高等数学第九章课外习题

1、第九章习题A组1lim xy 00 x 2 y 2 sinxy 1 是（）（A）；（B）1；（C）0；（D）振荡地不存在z2u y x,就 u （）xz z z z（A）z2 y x 1；（B）12 y x 1；（C）z2 y x ln y；（D）12 y x ln yx x x x3设 w f x y g x h x y ,其中 f g h 均为可微函数, 就 w =（）x（A）f g h x；（B）f x g h x；（C）f x g h x；（D）f x g f g h x4设 z f x y , x y y ,其中 f , 是可微函数,就 dz（）dx（A）f x 1（B）f x f

2、y（C）fx 1 y（D）f x f y 1 y1 y 1 y5设 z ln x 2y 2,就 dz | ,1 1 （）（A） dx dy ；（B）1 dx dy ；（C）dx2 dy2；（D）0 2 x y6如 e z xy z,就 z （）y（A）xe z；（B）x 1 e z；（C）z x；（D）1 e ze 17曲线 x sin 2 t , y sin t , z cos t 在相应于 t 的点处一个切线向量41 与 z 轴正方向成锐角,就此向量与y 轴正向的夹角余弦为（）；）（A）1；（B）1 ；（C）22；（D）22228曲面zx2y2在点 1,2,5 处的切平面方程为（）（A）2

3、x4yz11；（B） 2x4yz5；（C）2x4yz15（D） 2x4yz59函数u32 x y22y4x6z 在原点沿uur OA2,3,1的方向导数为（A）8；（B）8；（C）8；（D）814614610设u2xyz2,就 u 在点 2,1,1处的方向导数的最大值为（）（A）26；（B）4；（ C）22；（D）24 11如fx ,yxy21 arcsinx,就xf21,= y12函数z1lnxy 的定义域为13设zexytany,就z_xy14. 设zf1x y,其中 fu 可导,就zxx15设zyx,而yx是可导的正值函数,就dzdx16设ze3x2y,而xcos ,y2t, 就dz =

4、 dt2 17设 z f u ,u xy y,f u 可导,就 z = x y2y18. 设 u x,就 du19. 已知 u e xyx sin 2 y 1 , 就 du _z20. 设函数 u xy ,就 du 1,2,121. 设 z f x 2y 2, e xy,就 dz22. 已知 z z x y 是由 x y z e z 0 所确定,就 zx23. 设 x x y , z 由方程 arctan xe z ye z 1 确定,就 xz24. 由 方 程 xyz x 2y 2z 22 所 确 定 的 函 数 z z x y 在 点1,0, 1 处的全微分 dz 1,0, 1 _25设

5、z 3 2 xz y 0 确定了 z z x , y ,就 dz ,0 ,1 1 = 26. 曲线 x 2 , t y sin , t z cos3 t 在 0,0,1 处切线的方程为 _27曲线 x e t cos t y e t sin t z 2 e t在相应于 t 0 点处的切线方程为28. 曲线xy2上点 1, 1,1 处的法平面方程是6所确定,就此曲线在点zx229. 曲线yyx由方程组x2y2z2zz x 222xyz42,1,1处的切线方程为 _ 3 30. 曲面x22y23z212在点 1,2,1 处的切平面方程为4y3z131. 曲面zarctan y x在点P1,1,4处

6、的切平面方程为32. 曲面x22y23z221,在点 1, 2,2 处的法线方程为33曲面zez2xy3在点,120,处的切平面与平面2x的相互关系为34. 已 知 曲 面 z 4 x 2y 2上 的 点 P 处 的 切 平 面 平 行 于 平 面2 x 2 y z 1 0,就点 P 的坐标是 _35设 1, 1,2 是曲面 z f x y 上一点,如 xf 1 , 1 3,在任一点 , x y 有 xf x x , y yf y x , y f x , y ,就曲面在这一点的切平面方程是_ 36. 曲面ax byczf x2y22 z在点M x y z 0处的法向量是 _ 37.uzarct

