高中数学探索延伸与应用问题研究

1、专题五：探究、延长与应用问题争论【题型导引】题型一： 与三角形有关的探究、延长与应用, 本类型涉及到三角形之间的变换,从特殊实例到一般的转化,从三角形探究延长到四边形的变化,推导相像的结论争论,或者从特殊三角形的争论推广到一般三角形,得到相关结论,并利用得到的结论解决新问题；题型二：四边形背景下借助变换转化为其它四边形,得到相关结论,借助特殊四边形的性质得到某结论,并进行推广,从而找到更好图形中存在的类型性质,并进行实际应用；【典例解析】类型一：与三角形有关的探究、延长与应用例题 1：（2022.湖北武汉 .3 分）问题背景：如图1,将 ABC 绕点 A 逆时针旋转60得到 ADE ,DE 与

2、 BC交于点 P,可推出结论：PA PCPE问题解决： 如图 2,在 MNG 中,MN 6,M75,MG 4 2 点 O 是 MNG 内一点,就点 O 到 MNG三个顶点的距离和的最小值是2 29图 1图 2 【解答】（1）证明：如图 1,在 BC 上截取 BGPD,在 ABG 和 ADP 中, ABG ADP （SAS）,AGAP, BAG DAP, GAP BAD 60, AGP 是等边三角形, AGC60 APG , APE60, EPC60,连接 EC,延长 BC 到 F,使 CF PA,连接 EF ,将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到 ADE, EAC60, EPC 60,A

3、EAC, ACE 是等边三角形,AEECAC, PAE APE AEP180,ECF ACE ACB180,ACE APE60,AED ACB, PAE ECF,在 APE 和 ECF 中 APE ECF（SAS）,PEPF ,PAPCPE；（2）解：如图2：以 MG 为边作等边三角形MGD ,以 OM 为边作等边OME 连接 ND ,作 DF NM ,交 NM 的延长线于F MGD 和 OME 是等边三角形OEOM ME , DMG OME 60,MG MD, GMO DME 在 GMO 和 DME 中 GMO DME （SAS）,OG DENO GOMO DEOE NO当 D.E.O、M

4、四点共线时, NOGOMO 值最小, NMG 75, GMD 60, NMD 135, DMF 45,MG 4 2 MF DF4,NFMN MF 6410,ND 2 29 ,MO NOGO 最小值为 2 29 ,故答案为 2 29 ,技法归纳： 解答探究、 延长与应用类题目时,解答好第 1问是基础, 往往前面第 1问中的方法思路为第2问的解决供应解题方向；解答后续的“ 延长 ”时,要特殊留意运用类比、数形结合、分类争论等数学思想；对于应用环节,就是把实际问题的背景,抽象成已探究出结论或规律的几何模型类型二：与四边形有关的探究、延长与应用例题 2：2022菏泽中考 问题情境：在综合与实践课上,老

5、师让同学们以“ 矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线 AC 剪开,得到ABC 和 ACD .并且量得 AB2 cm,AC4 cm. 操作发觉：1将图 1 中的 ACD 以点 A 为旋转中心,按逆时针方向旋转,使 BAC,得到如图 2 所示的 ACD,过点 C 作 AC的平行线,与 DC 的延长线交于点 E,就四边形 ACEC的外形是2创新小组将图 1 中的 ACD 以点 A 为旋转中心,按逆时针方向旋转,使 B,A,D 三点在同一条直线上,得到如图 3 所示的ACD,连接 CC,取 CC的中点 F,连接 AF 并延长至点 G,使 FGAF,连接CG,CG,得到四

6、边形 ACGC,发觉它是正方形,请你证明这个结论实践探究：3缜密小组在创新小组发觉结论的基础上,进行如下操作：将ABC 沿着 BD 方向平移,使点 B 与点 A重合,此时 A 点平移至 A点, AC 与 BC相交于点 H,如图 4 所示,连接 CC,试求 tanCCH 的值【解析】 1解：菱形2证明：点 F 是 CC的中点, CF FC .FGAF,四边形 ACGC是平行四边形在 Rt ABC 和 Rt ACD 中, BAC ACB 90, ACB DAC, BAC DAC 90. 又 B,A, D 三点在同一条直线上,CAC90,四边形 ACGC 是矩形ACAC,四边形 ACGC是正方形3解

