2021年高考试题真题-数学(新高考全国Ⅰ卷)

1、0,2 0,2 2021 年普高等学校招全国统一考试数学本试卷 页，22 小，满 .考用时 120 分 注意事：1.卷前，考生必将自的姓名 考生考场和座位填写在答题上 .用 2B 笔将试类型 ()填涂在题卡相应位上 将条形码贴在答题卡上角 “条形码贴处 ”.2.答选择题时选出每题答案后， 铅在答题上对应题目项的答 案信息涂黑：如需动，用皮擦干净后再选涂他答案 .答不能答试 卷上 3.选择题必须黑色字的钢笔或签笔作答，案必须在答题卡各目指 定区域相应位置上如需改，先划掉原的答案然后再写上答案； 准使用笔和涂改液不按以上要求作无效 .4.生必须保持题卡的洁 .试结束后，试卷和题卡一并交 .一选择题

2、：题共 8 题，每题 分，共 40 在每小题给出四个选中， 只有一是符合题目求的 设合A AB （ ）A.B. z 已A.6 ，则 （ ）B. 4 C. D. 2i 已圆锥的底面径为 2 ，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） 22 C. 44 下区间中，函f x 6单调递增的区间是（ ） C.3 2 23,2 已 ， F 是椭圆： 2 y 2 9 4的两个焦点，点 在上，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 若tan，则 sin ）A.B.C.D. 若点 y 的条切线，则（ ）A. ebB. eaC. 0 bD. 0 a 有 相同的球，分别标有数字 12，4，5，中有放回的随

3、机取两，每次取 球示事第一次取出的球的数字是 示事件第次出的球的数字是 2，丙表示事件两次取出的球的数字之和是 8，表示事件两次取出的球的数字之和是 ， 则（ ） 甲与丙相互独立C. 乙与丙相互独立 甲丁相互独立 丙丁相互独立二 选择：本题共 题，每题 5 分共 20 分.在每小给出的项中，有 多项符题目要求全部选对的得 分，部分选对得 分有选错得 0 分. 有组样本数据 ， x ， ，这组数据得到新样本数据 y ， y ， ，中1 2 x ( i 1,2, i i为非零常数，则（ ）A. 两样本数据的样本平均数相同B. 两样本数据 样中位数同C. 两样本数据的样本标准差相同 D. 两样数据的

4、样本极差相同10. 已知 O 坐标原点，点 1 2， 3A 1,0，则（ ）3 3 C.OP 1 2 1 2AP AP1 2OA OP 1 2 311. 已知点 P 在 0 点 到线 的离小于上，点 ，则（ ） 点 P 到线 的离大于 C. 当 最时， 当 PBA 最时， 2 212.正三棱柱 A B C 中， AB 1 1，点 P 满足 ，其中 ） 当 时 的周长为定值 当 时三棱锥P BC的体积为定值C. 当 时，有且仅有一个点 P ，使得A P BP 当时，有且仅有一个点 P ，使得A B 平面 AB 1 1三 填空：本题共 题，每题 5 分共 20 分.13. 已知函数f x是偶函数，

5、则 a 14. 已知O为坐标原点物线：y2 px(p 0)的焦点为 ， 为上一点，PF 与x轴垂直， Q 为 x 上一点，且 OP ， ，则的准线方程_15. 函数 x的最小值为_16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对，规格 为 20dm 的长方形纸，对折 共可以得到1 ， 两种规格的图形它的面积之和S 240dm12对 共可以得到5dm ， 3dm三种规格的图形，它们的面积之和S 180dm22，以此类推，则对折 次共以得到不同规格图形的种数为_如果对折 n 次，那么S k_ k c四解答题本题共 小题共 70 .解答写出文说明 证明过或演算骤 17.

6、已数列 na 1， 为, a a n为偶数. （1记（2求 ，出 b ， b ，并求数列 n 1 220 项和.nn式；18. 某学校组织一一知识竞赛，有 A， 两类问题，每位参加比赛的同学先两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答回答错误则该同学比赛结束回正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结.A 类题中的每个问题回答正确得 20 ，否则得 0 分 问题中的每个问题回答正确得 分否则得 ，己知小明能正确回答 问题的概率为 ，能正确回答 类题的概率为 ， 且能正确回答问题的概率与回答次序无.（1若小明先回答 类题，记 X 为明的累计得分，求 的分布列；（

