核反应堆物理分析习题答案

1、第三章有两束方向相反的平行热中子束射到为1012 cm2 s1。自右面入射的中子束强度为21012 cm2 s1 。计算：该点的中子通量密度；该点的中子流密度；设a19.2102 m1 ，求该点的吸收率。1）由定义可知： I 31012 cm2s1（2）J I 11012 cm2s1可见其方向垂直于薄片表面向左。（3）R 19.2102 31012 102 5.761013cm3s1aan0 x n(x, E) 0ex eaE (1cos)a 为常数， 是x轴的夹角。求：中子总密度n(x) ；与能量相关的中子通量密度 (x, E);J(x, E) 。x 在Y ZZ 轴的夹角 为方向角，则有：（

2、1）0n(x) dEnex eaE (1cos)d004 20 dE2 d n0000 2ex eaE (1cos)sindn ex eaEdE (cos)sind000可见，上式可积的前提应保证a 0，则有：n(x)nxeaE( sindcossin d)0a000n ex ex 2E mn002E mn0000)a（2）令mn为中子质量，则E mnv2 /2v(E) (x,E) n(x,E)v(E) 2E m n(x,E,)d2nex eaE2E mnn2E mn（等价性证明：如果不做坐标变换，则依据投影关系可得：cos sincos则涉及角通量的、关于空间角的积分：4 (cosd2 (s

3、incos)sin402 d sin2 cosd sin200000(cos )( sincosd) 000对比：4(cosd2 d (cos)sin d02 d sind2 sincosd00000(cos )( sincosd) 000可知两种方法的等价性）（3）根据定义式：J(x,E) (x,E,)d n(x,E,)v(E)d44nex eaE2E mn0n220d cos(cos)sin d0 n ex eaE02E mn( cossind cos2 sind)00cosn1 x cosn xsin xdx n1C （其中n 为正整数，则：J(x,E)nex eaE2E mcos3 2

4、n ex 2n ex eaE2E m0n0n303在某球形裸堆（R=0.5 米）内中子通量密度分布为51017r试求：（1） (0);. (r)sin()(cm2s1 )rR（2）J(rD 0.8102 m ；每秒从堆表面泄露的总中子数（假设外推距离很小，可略去不济。 （）(0) lim(r) lim51017 sin(r)r0r0rR lim 51017 rr0rR51017 R3.141018cm2s151017r中子通量密度分布：(r) sin()cm2 s1rRJ(r) Dgrad D (r)re（e 为径向单位矢量）5 107r57rJ(r ) 0.82 0si()cos()r2Rr

5、RR 12 41015r2sin(2r)rcos(2r)e泄漏中子量=径向中子净流量球体表面积dsL J ds中子流密度矢量： 12J(r) 41015 sin(2r)cos(2r) er2rJ(rrrL J(R)4 R2 41015 0.5240.521.581017 s1设有一立方体反应堆，边长a 9 m. 中子通量密度分布为：xy z (x,y,z) 31013 cos()cos cos(cm2 s1)a b c D 0.84102 mL 0.175m. 试求：J(r的表达式；从两端及侧面每秒泄露的中子数；每秒被吸收的中子数（设外推距离很小，可略去。解：有必要将坐标原点取在立方体的几何中

6、心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见，不妨设0 31013 cm2s1 。（1） 利用斐克定律：J(r) J(x, y,z) Dgrad(x, y,z) D( i jk) Dxyy xyzyxzzxsin()cos()cos()isin()cos()cos()jsin()cos()cos()k0a J(r) J(r)abcbaccabxyzsin2()cos2()cos2(yxzn2()cos2()cos2(zxyn2()cos2()cos2(aabcbaccabDD0)LJ(r)kdS D a/2 dxaxysin()cos()cos()dyZa 2S(za/2)0 aa/22ab

7、ax ay s i n (a/ 2 s i n a /40 a aa / 2a a/ 2a0同理可得，六个面上的总的泄漏率为：9L 6 4240.842 1 10.7100 a3. 14其中，两端面的泄漏率为：L3 5.81016 s1;侧面的泄漏率为：L L3 1.21017 s1（如果有同学把问题理解为“六个面”上的总的泄露，也不算错）（3）L2 D /aa D/L2由于外推距离可忽略，只考虑堆体积内的吸收反应率：a/ 2a / 2a/ 2xy z D2a R dV dV D/L2cos()coscosdz ()3VaVaa/2a b c L200.841022931013 ()31.24