7、：在 Rt ABC 和 Rt BCD 中,BCBD4 22223. Rt ABC Rt BCD, DBC BAC90, BHA 90, BCAC. 在 Rt ABC 中, ACBHBC AB,即 4BH2 2 3,BH3, CHBCBH43. 在 Rt ABH 中, AHAB2BH222（3）21,CH 413, tanCCH CH CH43 3,tanCCH 的值为43 3. 技法归纳：探究、延长与应用型问题经常用到以下方法与思想：特殊值：利用特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律；分类争论法：当命题的题设和结论不唯独,难以统一解答时,就需要按可能显

8、现的情形做到既不重复也不遗漏,分门别类加以争论求解,将不同结论综合归纳得出正确结果；类比猜想法：即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法,并加以严密的论证【变式训练】1. （2022.泰安）如图,ABC 中, D 是 AB 上一点, DEAC 于点 E,F 是 AD 的中点, FG BC 于点 G,与 DE 交于点 H,如 FGAF,AG 平分 CAB,连接 GE,CD（1）求证：ECG GHD ；（2）小亮同学经过探究发觉：ADACEC请你帮忙小亮同学证明这一结论（3）如 B30,判定四边形 AEGF 是否为菱形,并说明理由【解答】解：（1） AFFG, FAG

9、FGA ,AG 平分 CAB, CAG FGA, CAG FGA,AC FG,DEAC,FGDE,FGBC,DE BC,ACBC, C DHG 90, CGE GED ,F 是 AD 的中点, FG AE,H 是 ED 的中点,FG 是线段 ED 的垂直平分线,GEGD , GDE GED , CGE GDE, ECG GHD ；（2）证明：过点 G 作 GPAB 于 P,GC GP,而 AGAG, CAG PAG,ACAP,由（ 1）可得 EGDG ,Rt ECGRt GPD,ECPD,ADAPPDACEC；（3）四边形 AEGF 是菱形,证明： B30, ADE30,AEAD,AEAF F

10、G,由（ 1）得 AE FG,四边形 AECF 是平行四边形,四边形 AEGF 是菱形2. （2022,山西, 11 分）综合与实践动手操作：第一步：如图 1,正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 所在直线折叠,绽开铺平 .在沿过点 C 的直线折叠,使点B,点 D 都落在对角线 AC 上.此时,点 B 与点 D 重合,记为点 N,且点 E,点 N,点 F 三点在同始终线上,折痕分别为 CE,CF.如图 2. 其次步：再沿 AC 所在的直线折叠,ACE 与 ACF 重合,得到图 3 第三步：在图 3 的基础上连续折叠,使点 C 与点 F 重合,如图 4,绽开铺平,连接 EF,FG, GM,ME

11、,如图 5,图中的虚线为折痕 . 问题解决：（1）在图 5 中, BEC 的度数是,AE 的值是 BE；动手画出一个菱形 （正方形除外） ,（2）在图 5 中,请判定四边形EMGF 的外形,并说明理由；（3）在不增加字母的条件下,请你以图中5 中的字母表示的点为顶点,并写出这个菱形：. 【解析】解： （1）67.5 2（2）四边形 EMGF 是矩形理由如下：四边形 ABCD 是正方形,B BCD D90由折叠可知：1 2 3 4,CMCG,BEC NEC NFC DFC 67.5 由折叠可知： MH 、GH 分别垂直平分 EC,FC,MC ME,GCGF 5 1 22.5 , 6 422.5

