2022届北京第五中学高二数学第二学期期末考试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，建立下图的空间直角坐标系，已知、.若为平行四边形，则点到平面的距离为ABCD2的展开式中的系数是（ ）ABCD3定义在上的函数的导函数在的图

2、象如图所示，则函数在的极大值点个数为（ ）A1B2C3D44设，下列不等式中正确的是（ ） A和B和C和D和5已知函数，满足，且函数无零点，则（ ）A方程有解B方程有解C不等式有解D不等式有解6已知命题p：函数的值域为R；命题q：函数是R上的减函数若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（ ）ABCD或7已知双曲线的离心率为,过其右焦点作斜率为的直线，交双曲线的两条渐近线于两点（点在轴上方），则（ ）ABCD8从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（ ）A24对B30对C48对D60对9不等式x-5+A-5,7B-,+C-,-57,+10已知抛物线上一动点

3、到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为ABCD11某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从人中抽取人参加某种测试，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为，抽到的人中，编号落在区间的人做试卷，编号落在的人做试卷，其余的人做试卷，则做试卷的人数为( )ABCD12设A，B，C是三个事件，给出下列四个事件：（）A，B，C中至少有一个发生；（）A，B，C中最多有一个发生；（）A，B，C中至少有两个发生；（）A，B，C最多有两个发生；其中相互为对立事件的是（ ）A和B和C和D和二、填空题：本题共4小题

4、，每小题5分，共20分。13已知点M抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，点A在圆上，则的最小值_14观察等式：，.照此规律，对于一般的角，有等式 .15函数的定义域是_.16已知函数为偶函数，对任意满足，当时，.若函数至少有个零点，则实数的取值范围是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知的展开式中，前三项系数成等差数列.（1）求含项的系数；（2）将二项式的展开式中所项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率18（12分）已知（1）求和的值；（2）求式子的值19（12分）已知函数.（1）若不等式的解集，求实数的值.（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求

5、实数的取值范围.20（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数(1)解不等式；(2)若函数的最小值为，且，求的取值范围21（12分）对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如下表所示：对数学感兴趣对数学不感兴趣合计数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为，求的分布列和数学期望附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82822（10分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数

6、的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.（）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；（）求的分布列及期望参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，结合，利用空间向量夹角余弦公式求出与所求法向量的夹角余弦，进而可得结果.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，为平行四边形， 由得，设为平面的法向量，显然不垂直

7、于平面，故可设，即，所以，又，设与的夹角为，则，到平面的距离为，故选D.【点睛】本题主要考查利用空间向量求点面距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.2、D【解析】试题分析：的系数为故选D考点：二项式定理的应用3、B【解析】由导数与极大值之间的关系求解【详解】函数在极大值点左增右减，即导数在极大值点左正右负，观察导函数图象，在上有两个有两个零点满

8、足故选：B.【点睛】本题考查导数与极值的关系属于基础题4、C【解析】分析：利用绝对值三角不等式等逐一判断.详解：因为ab0,所以a,b同号.对于，由绝对值三角不等式得，所以是正确的；对于，当a,b同号时，所以是错误的；对于，假设a=3,b=2,所以是错误的；对于，由绝对值三角不等式得，所以是正确的.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式，意在考查学生对该知道掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这样的题目，方法要灵活，有的可以举反例，有的可以直接证明判断.5、C【解析】首先判断开口方向向上，得到恒成立，依次判断每个选项得到答案.【详解】函数无零点，即恒成立A. 方程有解.设这与无零

9、点矛盾，错误B. 方程有解.恒成立 ，错误C. 不等式有解.恒成立 ，正确D. 不等式有解.即，由题意：恒成立 ，错误答案选C【点睛】本题考查了函数恒成立问题，零点问题，函数与方程关系，综合性强，技巧高深，意在考查学生解决问题的能力.6、C【解析】分别求命题为真命题时的范围，命题为真命题时的范围；根据或为真命题，且为假命题，得到命题，中有一个真命题，一个假命题，分命题为真命题且命题为假命题和命题为真命题且命题为假命题两类求出的范围【详解】解：命题为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题为真时，解得若或为真命题，且为假命题，故和中只有一个是真命题，一个是假命题若

10、为真，为假时，无解；若为假，为真时，解得；综上可得，故选：【点睛】本题考查根据复合命题的真假得到构成其简单命题的真假情况，属于中档题7、B【解析】由双曲线的离心率可得ab，求得双曲线的渐近线方程，设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y2（xc），联立渐近线方程，求得B，C的坐标，再由向量共线定理，可得所求比值【详解】由双曲线的离心率为，可得ca，即有ab，双曲线的渐近线方程为yx，设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y2（xc），由yx和y2（xc），可得B（2c，2c），由yx和y2（xc）可得C（，），设，即有02c（0），解得1，即则1故选：B【点

