2022年北京市海淀区北京57中数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知点，则它的极坐标是（ ）ABCD2复数对应的点在第二象限，其中m为实数，i为虚数单位，则实数的取值范围（）A（，1）B（1，1）C（1，2）D（，1）（2，+）3已知

2、函数（，）的图象如图所示，则的解析式为（ ）ABCD4直线是圆的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为 （ ）ABCD5已知全集UZ，B1,0,1,2，则图中的阴影部分所表示的集合等于 （ ）A1,2B1,0C0,1D1,26已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合CUAx|x0 Bx|x1 Cx|0 x1 Dx|0 x17己知集合，若，则实数的取值范围_.ABCD8已知，则中（ ）A至少有一个不小于1B至少有一个不大于1C都不大于1D都不小于19设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条

3、件10函数的单调递增区间是（ ）ABCD11设是可导函数,且满足,则曲线在点处的切线斜率为( )A4B-1C1D-412对任意复数，为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是_14抛物线的焦点坐标是_15某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列，使，记，则且的概率为_.16三角形中，是边上一点，且三角形与三角形面积之比为，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，四边形为菱形，平面，为的中点. （） 求证：平面（） 求证：（）若为线段上的点，当三棱锥的

4、体积为时，求的值.18（12分）已知函数为自然对数的底数）（）求函数的单调区间；（）若，证明：关于的不等式在上恒成立19（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.（）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望20（12分）已知椭圆的离心率为，且.（1）求椭

5、圆的标准方程；（2）直线：与椭圆交于A，B两点，是否存在实数，使线段AB的中点在圆上，若存在，求出的值；若不存在，说明理由21（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长半径的圆与直线相切（1）求与；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与轴垂直，交与点求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程，并指明曲线类型22（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（）求不等式的解集；（）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由计算即可。【详解】在相

6、应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足，所以.故选C.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。2、B【解析】整理复数为的形式，根据复数对应点在第二象限列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】i对应点在第二象限，因此有，即，故选B【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.3、D【解析】结合函数图像可得：，结合周期公式有：，且当时，令可得：，据此可得函数的解析式为：.本题选择D选项.点睛：已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由即可求出；确定时，

7、若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.4、C【解析】由是圆的一条对称轴知，其必过圆心，因此，则过点斜率为1的直线的方程为，圆心到其距离，所以弦长等于，故选C5、A【解析】试题分析：图中的阴影部分所表示的集合为,故选A考点：集合的运算6、D【解析】试题分析：因为AB=x|x0或x1，所以CU考点：集合的运算.7、B【解析】首先解出集合,若满足，则当时，和恒成立，求的取值范围.【详解

8、】，即当时，恒成立，即 ，当时恒成立，即 ，而是增函数，当时，函数取得最小值， 且当时，恒成立， ，解得： 综上：.故选：B【点睛】本题考查根据给定区间不等式恒成立求参数取值范围的问题，意在考查转化与化归和计算求解能力，恒成立问题可以参变分离转化为求函数的最值问题，如果函数是二次函数可以转化为根的分布问题，列不等式组求解.8、B【解析】用反证法证明，假设同时大于，推出矛盾得出结果【详解】假设，三式相乘得，由，所以，同理，则与矛盾，即假设不成立，所以不能同时大于，所以至少有一个不大于，故选【点睛】本题考查的是用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键，同时还运用

9、了基本不等式，本题较为综合9、B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，和没有公共点，即能得到；“”是“”的必要不充分条件故选B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.10、C【解析】首先利用诱导公式化简函数解析式，之后应用余弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到所求单调递增区间.【详解】因为，根据余弦函

10、数的性质，令，可得，所以函数的单调递增区间是，故选C.【点睛】该题考查的是有关余弦型函数的单调怎区间的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有诱导公式，余弦函数的单调增区间，余弦型函数的性质，注意整体角思维的运用.11、D【解析】由已知条件推导得到f（1）=-4，由此能求出曲线y=f（x）在（1，f（1）处切线的斜率【详解】由，得，曲线在点处的切线斜率为-4，故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义及运算，求解问题的关键，在于对所给极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求曲线上的点的切线斜率，属于基础题.12、B【解析】分析：由题可知，然后根据复数的运算性质及基本概念逐一核对四个选项得到正确

