广东省东莞市达标名校2021-2022学年数学高二第二学期期末调研模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1定义在上的偶函数的导函数为,若对任意的正实数,都有恒成立,则使成立的实数的取值范围为()ABCD2以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知

2、|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为 ( )A8B6C4D23若点P在抛物线上，点Q（0,3），则|PQ|的最小值是（ ）ABCD4设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）AB-1CD5已知函数f(x)ax，其中a0，且a1，如果以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)f(x2)等于()A1BaC2Da26复数z满足，则复数的虚部是（ ）A1B1CD7已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，则的内切圆半径为( )ABCD8圆与的位置关系是（ ）A相交B外切C内切D相离9已知复数z=1+i1-i

3、(i是虚数单位)，则A-iB-1CiD10某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法正确的是（ ）A参与奖总费用最高B三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍C购买奖品的费用的平均数为9.25元D购买奖品的费用的中位数为2元11若满足约束条件则的最大值为（ ）A5BC4D312若偶函数满足且时,则方程的根的个数是( )A2个B4个C3个D多于4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知命题：，为真命题，则实数的取值范围为_14如图所示，一个空间几

4、何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为_.15已知函数.设是函数图象的一条对称轴，则的值等于_16某保险公司新开设了一项保险业务.规定该份保单任一年内如果事件发生，则该公司要赔偿元，假若在一年内发生的概率为，为保证公司收益不低于的，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为_元.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为（1）求直线l及

5、曲线的极坐标方程；（2）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.18（12分）已知函数在处有极大值（1）求的值；（2）求在处的切线方程19（12分）已知函数f(x)=x（1）求不等式f(x)10的解集；（2）记f(x)的最小值为m，若正实数a，b，c满足a+b+c=m，求证：a+20（12分）如图,在四面体中, 在平面的射影为棱的中点, 为棱的中点,过直线作一个平面与平面平行,且与交于点,已知, . (1)证明: 为线段的中点 (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21（12分）数列的前项和为，且满足()求，的值；()猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论2

6、2（10分）已知三点，曲线上任意一点满足（1）求的方程；（2）动点在曲线上，是曲线在处的切线问：是否存在定点使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：构造新函数，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解详解：设，则，由已知当时，在上是减函数，又是偶函数，也是偶函数，不等式即为，即，即故选A点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式解题关键是构造新函数新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造如

7、，等等2、C【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为，交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B.考点：抛物线的性质.3、B【解析】试题分析：如图所示，设，其中，则，故选B.考点：抛物线.4、D【解析】先对函数求导，根据是奇函数，求出，进而可得出曲线在点处切线的斜率.【详解】由题意得，.是奇函数，即，解得，则，即曲线在点处切线的斜率为.故选.【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线斜率，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.5、A【解析】由已知可得，再根据指数运算性质得解.【详解】因为以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线

8、段的中点在y轴上，所以.因为f(x)ax，所以f(x1)f(x2)=.故答案为：A【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质和指数运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.6、C【解析】由已知条件计算出复数的表达式，得到虚部【详解】由题意可得 则 则复数的虚部是故选C【点睛】本题考查了复数的概念及复数的四则运算，按照除法法则求出复数的表达式即可得到结果，较为简单7、C【解析】分析：根据韦达定理结合三角形面积公式求出的面积，利用椭圆的定义求出三角形的周长，代入内切圆半径，从而可得结果.详解：椭圆的左、右焦点分别为，则的坐标为，过且斜率为的直线为，即，代入，得，则，故的面积，的周长，故的内切圆半径，故选

9、C.点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质与椭圆定义的应用，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.8、A【解析】试题分析：由题是给两圆标准方程为：，因为，所以两圆相离，故选D.考点：圆与圆的位置关系9、D【解析】先利用复数的除法将复数z表示为一般形式，于是可得出复数z的虚部。【详解】z=1+i1-i=1+i21-i1+i【点睛】本题考查复数的概念，解决复数问题，一般利用复数的四则运算律将复数表示为一把形式，考查计算能力，属于基础题。10、D【解析

10、】先计算参与奖的百分比，分别计算各个奖励的数学期望，中位数，逐一判断每个选项得到答案.【详解】参与奖的百分比为：设人数为单位1一等奖费用： 二等奖费用： 三等奖费用： 参与奖费用： 购买奖品的费用的平均数为： 参与奖的百分比为，故购买奖品的费用的中位数为2元故答案选D【点睛】本题考查了平均值，中位数的计算，意在考查学生的应用能力.11、A【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，可得，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故选：A【点睛

