高中数学示范教案新人教A版必修3

1、第 3 课时 指数与指数幂的运算 3 导入新课思路 1.同学们 , 既然我们把指数从正整数推广到整数 , 又从整数推广到正分数到负分数 , 这样指数就推广到有理数 , 那么它是否也和数的推广一样 , 究竟有没有无理数指数幂呢 .回忆数的扩充过程, 自然数到整数 , 整数到分数 有理数 , 有理数到实数 . 并且知道 , 在有理数到实数的扩充过程中 , 增加的数是实数 . 对无理数指数幂 , 也是这样扩充而来 . 既然如此 , 我们这节课的主要内容是 : 老师板书本堂课的课题 指数与指数幂的运算 3 之无理数指数幂 . 思路 2.同学们 , 在中学我们学习了函数的学问 , 对函数有了一个初步的明

2、白 , 到了高中 , 我们又对函数的概念进行了进一步的学习 , 有了更深的懂得 , 我们仅仅学了几种简洁的函数 , 如一次函数、二次函数、 正比例函数、反比例函数、三角函数等 , 这些远远不能满意我们的需要 , 随着科学的进展 , 社会的进步 , 我们仍要学习很多函数 , 其中就有指数函数 , 为了学习指数函数的学问 , 我们必需学习实数指数幂的运算性质, 为此 , 我们必需把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂 , 因此我们本节课学习: 指数与指数幂的运算3 之无理数指数幂, 老师板书本堂课的课题 . 推动新课新知探究提出问题我们知道 2 =1.414 213 56 , 那么 1.41,1.

3、414,1.414 2,1.414 21, , 是 2 的什么近似值？而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22, , 是 2 的什么近似值？多媒体显示以下图表 : 同学们从上面的两个表中 , 能发觉什么样的规律 . 2 的过剩近似值 5 5 2 的近似值1.5 11.18033989 1.42 9.82935328 1.415 9.750851808 1.4143 9.73987262 1.41422 9.738618643 1.414214 9.738524602 1.4142136 9.738518332 1.41421357 9.738517862 1.41421356

4、3 9.73817752 5 2 的近似值 2 的不足近似值9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 .如 51.414 , 能作出判9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 213 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 你能给上述思想起个名字吗. 2 , 依据你学过的学问一个正数的无理数次幂究竟是一个什么性质的数呢断并合理

5、地说明吗. 借助上面的结论你能说出一般性的结论吗. 活动：老师引导 , 同学回忆 , 老师提问 , 同学回答 , 积极沟通 , 准时评判同学 , 同学有困惑时加以说明 , 可用多媒体显示帮助内容 : 问题从近似值的分类来考虑 , 一方面从大于 2 的方向 , 另一方面从小于 2 的方向 . 问题对图表的观看一方面从上往下看 , 再一方面从左向右看 , 留意其关联 . 问题上述方法实际上是无限接近 , 最终是靠近 . 问题对问题赐予大胆推测 , 从数轴的观点加以说明 . 问题在的基础上 , 推广到一般的情形 , 即由特殊到一般 . 争论结果： 1.41,1.414,1.414 2,1.414 2

6、1, 这些数都小于 2 , 称 2 的不足近似值 , 而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22, , 这些数都大于 2 , 称 2 的过剩近似值 . 第一个表 : 从大于 2 的方向靠近 2 时,5 2 就从 5 1.5,5 1.42,5 1.415,5 1.4143 ,5 1.41422, , 即大于 5 2的方向靠近 5 2 . 其次个表 : 从小于 2 的方向靠近 2 时,5 2 就从 5 1.4 ,5 1.4 1,5 1.4 14,5 1.4 14 2,5 1.414 21, , 即小于 5 2 的方向靠近 5 2 . 从另一角度来看这个问题 , 在数轴上近似地表示这些

7、点 , 数轴上的数字说明一方面 5 2 从5 1.4 ,5 1.41,5 1.414,5 1.414 2,5 1.414 21, , 即小于 5 2 的方向接近 5 2 , 而另一方面 5 2 从5 1.5 ,5 1.42,5 1.415 ,5 1.4143 ,5 1.41422, , 即大于 5 2 的方向接近 5 2 , 可以说从两个方向无限地接近5 2 , 即靠近 5 2 , 所以 5 2 是一串有理数指数幂 5 1.4 ,5 1.4 1,5 1.414,5 1.4 14 2,5 1.414 21, , 和另一串有理数指数幂 5 1.5,5 1.42,5 1.415 ,5 1.4143,