8、1020 s10.17523.14圆柱体裸堆内中子通量密度分布为z 2.405r (r,z) 1016 cosJ(cm2 s1) H 0 RH , R 为反应堆的高度和半径（假定外推距离可略去不计。试求：径向和轴向的平均中子通量密度和最大中子通量密度之比；每秒从堆侧表面和两个端面泄露的中子数；H 7mR 3m ,反应堆功率为10MW, 5f的装载量。解：41b25E 0.0253eV 时的铍和石墨的扩散系数。3 E 0.0253eV 的中子：s/ms/m110BeC8.653.850.92590.9444DDtr s0.0416m33(10)3s(1 )0同理可得，对于C ： D 0.0917

9、m=4.510-2靶和a=4.8sL 和吸收自由程因。，比较两者数值大小，并说明其差异的原a：计算T 235K, 802kg / m3 时水的热中子扩散长度和扩散系数。79 3-2 293K D 0.0016m，由定义可知： (T)/31/(T)N(293K)(293K)(293K)D(293K)所以:tr(293K)/3tr1/ ss(293K)s(T)DT (293K)D(293K)/ 0.00195m56 页（2-81）式计算：TT10.462Aa(kTM)T10.462Aa(kT)MnM M ss其中，介质吸收截面在中子能量等于kTM 7.281021 J 0.0461eV再利用“1/

10、 v ”律： (kT) (0.0253) 0.0253 0.04610.4920baMaT 535(10.46360.4920 /103) 577Kn（若认为其与在0.0253eV 时的值相差不大，直接用0.0253eV 热中子数据计算：T 535(10.46360.664/103) 592Kn这是一种近似结果）57 页的（2-88）式 (0.0253)293 (0.0253)293a1.128592 Naa 0.4141028 m2NNsss (293K)sN(293K) (293K)s N(293K) (293K ) (293K)s 802/ (310000.00160.676) 247m

11、10s(293K)3(293K)D(293K)(1 )0131.112470.6761131.112470.6761 as03-15 Ss 1 P P12点的中子通量密度和中子流密度。设有一强度为I(m2 s1) 的平行中子束入射到厚度为a 的无限平板层上。求：中子不遭受碰撞而穿过平板的概率;平板内中子通量密度的分布;中子最终扩散穿过平板的概率。解1）I(a)/I0 exp( a)t此情况相当于一侧有强度为I x 原点的一维坐标系，则扩散方程为：d2(x) (x)0,x 0dx2L2边界条件（）.limJ(x) Ix0（2）.limJ(a) 0 xax方程的普遍解为： (x) Aex/L Ce

12、x/L由边界条件（1）可得：d11DdxlimJ(x) lim(Ddxx0 x0) limDAx0 ILL ex/L CLex/L L (AC) I A D C由边界条件（2）可得：(a)1d(x)Aea/L Cea/LAea/L Cea/LlimJ(a) 0 xax46trdxxa46L tr所以： A23Ltr23LtrCe2a/LL2D L2D Ce2a/LL2DILIL1L 2D Ce2a/L D C DDL22DL e2a/L 122DLIL1IL2DL e2a/L AD(12DL) D2DL2DL e2a/L 12DLIL2DL e2a/L2DL e2a/L 11(x)D (2DL

13、2DL e2a/L 1ex/L DL22DL e2a/L 12ex/L)IL L2De(ax)/L (2DL)e(ax)/L D (L 2D)ea/L (2D L)ea/LX a处单位面积的泄漏率与源强之比：(L2D) 1(L2D) 1JJ(a)J(a)J(a)D d(x)LLx xa x LIIIIdxxa(L 2D)ea/L(L2D)ea/L4D(L 2D)ea/L (L 2D)ea/L设有如图6 所示的单位平板“燃料栅元a,栅元厚度为b，假定热中子在慢化剂内据黁分布源（源强为S ）出现。在栅元边界上的中子流为零（即假定栅元之间没有中子的净转移。试求：屏蔽因子Q ，其定义为燃料表面上的中子

14、通量密度与燃料内的平均中子通量密度之比；中子被燃料吸收的份额。1）何条件喜爱，对于所要解决的问题，我们只需要对x 0的区域进行讨论。d 2(x) (x)dx2L20,0 xa边界条件）.limJ(x)0 x0（2）.lim(x) Sx0通解形式为：(x A co s x( /s in h(J(x) D d (x) DAxCx dxLsinh(L)L cosh(L)代入边界条件1：DAx 0C 0C s)s )L代入边界条件2：LLL LaaaAcosh()Csinh() Acosh()S AaaaLLLcos(a/ L)所以： dVadx1Saax1 SLsinh(a/ L)SLaFFdVF0

