高三数学 一轮复习 第二章第二节　基本不等式

1、第二节基本不等式课程标准考向预测1.掌握基本不等式 eq r(ab) eq f(ab,2) (a，b0).2结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题考情分析：利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等仍是高考热点，多出现在解答题的运算中学科素养：数学运算、逻辑推理学生用书P161基本不等式： eq r(ab) eq f(ab,2) (1)基本不等式成立的条件是a0，b0(2)等号成立的条件是：当且仅当ab时取等号(3)其中 eq f(ab,2) 称为正数a，b的算术平均数， eq r(ab) 称为正数a，b的几何平均数2利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(

2、1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2 eq r(p) (简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是 eq f(p2,4) (简记：和定积最大).1活用几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)； eq f(b,a) eq f(a,b) 2(a，b同号).ab eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2) eq sup12(2) (a，bR)； eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2) eq sup12(2) eq f(a2b2,2) (a，bR).2巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆

3、”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件 eq o(.,sdo4(,) 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx eq f(1,x) 的最小值是2.()(2)当a0，b0时， eq f(ab,2) eq r(ab) .()(3)两个不等式a2b22ab与 eq f(ab,2) eq r(ab) 成立的条件是相同的()答案：(1)(2)(3)2若x0，y0，且xy18，则 eq r(xy) 的最大值为()A9 B18C36 D81A因为xy18，x0，y0，所以 eq r(xy) eq f(xy,2) 9，当且仅当xy9时，等号成立3(多选)若a，

4、bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2 eq r(ab) C eq f(1,a) eq f(1,b) eq f(2,r(ab) D eq f(b,a) eq f(a,b) 2ADa2b22ab(ab)20，选项A正确；对于选项B，C，当a0，b0时，明显错误；对于选项D，ab0， eq f(b,a) eq f(a,b) 2 eq r(f(b,a)f(a,b) 2.4(必修5P100练习T1改编)当x1时，x eq f(1,x1) 的最小值为_解析：当x1时，x eq f(1,x1) x1 eq f(1,x1) 12 eq r(（x1）f(1,x1) 13，当且

5、仅当x1 eq f(1,x1) ，即x2时等号成立答案：35(必修5P100练习T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10 x)m，由题意可知0 x10，则面积Sx(10 x)( eq f(x10 x,2) )225，当且仅当x10 x，即x5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.答案：25学生用书P16 eq avs4al(利用基本不等式求最值) 角度一配凑法求最值(1)设0 x eq f(3,2) ，则函数y4x(32x)的最大值为_；(2)3x2 eq f(6,x2

6、1) 的最小值为_解析：(1)0 x0，y4x(32x)22x(32x)2 eq blcrc(avs4alco1(f(2x（32x）,2) eq sup12(2) eq f(9,2) ，当且仅当2x32x，即x eq f(3,4) 时，等号成立 eq f(3,4) eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,2) ，函数y4x(32x) eq blc(rc)(avs4alco1(0 x0，b0)过点(1，2)，则2ab的最小值为_解析：由题设可得 eq f(1,a) eq f(2,b) 1，a0，b0，2ab(2ab) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(2,b

7、) 2 eq f(b,a) eq f(4a,b) 242 eq r(f(b,a)f(4a,b) 8，当且仅当 eq f(b,a) eq f(4a,b) ，即b2a时等号成立故2ab的最小值为8.答案：8常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值 角度三消元法求最值(2020江苏卷)已知5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最小值是_解析：由5x2y2y41得x2 eq f(1,5y2) eq f(y2,5) ，y20.则x2y2

8、eq f(1,5y2) eq f(4y2,5) 2 eq r(f(1,5y2)f(4y2,5) eq f(4,5) ，当且仅当 eq f(1,5y2) eq f(4y2,5) ，即y2 eq f(1,2) 时取等号，则x2y2的最小值是 eq f(4,5) .答案： eq f(4,5) 消元法在基本不等式求最值中的应用当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值 1设x，yR，且xy0，则 eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(4,y2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)y

9、2) 的最小值为()A9 B9 C10 D0B由题意可得 eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(4,y2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)y2) 5 eq f(4,x2y2) x2y252 eq r(f(4,x2y2)x2y2) 9，当且仅当xy eq r(2) 时等号成立，所以最小值为9，故选B项2已知a0，b0，2ab4，则 eq f(3,ab) 的最小值为_解析：因为2ab4，a0，b0，所以 eq f(3,ab) eq f(6,2ab) eq f(6,（f(2ab,2)）2) eq f(6,4) eq f(3,2) ，当且仅当2ab2，即a1，b2

10、时取等号，所以 eq f(3,ab) 的最小值为 eq f(3,2) .答案： eq f(3,2) 3(变条件)若例2条件变为b8a4ab(a0，b0)，则2ab的最小值为_解析：由8ab4ab得 eq f(1,4a) eq f(2,b) 1，2ab(2ab) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4a)f(2,b) eq f(5,2) eq f(4a,b) eq f(b,4a) eq f(5,2) 2 eq r(f(4a,b)f(b,4a) eq f(9,2) .当且仅当 eq f(4a,b) eq f(b,4a) ，即a eq f(3,4) ，b3时取等号答案： eq f(9,