12、, MEF GFE 90 MCG 90,CMCG. CMG 45又 BME 1 545, EMG 180 CMG BME 90四边形 EMGF 是矩形 . （1）菱形 FGCH 或菱形 EMCH （一个即可） ,如下图所示3. 2022 江西中考 在菱形 ABCD 中, ABC60,点 P 是射线 BD 上一动点,以 AP 为边向右侧作等边 APE,点 E 的位置随着点P 的位置变化而变化CE,BP 与 CE 的数量关系是,CE 与 AD 的1如图 1,当点 E 在菱形 ABCD 内部或边上时,连接位置关系是；2当点 E 在菱形 ABCD 外部时, 1中的结论是否仍成立？如成立,请予以证明；如

13、不成立,请说明理由挑选图 2,图 3 中的一种情形予以证明或说理；BE,如 AB23,BE2 19,求四边形ADPE 的面3如图 4,当点 P 在线段 BD 的延长线上时,连接积【解析】： 1BPCE CEAD 提示：如图,连接 AC. 四边形 ABCD 是菱形,ABC60, ABC, ACD 都是等边三角形,又 APE 是等边三角形,ABD CBD30, ABAC. APAE, BAC PAE60, BAP CAE, BAP CAE,BPCE, ABP ACE30. 延长 CE 交 AD 于点 H. CAH 60, CAH ACH 90, AHC 90,即 CEAD. 2结论仍旧成立理由：如

14、图,连接 AC 交 BD 于点 O,设 CE 交 AD 于点 H. 四边形 ABCD 是菱形,ABC60, ABC, ACD 都是等边三角形,ABD CBD30,ABAC. APE 是等边三角形,APAE, BAC PAE60,BAP CAE, BAP CAE,BPCE, ABP ACE30. CAH 60, CAH ACH90, AHC 90,即 CEAD. 也可选用图 3 进行证明,方法同上3如图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 CE 交 AD 于点 H,由2可知 ECAD,CE BP. 在菱形 ABCD 中, AD BC,ECBC. BCAB2 3,BE 2 19,在 Rt BCE

15、 中,EC（219）2（ 23）28,BPCE8. AC 与 BD 是菱形的对角线, ABD1 2ABC30,ACBD,BD2BO2ABcos 30 6,OA1 2AB3,DPBPBD86 2,OPOD DP5. 在 Rt AOP 中, APAO2 OP22 7,72 8 3. S 四边形 ADPES ADP S AEP1 2233 424. （2022.湖北省咸宁市 .10 分）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形懂得：（1）如图 1,点 A,B,C 在 O 上, ABC 的平分线交 O 于点 D,连接 AD,CD求证：四边形 ABCD 是等补四边形；探究：（2）如图 2,在

16、等补四边形 ABCD 中, ABAD,连接 AC,AC 是否平分 BCD ？请说明理由运用：（3）如图 3,在等补四边形ABCD 中, ABAD,其外角 EAD 的平分线交CD 的延长线于点F,CD10,AF5,求 DF 的长【解答】解： （1）证明：四边形 ABCD 为圆内接四边形, A C180, ABC ADC 180,BD 平分 ABC, ABD CBD ,ADCD ,四边形 ABCD 是等补四边形；（2） AD 平分 BCD ,理由如下：如图 2,过点 A 分别作 AEBC 于点 E,AF 垂直 CD 的延长线于点 F,就 AEB AFD 90,四边形 ABCD 是等补四边形, B

17、ADC 180,又 ADC ADF 180, B ADF ,ABAD, ABE ADF （AAS）,AEAF ,AC 是 BCF 的平分线,即 AC 平分 BCD ；（3）如图 3,连接 AC,四边形 ABCD 是等补四边形, BAD BCD 180,又 BAD EAD 180, EAD BCD ,AF 平分 EAD, FADEAD ,由（ 2）知, AC 平分 BCD, FCABCD , FCA FAD,又 AFC DFA, ACF DAF ,即,DF5 55. 2022 日照中考 问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中,如果一个锐角等于 30,那么它所对的直

18、角边等于斜边的一半即：如图 1,在 Rt ABC 中, ACB 90,ABC30,就 AC1 2AB. 探究结论：小明同学对以上结论作了进一步探究1如图 1,连接 AB 边上中线 CE,由于 CE1 2AB,易得结论：ACE 为等边三角形； BE 与 CE 之间的数量关系为；2如图 2,点 D 是边 CB 上任意一点,连接 AD,作等边ADE,且点 E 在 ACB 的内部,连接 BE.摸索究线段 BE 与 DE 之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明；3当点 D 为边 CB 延长线上任意一点时,在 2条件的基础上,线段 BE 与 DE 之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论；拓展应用：如图

