 2. ()求证：AC 平面BB 1C 1C ；() A 1B 1上能否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证实你的结论. ()直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1平面ABCD ，BB 1AC . 又BAD =ADC =90，AB =2AD =2CD =2， AC =2，CAB =45，BC =2，BC AC . 又BB 1BC =B ，BB 1，BC ?平面BB 1C 1C ，AC 平面BB 1C 1C . ()存在点P ，P 为A 1B 1的中点。

12、证实：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1AB ，且PB 1=2 1 AB . 又DC AB ，DC =2 1 AB ，DC PB 1，且DC =PB 1， DCB 1P 为平行四边形，进而CB 1DP .又CB 1?ACB 1,DP ?面ACB 1，DP 面ACB 1. 同理，DP 面BCB 1. 立体几何平行与垂直有答案 立体几何平行与垂直有答案 三、三视图与折叠问题 例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。 若F 为PD 的中点，求证：AF 面PCD ； 1 证实：BD 面PEC ； 2 求三棱锥E PBC -的体积。 1由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正

13、方形，PA 面ABCD ， PA EB ，2 4.PA EB = ,PA AD =F 为PD 中点，.PD AF 又,CD DA CD PA ,CD AF AF 面PCD 。 2取PC 的中点M ，AC 与BD 的交点为N ，1 ,2 MN PA = MN PA ， ,MN EB =MN EB ，故BEMN 为平行四边形， EM BN ，BD 面PEC 。 31116 ()323 E PBC C PBE V V BE AB BC -= A B E P D C 正视图 侧视图 俯视图 立体几何平行与垂直有答案 立体几何平行与垂直有答案 【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下列图所示，E 为PD

14、 中点.I 求证：PB/平面AEC ；II 求四棱锥C PAB -的体积； 若F 为侧棱PA 上一点，且 =FA PF ，则为何值时，PA 平面BDF. 解：由三视图得，四棱锥底面ABCD 为菱形, 棱锥的高为3,设AC BD O ?=,则PO 即是棱锥 的高,底面边长是2，连接OE ，,E O 分别 是,DP DB 的中点，OE BP ， ,OE AEC BP AEC ?面面PB AEC 面 2 1111(232232V V V ? =?=? 三棱锥C-PAB 三棱锥P-ABC 四棱锥P-ABCD 3过O 作,3,2 OF PA POA PO AO PA AF = 在Rt 中-10分 :3,

15、 ,PF FA OF PA PO BD AC BD PO AC O BD PAC =?=时即=3时面-12分 ,BD PA OF PA BD OF O PA BDF ?=由且面-14分 B 立体几何平行与垂直有答案 立体几何平行与垂直有答案 【变式4】如图1所示，正ABC ?的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点。现将ABC ?沿CD 翻折，使翻折后平面ACD 平面BCD 如图2 1试判定翻折后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并讲明理由； 2求三棱锥C-DEF 的体积。 解：1判定：AB/平面DEF.2分 证实： 因在ABC ?中，E ，F 分别是 AC ，BC 的中点，有 EF/AB.5分 又因 AB ?平面DEF ， EF ?平面DEF.6分 所以 AB/平面DE