11、2) eq avs4al(利用基本不等式解决实际问题) 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50 x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升5元，而汽车每小时耗油(2 eq f(x2,360) )升，司机的工资是每小时25元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用解析：(1)行驶130千米所用时间为t eq f(130,x) (h)，y eq f(130,x) 5(2 eq f(x2,360) )25 eq f(130,x) ，x50，100.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y eq f(4 550,

12、x) eq f(65,35) x，x50，100(2)y eq f(4 550,x) eq f(65,35) x eq f(65r(70),3) ，当且仅当 eq f(4 500,x) eq f(65x,36) ，即x6 eq r(70) 时等号成立，又6 eq r(70) 50，100，故当x6 eq r(70) 千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 eq f(65r(70),3) 元利用基本不等式求解实际问题(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取

13、值范围(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低求出最低总造价解析：设隔墙的长度为x m(x0)，总造价的函数为y元，则隔墙造价为2x248496x元，池底造价为2008016 000元，四周围墙造价为 eq blc(rc)(avs4alco1(2x2f(200,x) 400800 eq blc(rc)(avs4al

14、co1(xf(200,x) 元因此，总造价为y496x800 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(200,x) 16 0001 296x eq f(160 000,x) 16 0002 eq r(1 296xf(160 000,x) 16 00028 80016 00044 800.当1 296x eq f(160 000,x) ，即x eq f(100,9) 时等号成立这时，污水池的长为18 m.故当污水池的长为18 m，宽为 eq f(100,9) m时总造价最低，最低为44 800元微专题系列2思想方法妙用基本不等式的七种变型基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最

15、值即所谓“和定积最大，积定和最小”但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值常见的变形技巧有以下几种：技巧一加上一个数或减去一个数使和或积为定值函数f(x) eq f(4,x3) x(x3)的最大值是()A4 B1 C5 D1D因为x0，所以f(x) eq blcrc(avs4alco1(f(4,3x)（3x）) 32 eq r(f(4,3x)（3x）) 31，当且仅当 eq f(4,3x) 3x，即x1时等号成立所以f(x)的最大值是1.故选D项技巧二平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值若x0，y0，且2x2 eq f

16、(y2,3) 8，求x eq r(62y2) 的最大值解析：(x eq r(62y2) )2x2(62y2)32x2 eq blc(rc)(avs4alco1(1f(y2,3) 3 eq blc(rc)(avs4alco1(f(2x21f(y2,3),2) eq sup12(2) 3 eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2) eq sup12(2) ，当且仅当2x21 eq f(y2,3) ，即x eq f(3,2) ，y eq f(r(42),2) 时等号成立故x eq r(62y2) 的最大值为 eq f(9r(3),2) .技巧三展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以

17、考虑展开后求其最值已知a0，b0且ab2，求 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,b)1) 的最小值解析：由题得 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,b)1) eq f(1,ab) eq f(1,a) eq f(1,b) 1 eq f(1,ab) eq f(ab,ab) 1 eq f(3,ab) 1，因为a0，b0，ab2，所以2 eq r(ab) 2，所以ab1，所以 eq f(1,ab) 1，所以 eq blc(rc)(avs4alco1(f(

18、1,a)1) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,b)1) 4，当且仅当ab1时等号成立，所以 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,b)1) 的最小值是4.技巧四形如 eq f(f（x）,g（x）) 型函数变形后使用基本不等式若y eq f(f（x）,g（x）) 中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值求函数y eq f(x,x2x1) (x0)的值域解析：y eq f(x,x2x1) (x0)，y0， eq f(1,y) x1 eq f(1,x) 2 eq r(xf(1,x) 13.0y0，

19、y0，求xy的最小值解析：法一：因为x0，y0，所以xy(xy)1(xy) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(2,y) 3 eq f(y,x) eq f(2x,y) 32 eq r(f(y,x)f(2x,y) 32 eq r(2) ，当且仅当 eq f(y,x) eq f(2x,y) ，且 eq f(1,x) eq f(2,y) 1，即x eq r(2) 1，y2 eq r(2) 时等号成立故xy的最小值是32 eq r(2) .法二：因为 eq f(1,x) eq f(2,y) 1，所以x eq f(y,y2) .因为x0，y0，所以y20.所以xy eq f(y,y2) y eq f(y2y,y2) eq f(（y2）23（y2）2,y2) y2 eq f(2,y2) 332 eq r(2) ，当y2 eq f(2,y2) ，即y2 eq r(2) 时等号成立，此时x eq r(2) 1.故xy的最小值为32 eq r(2) .求以形如或可化为 eq f(a,x) eq f(b,y) 1型为条件的cxdy(a，b，c，d都不为0)的最值可利用“1