7、2为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理.19. 记 是角 A ， ，C 的对边分别为 ， ， .已知 b2 ， D 在 AC 上 BD ABC sin C .（1证明： BD （2若AD DC，求cos 20. 如图，在三棱锥A 中，平面 面BCD， AD ，O为 BD 中点（1证明： ；（2若 OCD 是长为 等边三角形，点 E 在 AD 上， DE EA ，且二面角 BC D的大小为45，求三棱锥A 的体积.21. 在平面直角坐标系xOy中知点F MF MF 的轨迹为 C .的方程；（1求（2设点 T 在线 12上，过 的两条直线分别交 C 于 A 、 两和 P Q

8、两点，且TA TP ，求直线 的斜率与直线PQ的斜率之和22. 已知函数f f 的单调性；（1讨论（2设 ， b 为个不相等的正数，且 b ln ln b ，明：2 1 a 2021 年普高等学校招全国统一考试数学 答解析一 选择： B解：由题设有故选 . C解： 因为 ，故 ，故 i故选 B解：设圆锥的母线长为 l ，于圆锥底面圆的周长于扇形的弧长，则 l 2 故选 B. ，解得 2 3 3, 3 3 , 2 2 2 3 3, 3 3 , 2 2 A解：因为函数y sin 的单调递增区间为 , k对于函数f x 6，由 k k 6 ，解得 kx k2，取 ，得函数f 的一个单调递增区间为 3

9、，则0, 2 ,2 3 , ，A 选项满足条件B 不满足条件；取 k ，得函数f 8的一个单调递增区间为 ，,2 , 3 3 ,2 , 3 5 ,3 ， 项均不满足条件故选 A. C解：由题，a b 2 ，则 2，所以 MF MF 2 （当且仅当 时，等号成立故选 C解：将式子进行齐次化处理得： sin 2 2 sin 2 1 tan 2 1 5故选： D解析：在曲线 y 上取一点 ，对函数y x求导得y，所以，曲线y x在点 P 处的切线方程为y tx y t t，由题意可知，点 t t ，令f t当t 时 f ，此时函数 单调递增，当 时， f，此时函数 单调递减，所以，f f ，由题意可

10、知，直线 与曲线y f 的图象有两个交点，则 f ，当t 时，f ，当t 时，f ，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当 0 a 时直线 y 与线 y f 故选 D.的图象有两个交点.解法二：画出函数曲线y 的图象如图所示根直观即可判定点和轴上方时才可以作出两条切线.此可知 0 a .故选 D. B解： 5 6 1 甲) ， ， (丙 ， (丁 ， 甲丙) 甲 丙， 甲 丁， 乙 乙 P (丙， (丙丁) (丁 ()，故选 二 选择： CD解：x yx y ) ) D(c D( x)，故方差相同， 正；由极差的定义知：若第一组的极差为xmaxmin则第二组的极差为y x ) x x max

11、max min故极差相同， 正；故选 CD 10. AC解：A 项 OP ,sin ， (cos2sin，所以 | cos12 ，| 22 2 ， OP OP 1 2，正确； C 项由题意得：OA cos( sin(cos( 3，OP 1 cos(，正确；故选 AC11. 解：圆 的圆心为M ，半径为 4 ，直线 AB 的程 ，即x y 0，圆心 到直线 AB 的距离为5 1 11 11 45 ，所以，点 P 到线 AB 的离的最小值为11 5 最大值为11 5 A 选正确；如下图所示： 当 PBA 最大或最小时， 与 相切，连接 MP 、 BM ，可知 PM ，BM ， MP 由勾股定理可得

12、BP BM MP 2 ，CD 选正确.故选 ACD.12. BD解析：易知，点 P 在形BCC 1 内部（含边界对于 当 时 BB 1 1，故此时 P 点轨迹为线段B 1 ，而B BC ， B C / 1 1 故 确平面 A BC ，有 到面 BC 的距离为定值，所以其体积为定值， 1 1 2) 的焦点 1 2) 的焦点 对于 D时BP 1BC BB 2中点为 M BP BM MN 所以 P 点迹为线段MN 1 0, 因为 1 2， 3 A B , , ，所以3 y 4 2 2，此时 P 与 N 合，故 D 正故选 BD 三 填空： 13.答：1解：因为fx，故f，因为f 为偶函数，故f ，时