11、】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12、B【解析】在同一坐标系中画出函数和函数的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.【详解】因为偶函数满足，所以函数的周期为2，又当时，故当时，则方程的根的个数，等价于函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点，即方程有4个根，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程的根的个数，转化为函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、

12、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：，为真命题， 则 详解：已知命题：，为真命题，则实数的取值范围为.即答案为点睛：本题考查当特称命题为真时参数的取值范围，属基础题.14、【解析】几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，圆柱的全面积包括三部分，上下底面圆的面积和侧面展开矩形的面积.【详解】由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，故圆柱的全面积是：.【点睛】本题考查三视图和圆柱的表面积，关键在于由三视图还原几何体.15、【解析】先将f（x）的解析式进行降幂，再由x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴可得到x0的

13、关系式，将x0的关系式代入即可得到答案【详解】由题设知 因为是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以 ，即 （kZ）所以 故答案为【点睛】本题主要考查三角函数的二倍角公式和对称轴问题属中档题.16、【解析】用表示收益额，设顾客缴纳保险费为元，则的取值为和，由题意可计算出的期望【详解】设顾客缴纳的保险金为元，用表示收益额，设顾客缴纳保险费为元，则的取值为和，则，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用离散型随机变量的期望解决实际问题，解题关键是正确理解题意与期望的意义属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直线l的极坐标方程为.的极坐标方程为（2）【解

14、析】（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线的极坐标方程；（2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果【详解】（1）消去直线l参数方程中的t，得，由，得直线l的极坐标方程为，故由点Q在OP的延长线上，且，得，设，则，由点P是曲线上的动点，可得，即，所以的极坐标方程为（2）因为直线l及曲线的极坐标方程分别为，所以， 所以，所以当时，取得最大值，为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的

15、性质的应用，属于中档题18、（1）；（2）.【解析】（1）先由得出或，然后就和时，函数在处取得极大值进行检验，从而可得出实数的值；（2）由（1）得出函数的解析式，计算出和的值，然后利用点斜式可写出所求切线的方程.【详解】（1）函数的导数为，由题意可得，可得，解得或，当时，由或，函数单调递增；由，函数单调递减，可得为极小值点；当时，由或，函数单调递增；由，函数单调递减，可得为极大值点.综上可得；（2）函数的导数为，可得在处的切线斜率为，切点为，可得切线方程为，即为【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数求函数的切线方程，在求函数的极值时，除了求出极值点外，还应对导数在极值点左右的导数符

16、号进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19、（）-2,8;（）见解析.【解析】试题分析: （）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f（x）10的解集；（）利用绝对值不等式，求出m，再利用柯西不等式进行证明试题解析：（） f当x0时，由-2x+610，解得-2x0；当0 x6时，因为610，所以06时，由2x-610，解得6x8综上可知，不等式fx10的解集为（）由（）知， fx的最小值为6，即m=6.（或者x+x-6 由柯西不等式可得a+b+c1+2+3= a2+因此a+2b+20、（1）见解析（2）【解析】分析：(1)根据题中两面平行的条件，结合面面平行的性质，得到线

17、线平行，其中一个点是中点，那就是三角形的中位线，从而得到一定为中点；(2)利用题中所给的相关的垂直的条件，建立相应的坐标系，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得到对应二面角的余弦值.详解：(1)证明: 平面平面，平面平面，平面平面，为的中点, 为的中点.(2)解: 为的中点, ，以为坐标原点,建立空间直角坐标系，如图所示,则， ，易求得，设平面的法向量为，则，即，令，得.设平面的法向量为，则，即，令，得 ，又平面平面，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面平行的性质、三角形中位线的平行性以及应用空间向量求二面角的余弦值，在求解的过程中

18、，需要对定理的条件和结论要熟悉，以及空间角的向量求法要掌握.21、（），；（）见证明【解析】()分别取 代入计算，的值.() 猜想，用数学归纳法证明.【详解】解：（）当时， 又，同理，；（）猜想 下面用数学归纳法证明这个结论.当时，结论成立.假设时结论成立，即，当时，即当时结论成立.由知对任意的正整数n都成立.【点睛】本题考查了数列和前项和的关系，猜测，数学归纳法，意在考查学生归纳推理能力.22、（1）；（2）存在，.【解析】分析：（1）先求出、的坐标，由此求得|和的值，两式相等，化简可得所求；（2）根据直线PA，PB的方程以及曲线C在点Q（x0，y0）（2x02）处的切线方程， D、E两点的横坐标，可得SPDE和SQAB的比值，从而求得参数值.详解：（1）依题意可得，由已知得，化简得曲线C的方程： ,（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，直线的方程是，曲线C在