高考数学易错点09 平面向量（解析版）

1、易错点09 平面向量平面向量是高中数学的重要内容，是解决实际问题强有力的工具，是近年来高考的热点之一对向量问题的考查，往往与不等式、解析几何、数列、平面几何等知识结合起来本文通过对近十年全国新课标卷试题进行分析、汇总，希望同学们能够对平面向量的考向、考法、考试题型、难易程度有更加清晰的认识，避免走弯路，错路，以提高复习的效率易错点1：忽略零向量；易错点2：利用向量的数量积计算时，要认真区别向量与实数ab；易错点3：利用向量的数量积计算时，判断向量夹角的大小时要牢记“起点相同”；(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角

2、度的问题（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.易错点4：向量数量积的几何意义中的叫做在方向上的正射影的数量，它是一个数量，它可正，可负，也可以为0，要注意区分.易错点5：向量数量积0并不等价于向量与的夹角为锐角；易错点6：三点共线问题1.若A、B、C三点共线，且,则2.中确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解（3）

3、若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解3.(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数，使a=b，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.易错点7：向量与三角形的综合(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用(

4、3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.题组1：线性运算1（2018年新课标1卷）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq o(EB,sup5()=( )Aeq f(3,4)eq o(AB,sup5() - eq f(1,4)eq o(AC,sup5() B eq f(1,4)eq o(AB,sup5() - eq f(3,4)eq o(AC,sup5()Ceq f(3,4)eq o(AB,sup5() + eq f(1,4)eq o(AC,sup5() D eq f(1,4)eq o(AB,sup5(

5、) + eq f(3,4)eq o(AC,sup5()【答案】A【解析】故选A2(2015高考数学新课标1理科)设D为 QUOTE * MERGEFORMAT ABC所在平面内一点，则()ABCD【答案】A解析：由题知=，故选A3.（2014新课标1）设分别为的三边的中点，则A B C D 【答案】A【解析】,故选A4.(2013新课标2理科)已知正方形的边长为,为的中点,则 【答案】2【解析】在正方形中，,所以题组2：共线定理的应用5（2021新高考1卷）在正三棱柱中，点满足，其中，则A当时，的周长为定值B当时，三棱锥的体积为定值C当时，有且仅有一个点，使得D当时，有且仅有一个点，使得平面【

6、答案】BD【解析】由点满足，可知点在正方形内A选项，当时，可知点在线段（包括端点）上运动中，因此周长不为定值，所以选项A错误；B选项，当时，可知点在线段（包括端点）上运动由图可知，线段/平面，即点到平面的距离处处相等，的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，所以选项B正确；C选项，当时，分别取线段，中点为， ，可知点在线段（包括端点）上运动很显然若点与或重合时，均满足题意，所以选项C错误 D选项，当时，分别取线段，中点为，可知点在线段（包括端点）上运动此时，有且只有点与点重合时，满足题意. 所以选项D正确因此，答案为BD.6（2020年江苏卷）在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP9，

7、若（m为常数），则CD的长度是_【答案】0或.【解析】三点共线，可设，即，若且，则三点共线，即，,，设，则，.根据余弦定理可得，解得，的长度为.当时， ，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.7(2017年高考数学课标卷理科)在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为()ABCD【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得所以，所以其中，所以的最大值为，故选A法二：通过点作于点，由，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得

8、最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线的距离为所以，所以的最大值为，故选A另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A法三：如图，建立平面直角坐标系设 根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是 ，若满足即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A法四：由题意，画出右图设与切于点，连接以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为，切于点是中斜边上的高即的半径为在上点的轨迹方程为设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，两式相

9、加得： (其中，)当且仅当，时，取得最大值3题组3:共线向量的坐标运算8(2018年高考数学课标卷（理）)已知向量，若，则 【答案】【解析】依题意可得，又，所以，解得9(2015高考数学新课标2理科)设向量，不平行，向量与平行，则实数_【答案】【解析】因为向量与平行，所以，则所以题组4：垂直向量10(2021年高考全国乙卷理科)已知向量，若，则_【答案】【解析】因为，所以由可得，解得故答案为：11(2020年高考数学课标卷理科)已知单位向量,的夹角为45，与垂直，则k=_【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：故答案为：题组5：向量的数量积运算11（2021上

10、海卷）如图，正方形的边长为3，求_【答案】9【解析】由题意得:.12.（2021新高考2卷）已知向量满足，则_.【答案】【解析】因为，平方可得，所以.题组6：求夹角13(2020年高考数学课标卷理科)已知向量a，b满足，则()ABCD【答案】D【解析】，因此，故选：D14(2019年高考数学课标全国卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为()A B C D【答案】B【解析】：，所以，所以15(2019年高考数学课标卷理科)已知，为单位向量，且，若，则_【答案】【解析】因为，所以，所以，所以16(2016高考数学课标卷理科)已知向量,则()ABCD【答案】A【解析】由题意,得,所以,故选A.

11、题组6：求向量的模17(2020年高考数学课标卷理科)设为单位向量，且，则_【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：18(2017年高考数学新课标卷理科)已知向量,的夹角为,则_【答案】 【解析】法一: 所以 法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为 法三:坐标法 依题意,可设,所以 所以 题组8：求最值19.（2020新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，

12、可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.20.（2017新课标2卷）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小是_.【答案】【解析】以BC为轴，以BC边上的高为轴建立坐标系，则,设 1在平行四边形中，则（ ）A-5B-4C-3D-2【答案】A【解析】，故选：A2正方形中，P，Q分别是边的中点，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，即，解得，又，则故选：C3如图，平面四边形中，则（ ）ABCD3【答案】C【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以所以，故选：C.4已知向量、满足，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，则，解得.故选：B.5已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）A6B8C10D12【答案】B【解析】由题设，.故选：B.6如图，在中，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】，所以，故选：D7已知向量，满足，则（ ）A5B7CD【答案】D【解析】因为，所以.故选：D8已知向量，向量，则与的夹角大小为（ ）A30B60C120D150【答案】D【解析】向量，向量，且，的夹角为.故选：D.9已知，则_【答案】【解析】，即，又，故答案为：0.10如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于