离散数学-第五章代数系统的一般性质课件

1、代数系统的一般性质理学院数学系仝辉内容提纲二元运算及其性质代数系统及其子代数和积代数代数系统的同态与同构二元运算定义5.1: 设S为集合,函数f:SxSS称为S上的一个二元运算,简称为二元运算.f:SxSS, f() = x+y就是自然数集合N上的一个二元运算,即普通的加法运算.普通的减法不是自然数集合上的二元运算,因为两个自然数相减可能不是自然数,这时也称集合N对减法运算不封闭.验证方法:参加运算的两个元素是S中的任意两个元素,而运算的结果也是S中的一个元素.例题自然数集合N上的乘法是N上的二元运算,但除法不是.整数集合Z上的加法,减法和乘法是Z上的二元运算,而除法不是.非零实数集合R*上的

2、乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法,减法不是.S为任意集合,则,-,为S的幂集P(S)上的二元运算.通常用o,*,.等符号表示二元运算,称为算符.设f:SxSS是S上的二元运算,对任意的x,yS,如x与y的运算结果为z,即 f() = z,可用算符o简记为 xoy = z.n元运算定义5.2: 设S为集合,n为正整数,则函数 f : S x S x.x SS称为S上的一个n元运算,简称为n元运算.求一个数的相反数是实数集R上的一元运算;在空间直角坐标系中求某一点(x,y,z)的坐标在x轴上的投影可以看作是实数集R上的三元运算f()=x,因为参加运算的有序的3个实数,而结果也是实数.若f()

3、 = b,则可记为(前缀表示法) o(a1,a2,.,an) =b o(a) = b 一元运算, o(a1,a2) = b 二元运算.例题设S=1,2,给出P(S)上的运算和的运算表,其中全集为S.121,2121,2111,22221,211,21,221ai(ai)1,212211,2交换律定义5.3: 设o为S上的二元运算,如果对任意的x,yS都有xoy =yox,则称运算o在S上是可交换的,或者说o在S上适合交换律.例如加法,乘法符合交换律,但减法和除法不符合.幂等律定义5.5:设o为S上的二元运算,如果对任意的xS都有xox=x,则称运算o在S上适合幂等律.也可以说S中的全体元素都是

4、幂等元.P(S)上的和运算适合幂等律;对称差不符合:AAA.分配律定义5.6: 设o和*为S上的两个二元运算,如果对任意的x,y,zS都有 x*(yoz) =(x*y)o(x*z), (yoz)*x =(y*z)o(z*x), 则称运算*对o是可分配的,或者说*对o适合分配律.乘法对加法.P(S)上的,是相互可分配的.吸收律定义5.7:设o和*为S上的两个二元运算,如果对任意的x,yS都有 x*(xoy) =x, x o(x*y) =x, 则称运算*和o满足吸收律.P(S)上和满足吸收律.判断幺元对于给定的集合和运算有的存在幺元,有的不存在幺元.R*是非零实数集,o是R*上的二元运算,任取a,

5、bR*有aob = a,那么不存在el使得对所有的b R*都有elob = b,所以运算o没有左幺元.但对任意的a R*,对所有的b R*,都有boa=b,所以,任意R*的元素a都是运算o的右幺元.R*中有无数多的右幺元,但没有幺元.定理定理5.1: 设o为S上的二元运算,el,er分别为运算o的左幺元和右幺元,则有 el = er =e.且e为S上关于运算o的唯一的幺元.证明: el =eloer eloer =er el =er把el=er记作e,假设S中存在幺元e,则有 e = eoe = e.所以,e是S中关于运算o的唯一的幺元.定理定理5.2: 设o为S上的二元运算,l和r分别为运算

6、o的左零元和右零元,则有 l = r =,且是S上关于运算o的唯一的零元.逆元定义5.10: 设o为S上的二元运算,eS为运算o的幺元.对于xS,如果存在yl S(或yrS)都有 ylox=e (或xoyr = e ),则称yl(或yr )是S中关于运算o的一个左逆元(右逆元),若y S关于o既是左逆元,又是右逆元,则称y是x的逆元.自然数中只有0有加法逆元,整数集合,加法幺元为0,对任何整数x,它的加法逆元都存在,即它的相反数.定理定理5.3 设o为S上可结合的二元运算,e为该运算的幺元.对于xS,如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有 yl =yr =y,且y是x的唯一的逆元.证明 yl =

