高中数学考前归纳总结导数中的图像关系问题

1、导数中的图像关系问题一、常见基此题型：（1）已知图像交点个数,求参数的取值范畴,例 1. 已知 x 3 是函数 f x 16ln1 x x 2 10 x 的一个极值点 1 求函数 f x 的单调区间； 2 如直线 y b 与函数 y f x 的图像有三个交点,求 b 的取值范畴解： 1 f x 16ln1 x x 2 10 x,x 1, ,2f 2 x 4 x 3 . 1 x当 x 1,1 3 , 时,f 0；当 x1,3 时,f 0 . f x 的单调增区间是 1,1 ,3 , 8 ；f x 的单调减区间是 1,3 ,（2）由 1 知 f x 在 1,1 单调增加,在 1,3 单调减小,在3

2、 , 上单调增加,且当 x1,或 x3 时, f x 0,f x的极大值为 f 1 16ln2 9,微小值为 f 3 32ln2 21. f 16 16 210 1616ln2 9f 1 , fe21 3211 21f 3 ,在 f x 的三个单调区间 1,1 ,1,3 ,3 , ,直线 yb 与 yf x 的图像各有一个交点,即 f 3 bf 1 b 的取值范畴为 32ln2 21,16ln2 9. 例 2. 已知函数fx x2axalnx1 aR y5ln2无公共点 . （1）当a1时,求函数fx的最值；（2）说明是否存在实数aa1 使yfx的图象与8解：（ 1）函数fxx2axalnx1

3、 aR 的定义域是（ 1,+）当 a=1 时,fx2x1x112x x13,2x所以fx 在 ,13 2为减函数,在3,为增函数,2所以函数f x 的最小值为f33ln2. 24（2）a1时,由（ 1）知f x 在（ 1,+）的最小值为fa22a21alna,42令g afa22a21alna在 1,+）上单调递减,42所以gamaxg 13ln2,就g amax5ln210,488因此存在实数aa1 使fx的最小值大于5ln2,8故存在实数a a1使 y=fx的图象与y=5ln2无公共点 . 8 2已知图像的位置关系求参数的取值范畴例 3. 已 知 二 次 函 数h x ax2bxc c0,

4、 其 导 函 数yh x 的图象如下列图,f x lnxh x 如函数y2xlnx , x1,4的图象总在函数yf x 的图象的上方,求c 的取值范畴解：由题意可知,2xln xx23xcln x 在 x1,4上恒成立,即当 x 1,4 时, cx 25x2ln x 恒成立设 g x x 25x 2ln x, x1,4,就 cg x max. 易知 g x 2x52x2x 25x2x =2 x 1x x 2 . 1令 g x 0 得, x2或 x2. 当 x 1,2 时,g 0,函数 g x 单调递减；当 x 2,4 时,g 0,函数 g x 单调递增而 g1 1 25 12ln 1 4,g4

5、 4 25 4 2ln 4 44ln 2 ,明显 g144ln 2. c 的取值范畴为 44ln 2 , 1已知函数 f x 1 x 2ln x 1 . ,求证：在区间 1, 上,函数 f x 的图象在函数22 3g x x 的图象的下方 .3证明：令 F x f x g x 1x 2ln x 1 2x 32 32 3 21 2 x 1 2 x 1 x 1 x x 就 F x 2 xx x x当 x 1 时 F 0,函数 F x 在区间 1, 上为减函数F x F111203 x 的图象的下方；a 的23即在 1, 上,f g x 在区间 1, 上,函数f x 的图象在函数g x 232. 已

6、知函数fxlnxaaRe2上有公共点,求实数x（ 1）求fx的极值；（ 2）如函数fx 的图象与函数gx=1 的图象在区间0 ,取值范畴；解：（ 1）f x 的定义域为 0 , , f x 1 ln2 x a x令 f x 0 得 x e 1 a当 x 0 , e 1 a 时 , f x 0 , f x 是增函数当 x e 1 a , 时 , f x ,0 f x 是减函数f x 在 x e 1 a 处取得极大值 , f x 极大值 f e 1 a e a 11 a 2（2）（ i ）当 e e 时,a 1 时,由（ 1）知 f x 在 ,0 e 1 a 上是增函数,在 e 1 a, e 2

7、上是减函数1 a a 1f x max f e e又当 x e a 时 , f x 0 , 当 x ,0 e a 时 f x 0 . 当 x e a , e 2 时,f x 0 . e a 1所以 f x 与图象 g x 1 的图象在 0 , e 2 上有公共点,等价于 e a 11解得 a ,1 又 a ,1 所以 a 1（ ii）当 e 1 ae 2 即 a 1 时,f x 在 ,0 e 2 上是增函数,f x 在 0 , e 2 上的最大值为 f e 2 22 ae所以原问题等价于 2e 2 a ,1 解得 a e 2 2 .又 a 1,无解3设 f x x 22ln x h x , x 2x a ,如函数 k x f x h x 在 1,3 上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范畴解、函数 k x f x h x 在1,3 方程 x2ln xa,在 1,3上恰有两个不同的零点等价于 上恰有两个相异实根令 g x x2ln ,就 g x 12 x. 当 x1,2时, g x 0； x 0.