15、dx0a cosh(a/ L)cosh()dxtan()a0Lacosh(a/ L)aLaScosh(a/ L)(a)cosh(a/ Qcot()FSL tan(a/ L)La/燃料和慢化剂内总的中子吸收率料和慢化剂的宏观吸收截面分别为F 和M，则有：a F dVa F dVa F a F Ltan(a/ L)Fa0aaFa F dV M dVa F dV a M dVF Ltanh(a/L)M ba)SF Ltan(a/L)M ba)FaMa0a0aaaaL2 a aL D / LF Ltan(a/ L)Dtan(a/ L)aF Ltan(a/ L)M (ba)Dtan(a/ L)LM (b

16、a)aaa（这里是将慢化剂中的通量视为处处相同，大小为S ，其在b 处的流密度自然为 0，但在a 处情况特殊：如果认为其流密度也为0，就会导致没有向燃0 型，应理解其求解的目的，不要严格追究每个细节）在一无限均匀非增值介质内，每秒每单位体积均匀地产生S 个中子，试求：（1）介质内的中子通量密度分布；（2）x 0处插入一片无限大的薄吸收片（厚度为t ,宏观吸收截面为a，证明这时中子通量密度分布为(x)S1 te x Laaat (2D / L)（提示：用源条件limJ(x) t (0)/2）x0a解）建立以无限介质内任一点为原点的坐标（对此问题表达式比较简单，建立扩散方程：SD2 S2 a Sa

17、DD边界条件：1.0 ,2.J(r)0,0 r 设存在连续函数 (r) 满足：2 2（1）Sa S1 （2）DD2可见，函数 (r) 满足方程2 1 ，其通解形式：L2 (r) Aexp(r / L) C exp(r / L)rr由条件（1）C 0,由方程（2）可得：(r) (rS /a2 A 0，所以： S / Aexpr / LS /aa（实际上，可直接由物理模型的特点看出通量处处相等这一结论，进0）（2）此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，想考虑正半轴，建立扩散方程：D2 S2Sa,x 0aDD0 ,ii.limJ(x)t (0)/2,iii.limJ(x)0 xx0a对

18、于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度内通量的畸变。参考上一问中间过程，可得通解形式： (x) Aexp(x / L)Cexp(x/ L)S /adADCDJ(x)D dx ii 可得：LLex/LADCDtStLSlimJ(x)x0LL a(AC 2)C Aa2D (AC )aiii C 0tLSSA a2D (A ) A a2D1tLaaSSS(x)ex/L 1 tex/La2Dt (2D / L)tLa1aaa对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。假设源强为S(cm2 s1 ) 的无限平面源放置在无限平板介质内，源强两侧平板距离分别为a 和b（图，试求介质内的中子通量密度分布（提示

19、：这是非对称问题，x ）中子通量密度连续；lim(J (x)J (x)S0 x0 x0解：以源平面任一一点味原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程：12(x)1 (x),x 0L21122(x)L2(x),x 0边界条件：i.lim (x) lim(x);.limJ(xJ (x) S ;x01x00 x0 x0iii. 1通解形式：(a)0;iv. 1(b) 0; A sinh(x / L)C11cosh(x / L),2 A sinh(x / L)C2cosh(x / L)由条件iC C12（1）ii:ddD xxxx 1lim(D dx D d2 )lim L A cosh(L)C sinh

20、(L) A cosh(L)C sinh(L)S1x0 x01122SLSL ADA A1 A 2D（2）iii，iv:A sinh(a / L)C11cosh(a / L) 0 C1cosh(a / L) A1sinh(a / L)(3)A sinh(b / L)C22cosh(b / L) 0C2cosh(b/ L) A2sinh(b/ L)(4)联系（1）A1 A2tanh(b / L)/ tan(a / L)结合（2）可得：SLDA D2 A A2tanh(b / L)/ tan(a / L) A2SL/ DSL/ D1tanh(b/ L)/ tan(a / L)11tanh(a / L)/ tan(b/ L)C C12 A1tanh(a/ L)SL tanh(a / L)tanh(b / L) / Dtanh(a / L) tanh(b / L)所以：D (x) SL tanh(b / L)sin(x / L)tanh(a / L)tanh(b / L)cosh(x / L),x 0Dtanh(b/ L)tanh(a / L)(x) SL tanh(a/ L)sin(x/ L)tanh(a/ L)tanh(b/ L)cosh