湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校2021-2022学年数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，且，则a=（ ）A1B2或1C2D22如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是( )A2B3C4D53是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角4将函数的图像

2、上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（ ）ABCD5己知三边，的长都是整数，如果，则符合条件的三角形的个数是（ ）ABCD6二项式的展开式中的系数是（ ）ABCD7已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）ABCD8已知平面向量，则（ ）AB3C D59已知点是的外接圆圆心, .若存在非零实数使得且,则的值为 （ ）ABCD10若复数满足为虚数单位），则（）ABCD11某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大的是AB3CD12已知为虚数单位，则复数

3、对应复平面上的点在第（ ）象限A一B二C三D四二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在的展开式中，项的系数为_.（用数字作答）14已知复数集中实系数一元二次方程有虚根，则的取值范围是_.15抛物线的焦点为F，点是抛物线C上的一点满足，则抛物线C的方程为_.16定积分的值为_ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于、两点（1）若的倾斜角为，是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程；（2），若的斜率存在，且，求的斜率；（3）证明：点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要非充

4、分条件18（12分）已知函数在区间上的最大值为3，最小值为-17，求的值19（12分）已知10件不同产品中有3件是次品，现对它们一一取出（不放回）进行检测，直至取出所有次品为止（1）若恰在第5次取到第一件次品，第10次才取到最后一件次品，则这样的不同测试方法数有多少？（2）若恰在第6次取到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？20（12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图记成绩不低于90

5、分者为“成绩优秀”（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；（2）由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关0.4000.2500.1500.1000.0500.0250.7081.3232.0722.7063.8415.024参考公式： 21（12分）在平面直角坐标系中，直线的的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线经过点曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）过点作直线的垂线交曲线于两点(

6、在轴上方)，求的值.22（10分）如图，已知海岛与海岸公路的距离为，间的距离为，从到，需先乘船至海岸公路上的登陆点，船速为，再乘汽车至，车速为，设.（1）用表示从海岛到所用的时间，并指明的取值范围； （2）登陆点应选在何处，能使从到所用的时间最少？参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据，可得，即可求解，得到答案【详解】由题意，且，则，解得或，故选B【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标表示及应用，其中解答中熟记共线向量的概念以及坐标表示是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题2、C【解析】把三视图

7、还原为原几何体为一个四棱锥，底面是边长为3的正方形，侧棱底面ABCD，四个侧面均为直角三角形，则此几何体各面中直角三角形的个数是4个，选C. 3、B【解析】利用象限角的定义直接求解，即可得到答案【详解】由题意，所以表示第二象限角，故选B【点睛】本题主要考查了角所在象限的判断，考查象限角的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题4、B【解析】函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得，再将所得图像向左平移个单位，得，选B.5、D【解析】根据题意，可取的值为1、2、3、25，由三角形的三边关系，有，对分情况讨论，分析可得可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数，

8、由分类计数原理，结合等差数列的前项和公式，计算可得答案【详解】解：根据题意，可取的值为1、2、3、25，根据三角形的三边关系，有，当时，有2526，则25，有1种情况，当时，有2527，则25、26，有2种情况，当时，有2528，则25、26、27，有3种情况，当时，有2529，则25、26、27、28，有4种情况，当时，有有2550，则25、26、27、2849，有25种情况，则符合条件的三角形共有123425；故选：D【点睛】本题考查分类计数原理的运用，涉及三角形三边的关系，关键是发现变化时，符合条件的三角形个数的变化规律6、B【解析】利用二项展开式的通项公式，令的幂指数等于，即可求出的系

9、数.【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为.故选：B【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.7、C【解析】作，垂足为点D利用点在抛物线上、， 结合抛物线的定义列方程求解即可.【详解】作，垂足为点D由题意得点在抛物线上，则得由抛物线的性质，可知，因为，所以所以，解得：由，解得：（舍去）或故抛物线C的方程是故选C【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题.8、A【解析】先由的坐标，得到的坐标，进而可得向量的模.【详解】因为，所以，因此.故选A【点睛】本题主要考查向量的模，熟记向量的坐标表示即可，属于常考题型.9、D【解析】根据且判断

10、出与线段中点三点共线，由此判断出三角形的形状，进而求得的值.【详解】由于，由于，所以与线段中点三点共线，根据圆的几何性质可知直线垂直平分，于是是以为底边的等腰三角形，于是，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量中三点共线的向量表示，考查圆的几何性质、等腰三角形的几何性质，属于中档题.10、A【解析】根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.【详解】由题意得： 本题正确选项：【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.11、C【解析】作出三棱锥PABC的直观图如图所示，过A作ADBC，垂足为D，连结PD.由三视图可知PA平面ABC，BD=AD=1,