7、any在点A1,0,1处沿点 A指向点B3, 2,2方向的方向导x数为 _ 38. 函数uxyz在点 M 5,1,2 处沿点 5,1,2 到点 9,4,14 的方向的方向导数为 _ 39. 设ulnfx2yy2x2 z,就 grad u_ 在点A 1,2,3处的梯度是 _ 40ux22y 23z 2xy4x2y4 z41如函数x ,22axxy22y在点（ ,1）取得极值, 就常数 a4 42. 判定点P 1,0是否函数zx2xyy22xy的极值点 _ B组1设uxyz,就u,32,2（）ln32上的对应 P 点y（A）4ln3；（B）8ln3；（C）324ln3；（D）1622如曲线xtco

8、s t ,yt1,z1 sint 在 0t处的切线向量与三个坐标轴正向的夹角相等,就P 点对应的 t 值为 （A）0；（B）2；（C）2；（D）那点处的切线3曲线xsint ,ycos2t ,xsin cos t 在对应于 t与 xoy面的夹角是 （A）2；（B）4；（C）3；（D）arccos1）34函数zx3y 33 x23y2的微小值点是（A） 0,0 ；（ B） 2, 2 ；（C） 0, 2 ；（D） 2,025. 设 f x , y x y g x y , 如 f x 0, x,就 f x , y2 23 x 2 y 126. 由 曲 线 绕 y 轴 旋 转 一 周 得 到 的 旋

9、转 曲 面 在 点z 00, 3, 2 处指向外侧的单位法向量为 _.7. 设 z f xy y ,其中 f 可导,求 z , 2z . x x x y8. 设 f u v 二阶偏导数连续,z f e xsin y x y ,求 2 z . x y5 9. 设 z xf 2 , y 2, f 具有二阶连续的偏导数,求 2z. x x y210. 设 z f x 2y 2, xy , f 有二阶连续偏导,求 z ,zx x y11. 已知 w f 2 x y xy , f 有二阶连续偏导,求 2w . x y12. , 有连续二阶导数 , z 12 y ax y ax 12 y ax y axt

10、 dt, 2 2证明 : z2 a 2 z2 0 . x y2 213设 u yf xy xg yx ,其中 f , g 二阶连续可导,求 x 2 ux y 2 uy . 14设 f u , v 可微,f x 2 y 3 z , xyz 0 确定了 z z x , y ,求 z , z. x y15设方程 F xy , y z , xz 0 确定 z z x , y ,其中 F 可微,求 z , z. x y16设 x z , y z 0 确定 z z x , y ,其中 u , v 可微,求 z z . x y217如 e zxy z , 求 z , z .x x y18设由 xyz ln

11、yz 2 确定 z f x y ,求 yz 01, ,z yx 0,1 .19. 设 z z x y 是由 x 2y 2z 2xf x y确定的隐函数,f 可微,求 zx20设函数 z z x , y 是由 e x 2 y sin x z 0 所确定,求 dz . 6 21设 z f x , y 是由方程 z y x xe z x y所确定,求 dz. 22设函数 z z x , y 由 z f x y z 所确定, f 可导,f 1 求 dz. 23z z x , y 由 z g x , y 确定,g u , v 具有连续偏导数,求 dz. z z24. 设 u e yz 其中 3 xz z

12、 x y 是由方程 2 x y 3 e zxyz 0 所确定的隐函数,求 u x 1,1,0 . x 2 t25. 求曲线 y sin t 0 t 2 平行于平面 y z 1 的切线方程 . z cos tx 2 y 2 z 2 626. 求曲线 在点 M 01, 2,1 处的切线与法平面方程 . x y z 027在第一卦限内求曲面 z xy 上一点,使过该点的切平面垂直于平面2 x y 3 z 0,且与三个坐标面所围立体的体积为 1 . 628. 平面 Ax By z 是曲面 z 2 x 23 y 2在点 1 1 5, , 处的切平2 2 4面,求 . 29. 设平面 3 x 2 y z

13、1 与曲面 x 2y 2z 2xz 1 在点 0, 2, 22 2处的切平面垂直,求 . 2 2 230 设 方 程 xyz x y z 2 确 定 了 z z x , y , 求 曲 面z z x , y 在点 1,0, 1 处的法线方程 . 31. 过直线 10 x 2 y 2 z 27作曲面 3 x 2y 2z 2 27 的切平面,求此x y z 07 切平面的方程32证明：曲面xyz1上任一点处的切平面与三个坐标面所形成的四周体体积为常数 . 33证明：锥面zx2y23的全部切平面都通过锥面的顶点. 0的切平面总通过确定点 其中f u v34. 证明 : 曲面fx za c,ybzc可