7、 yloe =ylo(xoyr) =(ylox)oyr =eoyr=yr令yl=yr=y,假设yS是x的逆元,则有 y=yoe =yo(xoy)=(yox)oy=eoy=y.由这个定理可知,对于可结合的二元运算来说,元素x的逆元如果存在则是唯一的.通常把这个唯一的逆元记作x-1.消去律定义5.11 设o为S上的二元运算,如果对任意的x,y,zS满足以下条件若xoy =xoz且x不是零元,则y=z,若yox=zox且x不是零元,则y=z,就称运算o满足消去律.例题例5.4: 设是字母的有穷集,称为字母集, 中的有限个字母组成的序列称为上串.对任何串,串中字母的个数叫作串的长度,记作| |.长度为

8、0的串叫做空串().k =vi1,vi2,.,vik|Vij ,j=1,2,3,.,k0 =+= 1 2.*= 0 1 2.串的连接o为 *上的二元运算, *, =a1a2.am,=b1b2.bn, o= a1a2.amb1b2.bn,运算把串接到串的后面，称之为连接运算语言 *的任何子集称为 上的一个语言,记作L,L *.内容提纲二元运算及其性质代数系统及其子代数和积代数代数系统的同态与同构子代数系统定义5.13: 设V=是代数系统,BS且B,如果B对f1,f2,.,fn都是封闭的,且B和S含有相同的代数常数,则称是V的子代数系统,简称子代数.如:是的子代数;如:是的子代数;如:不是的子代数

9、;代数系统的公理:运算的性质.如有的代数系统决定该系统的二元运算存在幺元.子代数与代数系统的关系:不仅具有相同的代数运算,而且这些运算也具有相同的性质,它们非常相似,只是子代数比原来的代数系统小一些.平凡子代数,真子代数对任何代数系统V =,其子代数一定存在.最大的子代数就是V本身.如果V中所有的代数常数构成的集合是B, 且B对V中所有的运算都是封闭的,那么,B就构成了V的最小的子代数.这种最大和最小子代数称为V的平凡子代数.如果V的子代数V=满足BS,则称V是V的真子代数.例题例5.5: 设V=,令 nZ = nz|zZ. n为自然数,那么,nZ是V的子代数.证明: 任取nZ中的两个元素nz

10、1和nz2, z1,z2Z,则有 nz1+nz2 = n(z1+z2)nZ,即nZ对+运算是封闭的,并且0=n*0 nZ.所以, nZ是的子代数.当n=1时,nZ就是V本身,当n=0时,0Z=0是V的最小子代数,而其它是V的非平凡的真子代数.积代数定义5.14: 设V1=,V2=是代数系统,o和*为二元运算.V1和V2的积代数V1XV2是含有一个二元运算的代数系统,即V1XV2=,其中S=S1XS2,且对任意的,S1XS2有 = .例题设 V1=,V2=,其中+和分别表示整数加法和矩阵乘法,那么V1XV2是 V1XV2 = .即对任意的, ZXM3(R),都有 o = 例如1 0 00 1 0

11、 0 1 15,0 0 10 1 0 0 0 1-3,0 0 10 1 0 0 1 12,o=内容提纲二元运算及其性质代数系统及其子代数和积代数代数系统的同态与同构同态定义5.15: 设V1=,V2=是代数系统,o和*是二元运算.如果存在映射:S1S2满足对任意的x,yS1,有 (xoy) = (x)* (y),则称是V1到V2的同态映射,简称同态.例题设 V1=,V2=,其中+为普通加法, 为模n加法.即x,y Zn有 x y = (x+y) mod n.这里Zn =0,1,.,n-1.令 : ZZn, (x) = (x) mod n 则是V1到V2的同态.因为对任意x,yZ有 (x+y) = (x+y)mod n = (x) mod n (y)mod n = (x) (y):R R+, (x) = ex,那么是到的同态,因为对任意的x,yR,下列成立, (x+y) =ex+y= ex ey = (x) (y).同态象设是V1=到V2=的同态,则称是V1在下的同态象.满同态,单同态设是V1=到V2=的同态,如果是满射的,则称为V1到V2的满同态.如果是单射的,则称为V1到V2的单同态.如果是双射的,则称为V1到V2的同构.例题例5.6V=,给定aZ,令a:ZZ,