平面向量的概念及线性运算平面向量、复数高考专题辅导

1、第一节平面向量的概念及线性运算核心素养立意下的命题导向1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养2结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养3结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养理清主干知识1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量，可在平面内自由平移零向量长度为eq avs4al(0)的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于eq avs4al(1)个单位的向量非零向量a的单位向量为eq f(a,| a |)平行向量方向相同或相反的

2、非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a的方向与a的方向相同；当1，因为eq o(OC,sup7()eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()，所以meq o(OD,sup7()eq o(OA,sup7()eq o(OB

3、,sup7()，即eq o(OD,sup7()eq f(,m)eq o(OA,sup7()eq f(,m)eq o(OB,sup7().又知A，B，D三点共线，所以eq f(,m)eq f(,m)1，即m，所以1，故选B.二、创新考查方式领悟高考新动向1已知平面上点O与线段AB，若线段AB上有n(n1)个异于端点A，B的互异动点P1，P2，Pn，且满足eq o(OPK,sup7()Keq o(OA,sup7()Keq o(OB,sup7()，K，KR,1Kn，KZ，则(12n)(12n)的取值范围是()A(0，eq f(1,2n) B(0，eq f(1,4n)C(0，eq f(1,4n) De

4、q f(1,4n)，)解析：选B因为(eq f(ab,2)2abeq f(a22abb2,4)eq f(ab2,4)0，所以ab(eq f(ab,2)2对任意a，bR均成立，并且当且仅当ab时等号成立由于PK，A，B共线，所以KK1，由于PK在线段AB上且异于端点A，B，结合eq o(OPK,sup7()Keq o(OA,sup7()Keq o(OB,sup7()以及平行四边形法则可知K0，K0.若KKeq f(1,2)，此时PK为线段AB的中点，仅有1点，但n1，所以0(12n)(12n)(11)(22)(nn)(eq f(11,2)2(eq f(22,2)2(eq f(nn,2)2eq f

5、(1,4n)，故选B.2.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF2AF，则()Aeq o(AD,sup7()eq f(2,13)eq o(AC,sup7()eq f(9,13)eq o(AB,sup7() Beq o(AD,sup7()eq f(2,9)eq o(AC,sup7()eq f(1,27)eq o(AB,sup7(

6、)Ceq o(AD,sup7()eq f(3,13)eq o(AC,sup7()eq f(9,13)eq o(AB,sup7() Deq o(AD,sup7()eq f(2,13)eq o(AC,sup7()eq f(6,13)eq o(AB,sup7()解析：选C由题意知eq o(AD,sup7()3eq o(AF,sup7()，eq o(CF,sup7()3eq o(CE,sup7()，eq o(BE,sup7()3eq o(BD,sup7()，则eq o(AD,sup7()3eq o(AF,sup7()3(eq o(AC,sup7()eq o(CF,sup7()3eq o(AC,sup7

7、()9eq o(CE,sup7()3eq o(AC,sup7()9eq o(CB,sup7()9eq o(BE,sup7()3eq o(AC,sup7()9(eq o(AB,sup7()eq o(AC,sup7()27eq o(BD,sup7()6eq o(AC,sup7()9eq o(AB,sup7()27(eq o(AD,sup7()eq o(AB,sup7()6eq o(AC,sup7()18eq o(AB,sup7()27eq o(AD,sup7()，所以eq o(AD,sup7()eq f(3,13)eq o(AC,sup7()eq f(9,13)eq o(AB,sup7().3.窗

8、的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形P1P2P8的中心，P1P8x轴，现用如下方法等可能地确定点M：点M满足2eq o(OM,sup7()eq o(OPi,sup7()eq o(OPj,sup7()0(其中1i，j8且i，jN*，ij)，则点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为()A.eq f(3,5) Beq f(3,7)C.eq f(3,8) Deq f(2,7)解析：选D由题意可知eq o(OPi,sup7()eq

9、o(OPj,sup7()所有可能结果有：eq o(OP1,sup7()eq o(OP2,sup7()，eq o(OP1,sup7()eq o(OP3,sup7()，eq o(OP1,sup7()eq o(OP4,sup7()，eq o(OP1,sup7()eq o(OP5,sup7()，eq o(OP1,sup7()eq o(OP6,sup7()，eq o(OP1,sup7()eq o(OP7,sup7()，eq o(OP1,sup7()eq o(OP8,sup7()，eq o(OP2,sup7()eq o(OP3,sup7()，eq o(OP2,sup7()eq o(OP4,sup7()，e