14、微分 ,a b c 均为常数 . zxfy上任一点,试证明在这点处曲面的法35. 设Mx0,y0,z 0是曲面x线垂直于向径 OM ,其中f u v 是可导函数 . 36设曲面方程为 z ax f by cz a 0、b、c 都是常数）,f u 可微. 证明该曲面的任一切平面都与一常向量 A b , c b , 平行 . a37设曲面方程为 F z ax , z by 0,（a, b 为正常数）；F u , v 具有一阶连续偏导数, 且 F u F v 0；试证通过此曲面上任一点处的法线恒垂直于一常向量 A , , b a ab . 2 2 2 uuur38求函数 u ax by cz 在点

15、1,1,1 处沿向量 OP 方向的方向导数,并说明它是否为该函数在该点处的方向导数的最大值 . 39. 设 u f r , r x 2y 2z 2,其中 f 可微,求 gradu . 2 2 2 2 2 240. 在椭球面 2 x 2 y z 1 上求一点, 使函数 f x y z x y z在该点沿方向 l 1, 1,0 的方向导数最大,并求出最大值 . 41求函数 f x , y e 2 x x y 2 2 y 的极值 . 42. 求 a, b 的值,使积分 I 0 1 a bx x 2 2dx 的值最小 . 43分解已知正数 a 为 n 个正数之和,使它们的平方和最小 . 8 44设fs

16、inx,cosy1cosx 1cosy ,求fx ,y在单位圆内的22最大值和最小值 . 45求函数zx2y2在柱面x22y224上的最大值和最小值 . 46. 求函数zx22y23在闭区域x2y22上的最大最小值 . 47在过点 2,1,1 的全部平面中, 哪一个与三坐标面在第一卦限内围成的立体体积最小？48求椭圆 x 2 4 y 2 4 上一点,使之到直线 2 x 3 y 6 0 的距离最短 . 49求内接于椭圆 x 2 3 y 2 12 且底边平行于长轴,并且有最大面积的等腰三角形,求出它的最大面积 . 50求内接于半径为 a 的半球且有最大体积的长方体 . 51在平面 z 4 x 2

17、y 10 与曲面 x 2y 2 125 的交线上,求竖坐标取最大值和最小值的点 . 52. 求曲面 x + y + z =1 的一张切平面, 使其在三个坐标轴上的截距之积为最大,并写出切平面方程 . C组1函数z2fx ,y有zx22y,且fx,x21. 就fx,y（）y（A）1xyy2x2yy22x4；2x4；（B）1（C）1x2y2y22x4；（D）1x2yy22x4点处（）xx2y2,x2y20,就在,00f2设函数x ,y 4y0,x2y20（A）连续,偏导数存在；（B）连续,偏导数不存在；9 （C）不连续,偏导数存在；（ D）不连续,偏导数不存在 . 3设函数 f x , y 在点

18、0,0 邻近有定义,且 f x ,0 0 3,f y 0 0, 1,就（）. （A）dz 0 , 0 3 dx dy；（B）曲面 z f x , y 在点 0 , 0 , f 0 , 0 的法向量为 3, 1, 1；z f x , y （C）曲线 在点 0 0, , f ,0 0 的切向量为 1, 0, 3 ；y 0（D）曲线 z f x , y 在点 0 0, , f ,0 0 的切向量为 3, 0, 1. y 04. 已知函数 f x , y 在点 0,0 的某个邻域内连续 , 且 lim xy 00 f x x2 , y y 2 xy2 1 , 就（）A 点 0,0 不是 f x , y