11、答案.详解：已知 则选项A，错误.选项B，正确.选项C，错误.选项D，不恒成立，错误.故选B.点睛： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意可知在内能成立，利用参变量分离法，转化为在上能成立，令，则将问题转化为，从而得到实数的取值范围【详解】函数，在上能成立，令，即为，的最大值为，实数的取值范围为，故选答案为【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性利用导数研究函数存在减区间，经常会运用分离变量，转化为求最值属于中档题14、【解析】抛物线即，

12、，所以焦点坐标为.15、.【解析】根据题意，抛掷一枚均匀骰子，出现奇数或偶数概率为，则且的情况有2种：当前2次同时出现偶数时，则后6次出现3次偶数3次奇数，当前2次出现奇数时，则后6次出现5次偶数1次奇数，分别计算相应的概率求和即可.【详解】抛掷一枚均匀骰子，出现奇数或偶数概率为，构造数列，使，记，则且的情况为：当前2次同时出现偶数时，则后6次出现3次偶数3次奇数，相应的概率，当前2次出现奇数时，则后6次出现5次偶数1次奇数，相应的概率为，所以概率为.故答案为：.【点睛】本题考查二项分布概率计算，结合排列组合与数列的知识，属于综合题，解题的关键在于对所求情况进行分析，再利用二项分布进行概率计算

13、即可，属于中等题.16、【解析】分析：为的平分线，从而，根据余弦定理可得到，两者结合可解出并求出，在中，由余弦定理可求出的长度详解：因为为的平分线，故又，整理得，所以，故又，故填点睛：（1）在中，若为的平分线（为上一点），则有；（2）在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) 证明见解析.(2)证明见解析.(3).【解析】分析：（1）设ACBD=O，连结EO，MO，推导出四边形EOMF为平行四边形，从而FMEO由此能证明FM平面BDE；（2）推导出ACBD，EDAC，

14、从而AC平面BDE，由此能证明ACBE；（）过G作ED的平行线交BD于H，则GH平面ABCD，GH为三棱锥GBCD的高，三棱锥GBCD的体积 ，由此能求出的值详解：（）设,连结.由已知分别是的中点，因为,且,所以,且，所以,且.所以平行四边形为平行四边形所以 又因为平面，平面，所以平面 （）因为为菱形，所以因为平面,所以 因为,所以平面又因为平面,所以 （）过作的平行线交于.由已知平面，所以 平面.所以为三棱锥的高.因为三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积 所以 所以.所以.点睛：本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，异面直线的夹

15、角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.18、（）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（）证明见解析.【解析】（）根据导数求解函数单调区间的步骤，确定定义域，求导，解导数不等式或 ，中间涉及到解含参的一元二次不等式的解法，注意分类讨论；（）构造函数，再利用题目条件进行放缩，得到，转化为求函数的最小值，即可证出。【详解】定义域为R，,令，则，则结合二次函数图像可知，当时，；当时，；当时，；故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（II）令，当时，而，故，故，令，故，故函数在上单调递减，则，则，即关

16、于x的不等式在上恒成立.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间问题，最值问题，证明恒成立问题，涉及到转化与化归思想的应用。灵活构造函数是解决本题的关键，合理放缩也是关键点，意在考查学生的逻辑推理、数学运算和数学建模的能力。19、（）（）02468P数学期望E=2+4+6+8=【解析】（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为（2）的可能取值为0，2，4，6，8，分布列如下表：02468考点：离散型随机变量的分布列及概率20、（1）；（2）实数不存在，理由见解析【解析】试题分析：（1）运用椭

17、圆的离心率公式和的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（2）设，线段的中点为联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的坐标，代入圆的方程，解方程可得，进而判断不存在试题解析：（1）由题意得，解得故椭圆的方程为；（2）设，线段的中点为联立直线与椭圆的方程得，即，即，所以，即又因为点在圆上，可得，解得与矛盾故实数不存在考点：椭圆的简单性质21、（1），（2），该曲线为抛物线（除掉原点）【解析】（1）由题可知，直线与圆相切，根据圆心到直线的距离等于半径，结合离心率，即可求出与.（2）求出焦点坐标，设点坐标，从而得出的坐标，同时设，利用垂直关系可得出关于的式子即为的轨迹方程.【详解】解：（1），（2），两点分别为，由题意可设那么线段中点为，设是所求轨迹上的任意点由于，即，所以又因为，消参得轨迹方程为.该曲线为抛物线（除掉原点）【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，包括离心率、短半轴长、焦点坐标，还涉及中点坐标公式，以及两直线垂直时斜率相乘为-1，还利用消