10、q o(OP2,sup7()eq o(OP5,sup7()，eq o(OP2,sup7()eq o(OP6,sup7()，eq o(OP2,sup7()eq o(OP7,sup7()，eq o(OP2,sup7()eq o(OP8,sup7()，eq o(OP3,sup7()eq o(OP4,sup7()，eq o(OP3,sup7()eq o(OP5,sup7()，eq o(OP3,sup7()eq o(OP6,sup7()，eq o(OP3,sup7()eq o(OP7,sup7()，eq o(OP3,sup7()eq o(OP8,sup7()，eq o(OP4,sup7()eq o(OP

11、5,sup7()，eq o(OP4,sup7()eq o(OP6,sup7()，eq o(OP4,sup7()eq o(OP7,sup7()，eq o(OP4,sup7()eq o(OP8,sup7()，eq o(OP5,sup7()eq o(OP6,sup7()，eq o(OP5,sup7()eq o(OP7,sup7()，eq o(OP5,sup7()eq o(OP8,sup7()，eq o(OP6,sup7()eq o(OP7,sup7()，eq o(OP6,sup7()eq o(OP8,sup7()，eq o(OP7,sup7()eq o(OP8,sup7()，共有28种点M(异于点O

12、)落在坐标轴上的结果有：eq o(OP1,sup7()eq o(OP4,sup7()，eq o(OP1,sup7()eq o(OP8,sup7()，eq o(OP2,sup7()eq o(OP3,sup7()，eq o(OP2,sup7()eq o(OP7,sup7()，eq o(OP3,sup7()eq o(OP6,sup7()，eq o(OP4,sup7()eq o(OP5,sup7()，eq o(OP5,sup7()eq o(OP8,sup7()，eq o(OP6,sup7()eq o(OP7,sup7()，共有8种，所以点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为Peq f(8,28)eq f

13、(2,7).故选D.eq avs4al(课时跟踪检测)一、基础练练手感熟练度1(多选)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为，下列四个条件中，使eq f(a,|a|)eq f(b,|b|)成立的充要条件是()Aab B0Ca2b D解析：选BCeq f(a,|a|)eq f(b,|b|)等价于非零向量a与b同向共线，即0，故B正确对于选项C，a2b，则a与b同向共线，故C正确2设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq o(EB,sup7()eq o(FC,sup7()()Aeq o(AD,sup7() Beq f(1,2)eq o(AD,sup7()C.eq f(1,2)e

14、q o(BC,sup7() Deq o(BC,sup7()解析：选A由题意得eq o(EB,sup7()eq o(FC,sup7()eq f(1,2)(eq o(AB,sup7()eq o(CB,sup7()eq f(1,2)(eq o(AC,sup7()eq o(BC,sup7()eq f(1,2)(eq o(AB,sup7()eq o(AC,sup7()eq o(AD,sup7().3设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是()Aa与a的方向相反 Ba与2a的方向相同C|a|a| D|a|a解析：选B对于A，当0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反；B正确；对于C，|a|a

15、|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定；对于D，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小4.如图，在正六边形ABCDEF中，eq o(BA,sup7()eq o(CD,sup7()eq o(EF,sup7()()A0 Beq o(BE,sup7()Ceq o(AD,sup7() Deq o(CF,sup7()解析：选D由题图知eq o(BA,sup7()eq o(CD,sup7()eq o(EF,sup7()eq o(BA,sup7()eq o(AF,sup7()eq o(CB,sup7()eq o(CB,sup7()eq o(BF,sup7()eq o(CF,sup7

16、().5在ABC中，O为ABC的重心，若eq o(BO,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(AC,sup7()，则2()Aeq f(1,2) B1C.eq f(4,3) Deq f(4,3)解析：选D如图，延长BO交AC于点M，点O为ABC的重心，M是AC的中点，eq o(BO,sup7()eq f(2,3)eq o(BM,sup7()eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq o(BA,sup7()f(1,2)eq o(BC,sup7()eq f(1,3)eq o(BA,sup7()eq f(1,3)eq o(BC,sup7()eq f(1,3

