CHAP4 随机变量的数字特征

1、CHAP4 随机变量的数字特征14.1 数学期望定义4.1 设离散型随机变量的分布律为若则称 的和为随机变量的数学期望,简称期望或均值，记为 即 4.1.1 离散型随机变量的数学期望例 设X服从参数为p 的（0-1）分布，E(X). 解 X 的分布律为 因此例 X b (n, p), 求 E(X)解：X 的分布律为令l=k -1例 求E(X ),其中解 X 的分布律为解例4.1.2 连续型随机变量的数学期望 定义4.2 设连续型随机变量X的密度函数为f (x)若则称积分的值为随机变量的数学期望，即记为注意 不是所有的随机变量都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期

2、望不存在!Augustin-Louis Cauchy1789 - 1857例 设XU(a, b),求E(X)解 X 的密度函数为即数学期望位于区间(a, b)的中点例 求随机变量X的分布，其中解 X 的密度函数为4.1.3 随机变量函数的数学期望例 某项任务完成所需时间X（单位：天）服从正态分布N(100,25),奖金办法规定：该项任务若在 100天完成，则得奖金10000元；若在100天至115天内完成，则得奖金1000元；若完成时间超过115天，则罚款5000元，试求完成该项任务获得的平均奖金数 解 设Y为完成该项任务所获奖金数，由题意知， Y是X的函数，即，得故Y 的分布律为 Y -50

3、00 1000 10000概率0.0013 0.4987 0.5E(Y)5492.2元定理4.1 设Y是随机变量X的函数：Yg (X)（g是连续函数）（1）X是离散型随机变量，它的分布律为则有（2）X是连续型随机变量，它的密度函数为f (x)则有推论4.1 设Z是随机变量X,Y的函数, Z=g (X, Y)（g是连续函数），那么，Z是一个一维随机变量（1）若二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为，则有（2）若二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数为 f (x ,y),且例 设随机变量XU (a, b)，求E (Y ) .解 X的密度函数为例 设，求注意到，解例例 设二维随机变量(X,Y)的密度

4、函数为求a，E(X)，E(Y)，和E(XY)得a1从而(X,Y)的密度函数为例 设(X,Y)服从0,a0,a上的均匀分布,求E|X-Y|.aay=xXY0 x-y0 x-y0S1S2解4.1.4 数学期望的几个重要性质（3）设X，Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)（1）设C是常数，则有E(C)=C（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)（4）设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)注意 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpiX Y P -1 0

5、1但是解例4.2 方 差4.2.1 方差与标准差定义4.3 设X是一随机变量，若存在，则称为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即是与随机变量X具有相同量纲的量，称为X的标准差或均方差，记为 随机变量X的方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度它是衡量X取值分散程度的一个尺度对于离散型随机变量X，若其分布律为则对于连续型随机变量X，若其密度函数为f(x)则定理4.2 若随机变量X的方差存在，则有证明例 设随机变量X具有数学期望解 称为的标准化变量例 设随机变量X(1,p)，其分布律为解 例 设解例 设解 X 的密度函数为4.2.2 方差的性质（1）设C是常数，则D(C)=0（3）设X，Y是两

6、个随机变量，则有特别，若X，Y相互独立，则有（2）设X是随机变量，C是常数，则有（4）D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C，即显然，这里C=E(X)分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布4.3 协方差和相关系数4.3.1 协方差与相关系数的概念与性质定义4.4 若EX-E(X)Y-E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X, Y)即Cov(X, Y) EX-E(X)Y-E(Y)定理4.3 对于任意两个随机变量X与Y， 假设Cov(X, Y)，D(X), D(Y)都存在，则下列各式成立定义4.5称为随机变量X和Y的相关系数。 相关系数是一个无量纲的量。定理4.4 设随机变量X和Y的相关系数存在，则4.3.2 相互独立与不相关的关系定理4.5 设随机变量X与Y的相关系数存在，若X