13、 ，整理得到，故 a ，故答案为 14.答：解：x 抛物线：y 2 ( p 0 F ,0 为上一点， PF 与 轴直，所以 P 的坐标为，代入抛物线方程求得 P 的坐标为 ,不妨设 (p2, p)因为 Q 为 x 轴上一点，且 PQ ，以 在 F 的侧又| FQ |， PQ ) 因为PQ ，所以 PQ p p ，所以 C 的线方程为x 故答案为x 15.答：1解：由题设知： ( x) x x定义域为 (0, 当 x 时， ( x) x，此时f x)单调递减；当x 时， ( x) x x，有f 2 ，时 f )x单调递减；当 x 时， ( x) 2 x 2ln x，有f x，此时f x)单调递增

14、；又f x)在各分段的界点处连续，综上有：0 时，f ( x)单调递减， 时，f ( )单调递增；f ( x) f 故答案为 16.答： 720 15 2 解：（1由对折 次共以得到 5dm 12dm ，10dm ， 三种规格的图形，所以对着三次的结果有： ，共 4 种同规格（单位 2) ； 5 3故对折 可得到如下规格： ， ， ， ， 20 ，共 不同规格； 2 2 4（2由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格2 2 如何，其面积成公比为的等比数列，首项为 120折后的图形面积为 n ，对于第 n 对折后的图形的规格形状种数，根据1的过程和结论，猜想为

15、种（证明从略得想S n n ，设nS S kk 120 ，则 120 S 2 2 n n 2，两式作差得： S n 120 n 60 1 1 1 2n 1 2n2120 360 2 2 120 2，因此， 720 240 15 720 2 2 故答案为； 720 15 2n 四 解答： 17.答）解：b 2, 1 2） 300 .（1）由题设可得b a a a 1 1 3 又a 2 k 2 k ， a 2 k 2 ，( k *故a 2 k k，即 b ，即bn n所以列，故 .9 109 10（2）设20 项和为 S ， a 20 2 20，因为a a a 1 2 3 , a 19 20，所以

16、 2 1 9 2 10 .18.答）见解析） B 类 解：（1由题可知， X 的有可能取值为 ， ； ； 0.48 所以 X 的布列为XP（2）由（），00.2E 0.48 0.48若小明先回答 B 问，记 为明的累计得分，则 Y 的有可能值为 0 ， 80 ， P ； ； 0.48所以E 0.48 因为19.54.4 57.6，所以小明应选择先回答 B 类题答）证明见解析） ABC cos b 2 cos ABC cos b 2 cos ABC 解析：（）由题设， sin C b sin C c ，由正弦定理知： ， ，sin sin sin ABC b ac，又 b2 ， BD ，得证（2

17、由题意知： , AD 2b b, DC 3， 2b bb 213b2 b2 b2 ，同理 2 2b2 2， ，13b2 a2 9 b b2，整理得 a221132，又 b2 ， a2b4 11a2 32 1 a ，整理得 6 4 a b ，得 或 ， a a 由余弦定理知： 2ac 2 ， 当时， 2 ABC 综上， 3 不合题意；当 时 2 2 ；20.答：(1)详见解析解：（1因为 AB=AD,O 为 BD 中点，所以 BD因为平面 平面 = ,平面 平面 ， 面 ， 因此 AO平面 ，因为 CD 平 ，所以 AOCD作 BD 于 作 FM 于 M, FM因为 AO平面 ，以 AOBD,

18、AOCD所以 CD,BD CD ,因此 EF平面 BCD即 BC因为 FM， 所以 BC平面 EFM，即 则 EMF 为面角 E-BC-D 的面角, 4因为 BO OD ,为正三角形,所以 为直角三角形因为 , FM BF ) 3从而 EF=FM= AO AO 所以 V 平面 BCD, 1 1 3 2 21.答） 216） 0 .解：T , 2 1 1 2 1 2 1 22 1 x x 1 2 1 1 1 2 1 1 2 T , 2 1 1 2 1 2 1 22 1 x x 1 2 1 1 1 2 1 1 2 因为MF F 17 ，所以，轨迹是以点F 、 F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为x 2 y a ，则2 ，可得 a ， b ，所以，轨迹 C 方程为 x 216； （2设点 ，若过点 T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，不妨直线 的程为 12，即 y x ，联立 1 x k2，消去 并理可得16 xy 1 1 1 x k ， 设点A 1 2，则 1 且 x 2 由韦达定理可得k 2 k x 1k 2 1 t ， 2 k 1，所