陕西省西北工业大学咸阳启迪中学2023学年高考全国统考预测密卷数学试卷（含解析）

1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并

2、交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图： 则下列结论正确的是（ ）.A与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B与2016年相比，2019年一本达线人数减少C与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D2016年与2019年艺体达线人数相同2已知椭圆内有一条以点为中点的弦，则直线的方程为( )ABCD3已知向量，若，则（ ）ABC-8D84已知函数

3、，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为ABCD5已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ）ABCD6若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ）ABCD7若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD8一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）ABCD9已知函数有两个不同的极值点，若不等式有解，则的取值范围是（ ）ABCD10已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ）ABCD11如图网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体

4、的所有棱中最长棱的长度为（ ）ABCD12已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的( )条件.A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是_14某校初三年级共有名女生，为了了解初三女生分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生有_个15已知多项式的各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为_16已知满足且目标函数的最大值为7，最小值为1，则_三、解答题：共70分。解答应

5、写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知的内角，的对边分别为，（1）若，证明：（2）若，求的面积18（12分）已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵.19（12分）在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为，王慧每次击中鼓的概率为；每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.（1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧

6、他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？（2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望.20（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.（1）求的值及该圆的方程；（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.21（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量22（10分）在中，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是60，连接，如图：（1）证明：平面平面（2）求平面与平面所成二面角的大小.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个

7、选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【题目详解】设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，2019年不上线人数为，故A正确；2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了倍，故C错误；2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.故选：A.【答案点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.2、C【答案解析】设，则，相减得到，解得答案.【题

8、目详解】设，设直线斜率为，则，相减得到：，的中点为，即，故，直线的方程为：.故选：.【答案点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.3、B【答案解析】先求出向量,的坐标，然后由可求出参数的值.【题目详解】由向量，则，又，则，解得.故选：B【答案点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.4、D【答案解析】由得，分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，.5、D【答案解析】设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.【题目详解】，由得，整理得，解得，因此，向量在向量方向上的投影为.故选：D.【

9、答案点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.6、B【答案解析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.【题目详解】实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示：将线性目标函数化为，则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，；当经过时，截距最大值，所以线性目标函数的取值范围为，故选：B.【答案点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.7、B【答案解析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.【题目详解】函数的导数为，令，则或

10、，上单调递减，上单调递增，所以0或是函数y的极值点，函数的极值为：，函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.故选B.【答案点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.8、B【答案解析】根据正四棱锥底边边长为，高为，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心.【题目详解】如图所示：因为正四棱锥底边边长为，高为，所以 ， 到 的距离为，同理到 的距离为1，所以为球的球心，所以球的半径为：1，所以球的表面积为.故选：B【答案点睛】本题主要考查组合体的表面积

11、，还考查了空间想象的能力，属于中档题.9、C【答案解析】先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.【题目详解】由题可得：（），因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.若不等式有解，所以因为.设，故在上单调递增，故，所以，所以的取值范围是.故选：C.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.10、A【答案解析】根据是中点这一条件，将棱

12、锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.【题目详解】解：设点到平面的距离为，因为是中点，所以到平面的距离为，三棱锥的体积，解得，作平面，垂足为的外心，所以，且，所以在中，此为球的半径，.故选：A.【答案点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题11、C【答案解析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD，算出长度.【题目详解】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为故选：C.【答案点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.12、B【答案解析】根据充分必要条件的概念进行判断.【题目详解】对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充

13、分性不成立；若，则可得，必要性成立.故选：B【答案点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.【题目详解】函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：由图象可知：实数的取值范围是.故答案为：【答案点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.14

14、、【答案解析】根据数据先求出，再求出分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数即可.【题目详解】解：，.则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数为.故答案为：.【答案点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.15、【答案解析】令可得各项系数和为，得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项，可得解.【题目详解】令，则得，解得，所以展开式中含项为：，故答案为：【答案点睛】本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题.16、-2【答案解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义

15、求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可【题目详解】由题意得：目标函数在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，直线AB的方程是：，则，故答案为.【答案点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【答案解析】（1）由余弦定理及已知等式得出关系，再由正弦定理可得结论；（2）由余弦定理和已知条件解得，然后由面积公式计算【题目详解】解：（1）由余弦定理得，由得到，由正弦定理得因为，所以（2）由题意及余弦定理可知，由得，即，联立解得，所

16、以【答案点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边解题时要注意对条件的分析，确定选用的公式18、.【答案解析】根据特征多项式可得，可得，进而可得矩阵A的逆矩阵.【题目详解】因为矩阵的特征多项式，所以，所以.因为，且，所以.【答案点睛】本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解，是基础题.19、（1）（2）详见解析【答案解析】（1）要积分超过分，则需两人共击中次，或者击中次，由此利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.（2）求得的所有可能取值，根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【题目详解】（1）由题意，当家庭最终积分

17、超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，所以要想领取一台全自动洗衣机，则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件为“张明第次击中”，事件为“王慧第次击中”，由事件的独立性和互斥性可得（张明和王慧家庭至少击中三次鼓），所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是.（2）的所有可能的取值为200，50，100，250，400.，.的分布列为20050100250400（分）【答案点睛】本小题考查概率，分布列，数学期望等概率与统计的基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数据处理，应用意识.20、（1），圆的方程为：.（2）答案见解析【答案解析】（1）根据题意，可

18、知点的坐标为，即可求出的值，即可求出该圆的方程；（2）由题易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，与抛物线联立方程组，根据，求得，化简解得，进而求得点的坐标为，分别求出，利用向量的数量积为0，即可证出.【题目详解】解：（1）易知点的坐标为，所以，解得.又圆的圆心为，所以圆的方程为.（2）证明易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，代入的方程，得.令，得，所以，解得.将代入的方程，得，即点的坐标为.所以，.故.【答案点睛】本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力.21、矩阵属于特征值的一个特征向量为，矩阵属于特征值的一个特征向量为【答案解析】先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令解方程