17、)eq o(AB,sup7()eq f(1,3)(eq o(AC,sup7()eq o(AB,sup7()eq f(2,3)eq o(AB,sup7()eq f(1,3)eq o(AC,sup7()，又eq o(BO,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(AC,sup7()，eq f(2,3)，eq f(1,3)，2eq f(4,3)，故选D.二、综合练练思维敏锐度1已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m4a5b与n2ab共线，则实数的值为()A5 B3C.eq f(5,2) D2解析：选Ca，b是非零向量，且互相垂直，4a5b0，m0.m，n共线，nm，即2ab(4a5b)，e

18、q blcrc (avs4alco1(24，,5.)解得eq f(5,2).2设平面向量a，b不共线，若eq o(AB,sup7()a5b，eq o(BC,sup7()2a8b，eq o(CD,sup7()3(ab)，则()AA，B，D三点共线 BA，B，C三点共线CB，C，D三点共线 DA，C，D三点共线解析：选Aeq o(AB,sup7()a5b，eq o(BC,sup7()2a8b，eq o(CD,sup7()3(ab)，eq o(AD,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(BC,sup7()eq o(CD,sup7()(a5b)(2a8b)3(ab)2(a5b)2eq o(

19、AB,sup7()，eq o(AD,sup7()与eq o(AB,sup7()共线，即A，B，D三点共线3已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2eq o(OP,sup7()2eq o(OA,sup7()eq o(BA,sup7()，则()A点P在线段AB上B点P在线段AB的反向延长线上C点P在线段AB的延长线上D点P不在直线AB上解析：选B因为2eq o(OP,sup7()2eq o(OA,sup7()eq o(BA,sup7()，所以2eq o(AP,sup7()eq o(BA,sup7()，所以点P在线段AB的反向延长线上4(多选)在ABC中，点E，F分别是边BC和AC

20、的中点，P是 AE与BF的交点，则有()Aeq o(AE,sup7()eq f(1,2)eq o(AB,sup7()eq f(1,2)eq o(AC,sup7() Beq o(AB,sup7()2eq o(EF,sup7()Ceq o(CP,sup7()eq f(1,3)eq o(CA,sup7()eq f(1,3)eq o(CB,sup7() Deq o(CP,sup7()eq f(2,3)eq o(CA,sup7()eq f(2,3)eq o(CB,sup7()解析：选AC如图，根据三角形中线性质和平行四边形法则知，eq o(AE,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(BE,s

21、up7()eq o(AB,sup7()eq f(1,2)eq o(BC,sup7()eq o(AB,sup7()eq f(1,2)(eq o(AC,sup7()eq o(AB,sup7()eq f(1,2)(eq o(AC,sup7()eq o(AB,sup7()，A是正确的；因为EF是中位线，所以eq o(AB,sup7()2eq o(FE,sup7()，B是错误的；设AB的中点为G，则根据三角形重心性质知，CP2PG，所以eq o(CP,sup7()eq f(2,3)eq o(CG,sup7()eq f(2,3) eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(eq o(CA,

22、sup7()eq o(CB,sup7()eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(eq o(CA,sup7()eq o(CB,sup7()，所以C是正确的，D错误5设向量a，b不共线，eq o(AB,sup7()2apb，eq o(BC,sup7()ab，eq o(CD,sup7()a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A2 B1C1 D2解析：选B因为eq o(BC,sup7()ab，eq o(CD,sup7()a2b，所以eq o(BD,sup7()eq o(BC,sup7()eq o(CD,sup7()2ab.又因为A，B，D三点共线，所以eq o(AB,su

23、p7()，eq o(BD,sup7()共线设eq o(AB,sup7()eq o(BD,sup7()，所以2apb(2ab)，所以22，p，即1，p1.6(多选)已知向量eq o(OA,sup7()(1，3)，eq o(OB,sup7()(2,1)，eq o(OC,sup7()(t3，t8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为()A2 Beq f(1,2)C1 D1解析：选ABD若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，故向量eq o(AB,sup7()，eq o(BC,sup7()不共线由于向量eq o(OA,sup7()(1，3)，eq o(OB,sup7()(2,1)，

24、eq o(OC,sup7()(t3，t8)，故eq o(AB,sup7()eq o(OB,sup7()eq o(OA,sup7()(3,4)，eq o(BC,sup7()eq o(OC,sup7()eq o(OB,sup7()(t5，t9)，若A，B，C三点不共线，则3(t9)4(t5)0，t1.7已知点O为ABC的外接圆的圆心，且eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()eq o(CO,sup7()0，则ABC的内角A等于()A30 B45C60 D90解析：选A由eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()eq o(CO,sup7()0，得eq o(OA,sup7