19、 3,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为 3,1,点 B 是 x 轴正半轴上的一动点,以 AB 为边作等边ABC.当 C 点在第一象限内,且 B2,0时,求 C 点的坐标【解析】： 1BECE2BE DE.证明如下：如图,取 AB 的中点 P,连接 EP. 由1结论可知CPA 为等边三角形, CAP60,CA PA. ADE 为等边三角形, DAE60,ADAE, CAP DAE , CAP DAB DAE DAB, CAD PAE, ACD APESAS, APE ACD 90,EPAB. P 为 AB 的中点, AEBE. DEAE, BEDE. 3BE DE 拓展应用：如图,

20、连接 OA,OC,过点 A 作 AH x 轴于点 H. A 的坐标为 3,1, AOH30. 由探究结论 3可知 COCB. O0,0,B2, 0,点 C 的横坐标为 1. 设 C1,mCO2CB212m2,AB212232,ABCB,12m212232, m23,C 点的坐标是 1,236. （2022.湖南岳阳 .10 分）操作体验：如图,在矩形ABCD 中,点 E.F 分别在边 AD.BC 上,将矩形 ABCD沿直线 EF 折叠,使点 D 恰好与点 B 重合,点 C 落在点 C处点 P 为直线 EF 上一以 PM 、PN 为邻边构造平行四边形 PMQN （1）如图动点（不与 E.F 重合

21、）,过点 P 分别作直线 BE.BF 的垂线,垂足分别为点 M 和 N,1,求证： BEBF；（2）特例感知：如图 2,如 DE 5,CF2,当点 P 在线段 EF 上运动时,求平行四边形 PMQN 的周长；（3）类比探究：如 DEa,CFb如图 3,当点 P 在线段 EF 的延长线上运动时,试用含 A.b 的式子表示 QM 与 QN 之间的数量关系,并证明；如图 4,当点 P 在线段 FE 的延长线上运动时, 请直接用含A.b 的式子表示QM 与 QN 之间的数量关系（不要求写证明过程）【解答】（1）证明：如图 1 中,四边形 ABCD 是矩形,AD BC, DEF EFB ,由翻折可知：D

22、EF BEF, BEF EFB,BEBF （2）解：如图2 中,连接 BP,作 EHBC 于 H,就四边形ABHE 是矩形, EHABDEEBBF 5,CF2,ADBC7,AE2,在 Rt ABE 中, A90,BE5,AE2,AB522 2 21 ,S BEFS PBES PBF,PMBE,PNBF,1 2.BF.EH1 2.BE.PM1 2.BF .PN,BEBF ,PM PNEH21,四边形 PMQN 是平行四边形,四边形 PMQN 的周长 2（PM PN） 2 21（3）证明：如图 3 中,连接 BP,作 EHBC 于 HEDEBBF a,CFb,ADBCab,AEAD DEb,EHA

23、Ba22 b,S EBP S BFPS EBF,BE.PM.BF.PN.BF.EH,BEBF ,PM PNEHa2b2,四边形 PMQN 是平行四边形,QN QM（ PM PN）a 2b 22 2如图 4,当点 P 在线段 FE 的延长线上运动时,同法可证：QM QNPN PM a b7. 2022 潍坊中考 边长为 6 的等边ABC 中,点 D,E 分别在 AC,BC 边上, DE AB,EC2 3. 1如图 1,将 DEC 沿射线 EC 方向平移,得到DEC,边 DE与 AC 的交点为 M,边 CD与 ACC的角平分线交于点N.当 CC多大时,四边形MCND 为菱形？并说明理由2如图 2,