8、5 1.41422, , 按上述变化规律变化的结果 , 事实上表示这些数的点从两个方向向表示 5 2 的点靠近 , 但这个点肯定在数轴上 , 由此我们可得到的结论 是 5 2 一 定 是 一 个 实 数 , 即 5 1.45 1.415 1.4145 1.414 25 1.414 21 5 2 5 1.414225 1.4143 5 1.4155 1.42 0, 是无理数）是一个确定的实数 . 也就是说无理数可以作为指数 , 并且它的结果是一个实数 , 这样指数概念又一次得到推广 , 在数的扩充过程中 , 我们知道有理数和无理数统称为实数 . 我们规定了无理数指数幂的意义 , 知道它是一个确定

9、的实数 , 结合前面的有理数指数幂 , 那么 , 指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂 . 提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时 , 必需规定底数是正数 . （2）无理数指数幂的运算法就是怎样的 .是否与有理数指数幂的运算法就相通呢 . （3）你能给出实数指数幂的运算法就吗 . 活动： 老师组织同学互助合作 , 沟通探讨 , 引导他们用反例说明问题 , 留意类比 , 归纳 . 对问题（ 1）回忆我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定 , 举例说明 . 对问题（ 2）结合有理数指数幂的运算法就 , 既然无理数指数幂 a （a0, 是无理数）是一个确定的实数 , 那么无理数指数幂的运算

10、法就应当与有理数指数幂的运算法就类似 , 并且相通. 对问题（ 3）有了有理数指数幂的运算法就和无理数指数幂的运算法就 , 实数的运算法就自然就得到了 . 争论结果：（ 1）底数大于零的必要性 , 如 a=-1, 那么 a 是+1 仍是 -1 就无法确定了 , 这样就造成纷乱 , 规定了底数是正数后 , 无理数指数幂 a 是一个确定的实数 , 就不会再造成纷乱 . （2）由于无理数指数幂是一个确定的实数 , 所以能进行指数的运算 , 也能进行幂的运算 , 有理数指数幂的运算性质 , 同样也适用于无理数指数幂 . 类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法就 : a r a s=a

11、r+sa0,r,s 都是无理数 . a r s=a rsa0,r,s 都是无理数 . a b r=a r b r a0,b0,r 是无理数 . （3）指数幂扩充到实数后 , 指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂 . 实数指数幂的运算性质 : 对任意的实数 r,s, 均有下面的运算性质 : a r a s=a r+sa0,r,s R. a r s=a rsa0,r,s R. a b r=a r b r a0,b0,r R. 应用示例思路 1 例 1 利用函数运算器运算 . （精确到 0.001 ）3（1）0.3 2.1 ; （ 2）3.14-3; （3）3.1 4 ; （4）3 3. 活动：

12、老师教会同学利用函数运算器运算 , 熟识运算器的各键的功能 , 正确输入各类数 , 算出数值 , 对于（ 1）, 可先按底数 0.3, 再按 键, 再按幂指数 2.1, 最终按 , 即可求得它的值；对于（ 2）, 先按底数 3.14, 再按 键, 再按负号 键, 再按 3, 最终按 即可 ; 对于 3, 先按底数 3.1, 再按 键, 再按 3 4, 最终按 即可 ; 对于（ 4）, 这种无理指数幂 , 可先按底数 3, 其次按 键, 再按 键, 再按 3, 最终按 键. 有时也可按 或 键 , 使用键上面的功能去运算 . 同学可以相互沟通 , 挖掘运算器的用途 . 答案：（1）0.3 2.1

