同济六版高等数学市公开课获奖课件

1、一、平面图形面积 二、体积 6.2 定积分在几何学上应用三、平面曲线弧长 上页下页铃结束返回首页第1页第1页 f上(x) f下(x)dx,它也就是面积元素.一、平面图形面积 设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成. 因此平面图形面积为 在点x处面积增量近似值为 1.直角坐标情形 下页第2页第2页讨论： 由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y)及上下两条直线yd与yc所围成平面图形面积如何表示为定积分？提醒： 面积为 面积元素为j右(y)j左(y)dy,下页第3页第3页 例1 计算抛物线y2x与yx2所围成图形面积. 解 (2)拟定在x轴上投影区间: (

2、4)计算积分 0, 1; (1)画图; 下页第4页第4页 例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成图形面积. (2)拟定在y轴上投影区间: (4)计算积分 (3)拟定左右曲线:-2, 4. 解 (1)画图; 下页第5页第5页 例3 由于椭圆参数方程为 xacost, ybsint, 因此 解 椭圆面积是椭圆在第一象限部分四倍.于是 ydx, 椭圆在第一象限部分面积元素为 下页第6页第6页曲边扇形曲边扇形面积元素 曲边扇形是由曲线()及射线, 所围成图形.曲边扇形面积 2.极坐标情形 下页第7页第7页 例4 计算阿基米德螺线a (a0)上相应于从0变到2 一段弧与极轴所围成图形面积. 解 例5

3、 计算心形线a(1cos)(a0)所围成图形面积. 解 首页曲边扇形面积： 第8页第8页二、体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成立体. 这直线叫做旋转轴. 下页1.旋转体体积 第9页第9页 旋转体都能够看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成曲边梯形绕x轴旋转一周而成立体. 下页二、体积1.旋转体体积 旋转体体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴厚度为dx切片, 用圆柱体体积f(x)2dx作为切片体积近似值, 旋转体体积 于是体积元素为 dVf(x)2dx. 第10页第10页 例6 连接坐标原点O及点P(h, r)直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形.

4、将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h圆锥体. 计算这圆锥体体积. 旋转体体积： 解 下页第11页第11页 解 轴围成图形绕x轴旋转而成立体. 旋转椭球体体积为 下页旋转体体积： 例7 计算由椭圆 所成图形绕x轴旋转而成旋转体(旋转椭球体)体积. 第12页第12页 例8 计算由摆线xa(tsint), ya(1cost)一拱, 直线y0所围成图形分别绕x轴、y轴旋转而成旋转体体积. 解 所给图形绕x轴旋转而成旋转体体积为 下页第13页第13页 例8 计算由摆线xa(tsint), ya(1cost)一拱, 直线y0所围成图形分别绕x轴、y轴旋转而成旋转体体积. 解 下页 设曲线左半边为x=x

5、1(y), 右半边为x=x2(y). 所给图形绕y轴旋转而成旋转体体积为6 3a3 . 第14页第14页 设置体在x轴上投影区间为a, b, 立体内垂直于x轴截面面积为A(x). 立体体积元素为 立体体积为下页2.平行截面面积为已知立体体积 A(x)dx. A(x)第15页第15页截面面积为A(x)立体体积： 例9 一平面通过半径为R圆柱体底圆中心, 并与底面交成角. 计算这平面截圆柱所得立体体积. 建立坐标系如图, 则底圆方程为x2y2R2. 所求立体体积为 解 下页立体中过点x且垂直于x轴截面为直角三角形, 其面积为 第16页第16页三、平面曲线弧长 设曲线弧由直角坐标方程yf(x) (a

6、xb)给出, 其中f(x)在区间a, b上含有一阶连续导数. 现在来计算这曲线弧长度. 在曲率一节中, 我们已经知道弧微分表示式为 这也就是弧长元素. 因此, 曲线弧长度为下页直角坐标情形 第17页第17页 例11 长度. 因此, 所求弧长为 解 曲线yf(x)(axb)弧长： 下页第18页第18页 设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出, 其中(t)、(t)在, 上含有连续导数. 于是曲线弧长为 下页曲线yf(x)(axb)弧长： 参数方程情形 第19页第19页曲线x(t)、y(t)(t)弧长： 例13 求摆线xa(qsinq), ya(1cosq)一拱(02 )长度. 解 于是所求

7、弧长为曲线yf(x)(axb)弧长： 弧长元素为下页第20页第20页 设曲线弧由极坐标方程()()给出, 其中()在, 上含有连续导数. 由于 x(q)cosq, y(q)sinq (), 因此弧长元素为 曲线弧长为 下页极坐标情形 曲线yf(x)(axb)弧长： 曲线x(t)、y(t)(t)弧长：第21页第21页曲线()()弧长： 例14 求阿基米德螺线a (a0)相应于从0到2 一段弧长. 解 于是所求弧长为 结束 弧长元素为曲线yf(x)(axb)弧长： 曲线x(t)、y(t)(t)弧长：第22页第22页内容小结1. 平面图形面积边界方程极坐标方程2. 平面曲线弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方