11、CD=PA=2,.，.三棱锥PABC的四个面中，侧面PBC的面积最大.故选C.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.12、D【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.详解：由题意可得：，则复数对应的点为，该点位于第四象限，即复数对应复平面上的点在第四象限.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每

12、小题5分，共20分。13、【解析】由，然后利用二项式定理得出含项为，然后利用二项式展开式通项求出中项的系数，与相乘即可得出结果.【详解】，展开式中含的项为，中含项为，因此，的展开式中项的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式的应用，在处理含三项的问题时，可将其转化为两项的和来处理，考查运算求解能力，属于中等题.14、【解析】复数集中实系数一元二次方程有虚根，可得，解得利用求根公式可得，再利用模的计算公式即可得出【详解】复数集中实系数一元二次方程有虚根，则，解得因为，则，所以的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查不等式的解法、实系数一元二次方程与判别式的关系、模的计算公式，考查推理能力与

13、计算能力15、【解析】由在抛物线C上,结合抛物线的定义,即可求抛物线C的方程.【详解】当时, ,解得,则抛物线C的方程为: ;当时, ,解得,则抛物线C的方程为: ;故答案为: .【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线的标准方程,难度较易.16、【解析】 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）见解析.【解析】（1）将代入双曲线的方程，得出，由是等腰直角三角形，可得出，再将代入可得出的值，由此可得出双曲线的标准方程；（2）先求出双曲线的标准方程，并设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段的中点的坐标，由得出，

14、转化为，利用这两条直线斜率之积为，求出实数的值，可得出直线的斜率；（3）设点，双曲线的两条渐近线方程为，利用点到直线的距离公式、双曲线的方程以及必要不充分条件的定义，即可得证.【详解】（1）直线的倾斜角为，可得直线，代入双曲线方程可得，是等腰直角三角形可得，即有，解得，则双曲线的方程为；（2）由，可得，直线的斜率存在，设为，设直线方程为，可得，由，联立双曲线方程，可得，可得，线段的中点为，由，可得，解得，满足，故直线的斜率为；（3）证明：设，双曲线的两条渐近线为，可得到渐近线的距离的乘积为，即为，可得，可得在双曲线或上，即有点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要

15、非充分条件【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，同时也考查为韦达定理和中点坐标公式、两直线垂直的条件、点到直线的距离公式以及必要不充分条件的判断，解题时要结合相应条件进行转化，考查化归与转化、以及方程思想的应用，属于难题.18、k=1，B=17或k=1，B=3【解析】试题分析：由题设知k1且f（x）=3kx（x-2），1x2时，x（x-2）1；x1或x2时，x（x-2）1；x=1和x=2时，f（x）=1由题设知-2x2，f（-2）=-21k+B，f（1）=B，f（2）=-4k+B由此能够求出k、B的值试题解析：由题设知k1且f（x）=3kx（x2），1x2时，x（x2

16、）1；x1或x2时，x（x2）1；x=1和x=2时，f（x）=1由题设知2x2，f（2）=21k+B，f（1）=B，f（2）=4k+Bk1时，2x1时，f（x）1；1x2时，f（x）1，f（x）在2，1）上递减，在（1，2）上递增，x=1为最小值点；f（2）f（2）f（x）的最大值是f（2）即，解得k=-1，B=-17k1时，解得k=1，B=3综上，k=1，B=17或k=1，B=3考点：利用导数求闭区间上函数的最值19、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，分析可得前4次取出的都是正品，第5次和第10次中取出2件次品，剩余的4个位置任意排列，由排列数公式计算可得答案；（2）根据题意，分析可得

17、若第6次为最后一件次品，另2件在前5次中出现，前5次中有3件正品，由排列、组合数公式计算可得答案【详解】解：（1）根据题意，若恰在第5次取到第一件次品，第10次才取到最后一件次品，则前4次取出的都是正品，第5次和第10次中取出2件次品，剩余的4个位置任意排列，则有种不同测试方法，（2）若第6次为最后一件次品，另2件在前5次中出现，前5次中有3件正品，则不同的测试方法有种【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素、位置，属于基础题20、（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）不低于86的成绩有6个，可用列举法列出任取2个的所有事件，计算出概率（2）由茎叶图中数据得出列联表中数据

18、，再根据计算公式计算出得知结论详解： (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是：(86,91), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (91,96)，(91,97), (91,99), (91,99), (96,97), (96,99), (96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15种结果,符合条件的事件数(91,96)，(91,97)，(91,99)，(91,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有13种结果， 根据等可能事件的概率得到P(2)由已知数据得甲班乙班总计成绩优秀156成绩不优秀191514总计232343根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值k1.117，由于11172736，所以在犯错误的概率不超过31的前提下认为