11、睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题8、C【解析】试题分析：在正方体中，与上平面中一条对角线成的直线有，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有对直线，去掉重复，则有对.故选C.考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角.9、B【解析】利用绝对值三角不等式，得到x-5+x+3【详解】x-5x-5+x+3故答案选B【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.10、D【解析】由抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点M（0，4）的距离之和的

12、最小值，也即为最小，当三点共线时取最小值所以，解得，由内切圆的面积公式，解得故选D11、B【解析】，由题意可得抽到的号码构成以为首项，以为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为，落入区间的人做问卷，由，即，解得，再由为正整数可得，做问卷的人数为，故选B.12、B【解析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解【详解】解：，是三个事件，给出下列四个事件：（），中至少有一个发生；（），中最多有一个发生；（），中至少有两个发生（），最多有两个发生；在中，和能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件；在中，和既不能同时发生，也不能同时不发生，故中的两个事件相互为对立事件；在中，和能同时发

13、生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件；在中，和能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件故选：【点睛】本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】由题得抛物线的准线方程为，过点作于，根据抛物线的定义将问题转化为的最小值，根据点在圆上，判断出当三点共线时，有最小值，进而求得答案.【详解】由题得抛物线的准线方程为，过点作于，又，所以，因为点在圆上，且，半径为，故当三点共线时，所以的最小值为3.故答案为：3【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程与定义，与

14、圆有关的最值问题，考查了学生的转化与化归的思想.14、【解析】试题分析：，所以.考点：归纳推理.15、【解析】对数函数的定义域满足真数要大于零【详解】由，解得，故定义域为.【点睛】本题考查了对数的定义域，只需满足真数大于零即可，然后解不等式，较为简单16、【解析】根据偶函数性质及解析式满足的条件，可知的对称轴和周期，并由时的解析式，画出函数图像；根据导数的几何意义，求得时的解析式，即可求得的临界值，进而确定的取值范围.【详解】函数至少有个零点，由可得函数为偶函数，对任意满足，则函数图像关于对称，函数为周期的周期函数，当时，则的函数图像如下图所示：由图像可知，根据函数关于轴对称可知，若在时至少有

15、两个零点，则满足至少有个零点，即在时至少有两个交点；当与相切时，满足有两个交点；则，设切点为，则，解方程可得，由导数的几何意义可知，所以满足条件的的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数零点的应用，方程与函数的综合应用，根据导数求函数的交点情况，数形结合法求参数的取值范围，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）7；（2）.【解析】（1）利用二项式定理求出前三项的系数的表达式，利用这三个系数成等差数列并结合组合数公式求出的值，再利用二项式展开式通项可求出项的系数；（2）利用二项展开式通项求出展开式中有理项的项数为，总共是项，利用排列思想得出公

16、共有种排法，然后利用插空法求出有理项不相邻的排法种数，最后利用古典概型概率公式可计算出所求事件的概率【详解】（1）前三项系数、成等差数列，即或 (舍去） 展开式中通项公式T，1 令，得， 含x2项的系数为 ；（2）当为整数时， 展开式共有9项，共有种排法 其中有理项有3项，有理项互不相邻有种排法， 有理项互不相邻的概率为【点睛】本题考查二项式定理指定项的系数，考查排列组合以及古典概型的概率计算，在处理排列组合的问题中，要根据问题类型选择合适的方法求解，同时注意合理使用分类计数原理和分步计数原理，考查逻辑推理与计算能力，属于中等题18、（1），（2）【解析】（1）在二项展开式的通项公式中，令分别

17、等于0和3，即可求得和的值（2）在所给的等式中，分别令，可得2个式子，再根据这2个式子求得的值【详解】解: （1）由二项式定理，得的展开式的通项是， 令，3，得， ， （2），令，得 令，得 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便地求出答案，属于中档题19、（1） （2）【解析】（1）由根据绝对值不等式的解法列不等式组，结合不等式的解集，求得的值.（2）利用绝对值不等式，证得的最小值为4，由此求得的取值范围.【详解】（1）函数，故不等式，即，即，求得.再根据不等式的解集为.可得，实数.（2

18、）在（1）的条件下，存在实数使成立，即，由于，的最小值为2，故实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查根据绝对值不等式的解集求参数，考查利用绝对值不等式求解存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20、（1）；（2）【解析】分析：(1)由知，分类讨论即可求解不等式的解集；(2)由条件，根据绝对值的三角不等式，求得其最小值，即，再利用均值不等式，求得的最小值，进而得到的取值范围详解：(1)由知，解集为（过程略）5分(2)由条件得，当且仅当时，其最小值，即 又，所以，此时，故的取值范围为10分点睛：本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及均值不等式的应用求最值，其中熟记含绝对值不等式的解法以及绝对值三角不等式、均值不等式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力21、（1）有99.9%的把握认为有关系，理由详见解析；（2）分布列详见解析，数学期望为2.72【解析】根据表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列和数学期望值【详解】（1）因为，所以有99.9%的把握认为有关系（2）由题意知，的取值为0，1，2，3，1因为，所以，分布列为01231所以，【点睛】本题考查了独立性检验