25、()eq o(OB,sup7()eq o(OC,sup7()，由O是ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且CAO60，故CAB30，选A.8已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为()A1 Beq f(1,2)C1或eq f(1,2) D1或eq f(1,2)解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有eq blcrc (avs4alco1(k，,2kk1，)整理得2210，解得1或eq f(1,2).又因为k0，所以0，故eq f(

26、1,2).9在ABC中，D为ABC所在平面内一点，且eq o(AD,sup7()eq f(1,3)eq o(AB,sup7()eq f(1,2)eq o(AC,sup7()，则eq f(SBCD,SABD)()A.eq f(1,6) Beq f(1,3)C.eq f(1,2) Deq f(2,3)解析：选B如图，由已知得，点D在ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有SABDeq f(1,2)SABC，SACD eq f(1,3)SABC，SBCDeq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,3)SABCeq f(1,6)SABC，所以eq f(SBC

27、D,SABD)eq f(1,3).10.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量eq o(OA,sup7()相等的向量有_个解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量eq o(OA,sup7()相等的向量有eq o(CB,sup7()，eq o(DO,sup7()，eq o(EF,sup7()，共3个答案：311.如图，在ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且eq o(AD,sup7()eq o(AE,sup7()xeq o(AB,sup7()yeq o(AC,sup7()，则eq f(1,x)eq f(4,y)的最小值为_

28、解析：易知x，y均为正数，设eq o(AD,sup7()meq o(AB,sup7()neq o(AC,sup7()，eq o(AE,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(AC,sup7()，B，C，D共线，mn1，同理，1.eq o(AD,sup7()eq o(AE,sup7()xeq o(AB,sup7()yeq o(AC,sup7()(m)eq o(AB,sup7()(n)eq o(AC,sup7()，xymn2.eq f(1,x)eq f(4,y)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)(xy)eq f(1,2)eq blc(rc

29、)(avs4alco1(5f(y,x)f(4x,y)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(52 r(f(y,x)f(4x,y)eq f(9,2)，当且仅当y2x时等号成立，则eq f(1,x)eq f(4,y)的最小值为eq f(9,2).答案：eq f(9,2)12在ABC中，P为BC的中点，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ceq o(AC,sup7()aeq o(PA,sup7()beq o(PB,sup7()0，则ABC的形状为_解析：在ABC中，P为BC的中点，eq o(PA,sup7()eq f(1,2)(eq o(AB,sup7()eq o(AC,su

30、p7()，又ceq o(AC,sup7()aeq o(PA,sup7()beq o(PB,sup7()0，eq o(PB,sup7()eq f(1,2)eq o(CB,sup7()eq f(1,2)(eq o(AB,sup7()eq o(AC,sup7()，ceq o(AC,sup7()eq f(1,2)a(eq o(AB,sup7()eq o(AC,sup7()eq f(1,2)b(eq o(AB,sup7()eq o(AC,sup7()0，eq blc(rc)(avs4alco1(cf(ab,2)eq o(AC,sup7()eq f(ab,2)eq o(AB,sup7()0，即eq blc

31、(rc)(avs4alco1(cf(ab,2)eq o(AC,sup7()eq f(ab,2)eq o(AB,sup7()，又eq o(AB,sup7()，eq o(AC,sup7() 不共线，eq blcrc (avs4alco1(f(ab,2)0，,cf(ab,2)0，)解得abc，ABC为等边三角形答案：等边三角形13在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2eq r(3)，BC2，点E在线段CD上，若eq o(AE,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(AB,sup7()，则的取值范围是_解析：由题意可求得AD1，CDeq r(3)，eq o(AB,sup7()2eq o

32、(DC,sup7().点E在线段CD上，eq o(DE,sup7()eq o(DC,sup7() (01)eq o(AE,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(DE,sup7()，又eq o(AE,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()2eq o(DC,sup7()eq o(AD,sup7()eq f(2,)eq o(DE,sup7()，eq f(2,)1，即eq f(,2).01，0eq f(1,2)，即的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(0，f(1,2).答案：eq blcrc(avs4alco1(0，f(1,2)14如图，O，A，B三点不共线，eq o(OC,su