13、 0.080; （ 2）3.14-30.032;3（3）3.1 42.336; （ 4）3 3 6.705.点评：娴熟把握用运算器运算幂的值的方法与步骤 , 感受现代技术的威力 , 逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值 , 如保留小数点后 n 位 , 只需看第（ n+1）位能否进位即可. 例 2 求值或化简 . 1a4b23ab2a0,b0; a0,b0; . 21 414ab12.0 112a3b323526743642活动：同学观看 , 摸索 , 所谓化简 , 即如能化为常数就化为常数, 如不能化为常数就应使所化式子达到最简 , 对既有分数指数幂又有根式的式子 , 应当把根式统

14、一化为分数指数幂的形式 , 便于运算 , 老师有针对性地提示引导 , 对1 由里向外把根式化成分数指数幂 , 要紧扣分数指数幂的意义和运算性质 , 对2 既有分数指数幂又有根式 , 应当统一起来 , 化为分数指数幂 , 对 3有多重根号的式子 , 应先去根号 , 这里是二次根式 , 被开方数应凑完全平方 , 这样 , 把 5,7,6 拆成 3 2+ 2 2,2 2+ 3 2,2 2+ 2 2, 并对同学作准时的评判 , 留意总结解题的方法和规律. 4212111=a114=3b4. 解： 1a4b23ab2=a2b2a3b32=a-2ba 6b36b36a11点评： 根式的运算经常化成幂的运算

15、进行, 运算结果如没有特殊要求, 就用根式的形式来表示. 21 414 ab131=1433a3b33=4 a 0b250=4 . 25, 另一4 .223a222b21022a3b.0 12点评：化简这类式子一般有两种方法, 一是第一用负指数幂的定义把负指数化成正指数个方法是采纳分式的基本性质把负指数化成正指数. 3 526743642=32223222 2=3 -2 +2-3 -2+2=0. 点评： 考虑根号里面的数是一个完全平方数1, 千万留意方根的性质的运用. 例 3 已知 x=1 1 5 n2-51,n N *, 求x+x2n的值 . n1活动： 同学摸索 , 观看题目的特点, 从整

16、体上看, 应先化简 , 然后再求值 , 要有预见性 ,5n与15n具有对称性 , 它们的积是常数1, 为我们解题供应了思路, 老师引导同学考虑问题的思路,必要时赐予提示. x2=1 1 5 n4-512=1 5 n 4- 2 50+52 nn=1 5 42+2+52-4 nn=1 5 41+512-1. nn这时应看到1+x2=1+1 1 n4-512=1 5 41+512, 1511-512=151+51n, nnn这样先算出1+x2, 再算出1x2, 带入即可 . 解： 将 x=151-51 代入 1+x2,得 1+x2=1+nnnnnn244所以 x+1x2n=1 1 5 n2-51+1

17、 51nn5n2n4=1 5 21-51+1 5 21+51 1n=5. , 要深刻懂得这种做法. nnnnn=5 n点评： 运用整体思想和完全平方公式是解决此题的关键思路 2 例 1 运算 :16133340. 06255021; , 另外要留意整体的意识,4821252+1 21-1 271; 3-2+343 3311123-2x4y33x2y3 ；11114x2-y2 x4-y4. 活动：同学观看、 摸索 , 根式化成分数指数, 利用幂的运算性质解题老师有针对性的提示引导, 对1 根式的运算经常化成幂的运算进行, 对2 充分利用指数幂的运算法就来进行, 对3 就要依据单项式乘法和幂的运算

18、法就进行, 对4 要利用平方差公式先因式分解 , 并对同学作准时的评判. 解： 16133340.0625502148=25 41+27 81+0.062 51+1-12342=5 221 + 23 231+0.541+1342=5 + 23 +0.5+ 212=5; 21252+1 21-1 2713-2+343 33211=533+2-1-2+73 3-3-33=532+2-2 -1 +731-331333=25+4+7-3=33; 3-2x113x12=- 2 3x11 y12 4y32y34x23y3=6x11. y12=-6x3142334y3=643 x3y; 1 1 1 1 1