24、将 DEC 绕点 C 旋转 0 360,得到DEC,连接 AD,BE.边 DE的中点为 P. 在旋转过程中,AD和 BE有怎样的数量关系？并说明理由；连接 AP,当 AP 最大时,求 AD的值 结果保留根号 【解析】1当 CC3时,四边形 MCND 为菱形理由：由平移的性质得 CD CD,DE DE . ABC 为等边三角形,B ACB60, ACC 18060120. CN 是 ACC的角平分线, NCC 60. AB DE,DE DE, AB DE, DEC B60, DEC NCC , DE CN ,四边形 MCND 为平行四边形 ME C MCE 60, NCC NCC60, MCE和

25、 NCC为等边三角形,MC CE, NCCC .又 EC2 3,CC3, CECC3,MC CN,四边形MCND 为菱形2ADBE .理由：当180时,由旋转的性质得ACD BCE .由1知 ACBC,CDCE, ACD BCE, ADBE .当 180时, ADACCD,BEBCCE,即 ADBE .综上可知, ADBE .如图,连接 CP,在ACP 中,由三角形三边关系得APACCP,当 A,C,P 三点共线时 AP 最大此时, AP ACCP. 在 DCE中,由 P 为 DE中点得 APDE,PD 3,CP3, AP6 39. 在 Rt APD 中,由勾股定理得ADAP2PD292（3）

26、22 21. 8. 【探究证明】1某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究,提出以下问 题,请你给出证明：如图 1,矩形 ABCD 中, EF GH,EF 分别交 AB,CD 于点 E,F,GH 分别交 AD, BC 于点 G,H.求证：GHAD AB；【结论应用】2如图2,在满意 1的条件下,又AMBN,点M,N 分别在边BC,CD 上如GH11 15,就 BN AM的值为；【联系拓展】3如图 3,四边形 ABCD 中, ABC90, ABAD10,BCCD5,AM DN,点 M,N 分别在边 DN BC,AB 上,求 AM的值【解析】1 如图,过点 A

27、作 AP EF,交 CD 于点 P,过点 B 作 BQ GH,交 AD 于点 Q,交 AP 于点 T. 四边形 ABCD 是矩形, AB DC ,AD BC,四边形 AEFP 和四边形 BHGQ 都是平行四边形,APEF ,GH BQ. GH EF, APBQ, QAT AQT 90. 四边形 ABCD 是矩形, DAB D90, DAP DPA 90, AQT DPA , PDA QAB ,AP BQAD BA, EF GHAD AB. 11 2 15. 提示： EF GH, AMBN,由 1结论可得EF GHAD AB, BN AMAD AB,BN AM EF GH11 15. 3如图,过

28、 D 作 AB 的平行线,交 BC 的延长线于 E,作 AF AB 交 ED 延长线于点 F. BAF B E90,四边形 ABEF 是矩形连接 AC,由已知条件得ADC ABC, ADC ABC90,1 290. 又 2 390, 1 3, ADF DCE ,DE AFDC AD 5 101 2. 设 DEx,就 AF2x, DF10 x. 在 Rt ADF 中, AF2DF2AD2,即2x210 x2100,解得 x14,x20舍去 , AF 2x8,DN AM AF AB 8 104 5. 9. （2022.湖北省仙桃市 .10 分）已知ABC 内接于 O, BAC 的平分线交 O 于点

29、 D,连接 DB,DC（1）如图,当 BAC120时,请直接写出线段 AB,AC,AD 之间满意的等量关系式：ABACAD；（2）如图,当BAC90时,摸索究线段 AB,AC,AD 之间满意的等量关系,并证明你的结论；（3）如图,如 BC5,BD 4,求 的值【解答】解： （1）如图在 AD 上截取 AEAB,连接 BE, BAC120, BAC 的平分线交 O 于点 D, DBC DAC 60, DCB BAD 60, ABE 和 BCD 都是等边三角形, DBE ABC,ABBE,BC BD, BED BAC（SAS）,DEAC,ADAEDEABAC；故答案为： ABAC AD（2） ABACAD理由如下：如图,延长 AB 至点 M,使 BMAC,连接 DM,四边形 ABDC 内接于 O, MBD ACD, BAD CAD 45,B