19、1 1 14x 2-y 2 x 4-y 4 =x 4 2-y 4 2 x 4-y 4 1 1 1 1 1 1=x4 +y4 x 4-y 4 x 4-y 4 1 1=x4 +y4 . 点评： 在指数运算中 , 肯定要留意运算次序和敏捷运用乘法公式 . 例 2 化简以下各式 : 1x2y2x2y2-1 . 222; 2x3y3x3y32a3+a-3a3-a-3 a4+a-4+1a-a活动： 同学观看式子的特点 , 特殊是指数的特点意分解因式 , 特殊是立方和和立方差公式的应用2 2, 老师引导同学考虑题目的思路 , 这两题要注, 对有困难的同学准时提示 : 对1 考查 x 2 与x3 的关系可知

20、x 2=x 3 3, 立方关系就出来了 , 公式便可运用 , 对2 先利用平方差 , 再利用幂的乘方转化为立方差 , 再分解因式 , 组织同学争论沟通 . 2 2 2 2解： 1 原式 = x2 y2 x2 y2x 3 y 3 x 3 y 32 2 2 2 2 2 2 2= x 3 2x 3 y 3 y 3 2 x 3 2 x 3 y 3 y 3 2 = x 43 xy 23 y 43 x 43 xy 23 y 43= 2 xy 23 2 3 xy; xy2 原式 =a 3 2-a-3 2 a 4+a-4+1a-a-1 2 2 2 2 2 2 4 4 2 1 2= 4 a 4 a 1 = a4

21、 a4 a a1 1 = a a1 =a+a-1 . a a 1 a a a a 1 a a a a点评：留意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用, 由于二项和、 差公式 , 平方差公式一3 1般在使用中一目了然 , 而对立方和立方差公式却一般不易观看到 ,a 2 =a2 3 仍简洁看出 , 对1 1其中夹杂的数字 m可以化为 m a2 a 2 =m,需仔细对待 , 要在做题中不断地提高敏捷运用这些公式的才能 . 知能训练课本 P59习题 2.1A 组 3. 利用投影仪投射以下补充练习: 11. 1111. 化简 :1+2321+2161+281+241+22 的结果是 A.1 1-2 21

22、-1B.1-21-1C.1-21 D.1 1-2 21 32323232分析 : 依据此题的特点, 留意到它的整体性, 特殊是指数的规律性, 我们可以进行适当的变形11=1-21, 所以原式的分子分母同乘以-1. 1-21, 由于 1+2321-2321632依次类推 , 所以12121=121=1 1-2 212 12321112123232答案： A 2. 运算 27 90.5 +0.1-2 +210 272- 30+9-0.5 +490.5 2-4. 1 + 37 =100. 163解： 原式 =25 91+100+27 642-3+4911 = 163 +100+ 59 -3+ 162

23、323. 运算a2a1a2a1a 1.11|a 1.解： 原式 =a112a11 2a11|a此题可以连续向下做, 去掉肯定值 , 作为摸索留作课下练习. 4. 设 a0,x=1 1 a n2-a1, 就 x+1x2n 的值为 _. n分析 : 从整体上看 , 应先化简 , 然后再求值 , 这时应看到解： 1+x2=1+1 1 a n4-a12=1 1 a n4+a12. -a11 1 a n4+a12. nn这样先算出1+x2, 再算出1x2, 将 x=1 1 a n2-a1 代入 1+x2, 得 1+x2=1+1 a 41nnn2=n1所以 x+1x2n=1 a 21-a1+1 a 41+

24、annnn2n=1 a 21-a1+1 a 21+a1 n=a. nnnn答案： a 拓展提升3参照我们说明无理数指数幂的意义的过程 , 请你说明无理数指数幂 2 的意义 . 活动： 老师引导同学回忆无理数指数幂 5 2 的意义的过程 , 利用运算器运算出 3 的近似值 ,取它的过剩近似值和不足近似值 , 依据这些近似值运算 2 3的过剩近似值和不足近似值 , 利3用靠近思想 , “ 逼出”2 的意义 , 同学合作沟通 , 在投影仪上展现自己的探究结果 . 解： 3=1.73205080 , 取它的过剩近似值和不足近似值如下表 . 3 的过剩近似值 2 3的过剩近似值 3 的不足近似值 2 3的不足近似值1.8 3.482202253 1.7 3.249009585 1.74 3.340351678 1.73 3.317278183 1.733 3.324183446 1.731 3.319578342 1.7321 3.32211036 1.7319 3.321649849 1.73206 3.3220