19、 的极值点； B 点 0,0 是 f x , y 的极大值点；C 点 0,0 是 f x , y 的微小值点；D 依据所给条件无法判定点 0,0 是否为 f x , y 的极值点 . 5. 设函数 z f x y , 在点 1,1 处可微,且 f 1,1 1,xf 1,1 2,yf 1,1 3,又 f x f x x , ,求 d 3 . dx x 16. 设 函 数 f u 具 有 二 阶 连 续 导 数 ,z f e x cos 满 足2 2z2 z2 4 z e xcos y e 2 x,如 f 0 0,f 0 0,求 f u 的表x y达式 .7. 已知函数zz x y 由方程x2y2

20、zlnz2xy10确定,求zz x y 的极值 .10 8. 已知函数f x y , xyxy ,曲线C x2y2xy3,求f , 在曲线 C 上的最大方向导数 . 9设 z y 3y 2 2 xy x 2 1 x y ,试证：当 2时,函数 Z 有一个且仅有一个极值；又如 0 ,就该极值必为极大值 . 10.如函数 f x y 对任意正实数 t 中意 f tx ty t f x y n , ,就称 f , 为 n 次齐次函数 .设 f x y 是可微函数,证明 f , x y 为 n 次齐次函数的充分必要条件为 x f x y , y f x y nf , . x yD组1. 已知函数f x

21、 y 中意fxy , 2y1 e ,xxf ,02xn1 e ,xf0,yy22y ,求f x y 的极值 . ynxy. 2. 用多种方法证明：n,1x,0y0时成立xn2第九章习题解答A组1. C, 2.C , 3.D , 4.B , 5.A , 6.C , 7.A , 8.B , 9.B , 10.A , 11.1 , 12. x ,y 0 xye,13.1xy e2 secyxy xetany,14.11 yfxx y,15. xxxf2xx yyxlnyxyx1x, 16. 3 cos te2 t2 4 t3 sin t ,17. x1 x f xyy,x18. 2 yxy 2 1d

22、xy 22 yxlnxdy, 19.xy yesin2 y1 dxxy xe2 cos2 y1dy,20.2dxdyxy ye f2dx2yf 1xy xe f2dy,2ln2 dz,21. 2xf 111 1 2 2 z 122.1 e,23. x y 1 x e ,24. dx 2 dy,25. 32 dx dy ,26.2 x1 y z0 1,27. x1 1 y1 0 z2 2,28. 2 x y 4 z 7 0,29. x1 2 y2 1 z0 12 x y 5 y 2 z 2或z 1,30. x 4 y 3 z 12 0,31. x y 2 z 2 0,32. x 14 6,33.

23、 垂直, 34. 1,1,2,35. 3 x y z 0,36. a 2 x f x 0 2y 0 2z ,2b 2 y f x 0 2y 0 2z 20 ,c 2 z f x 0 2y 0 2z 0 2, 37. 23, 38. 13, 39. 98x 2 y 12 z 2 , , x y z,40. 0,11,14 ,41. 5,42. 是. B组1.（C）,由u yxyzlnx z yz1代入. 2. （D）,由 1sint1cost 解. 3. （B）,切向量 cos , sin 2 ,cos2 t 角为 4. 1,0,1 ,与 0,0,1 夹角 4 ,互余4.（B）,代入ACB236

24、x1y1分别检验 . y . 5.令y0得g x x2x,fx,yxy226. 曲面为32 x22 y2 3 z120,n6 ,4 ,6 0,3,20,4 3,6 2 ,单位化并取“ 朝上（第三个重量为正）” 的那个1 0, 52,3 . 7. zyyf,2z11fyyx1f. xx2xyx2x2x8.zxesinyf 1f ,x12 2zx ecosyf 1exx sin y ecosyf 11f12excosyf21f22. x y9.z2yf2,2z2z4yf2123 yf22. yx yy xx2xyf22.10.xz2xf1yf2,z xyf24xyf112x2y2f2111. 先求

25、出w yf1xf , 再得2w2w2f 11f22xy f 12xyf22. x yy xyax,12.z x1 2ayaxayax1 2ayaxa2 z2 x1 22 ayaxa2yax1 2a2yax2 ayax；z y1 2yaxyax1 2yaxyax,2z 21 2yaxyax1 2yaxyax,代入得y证. 13. uffgyg,ufxfg,xfyx2f,1g,xxyy2u1ygy 2 xg2 y3 xg,2 uxf2xy2 x2yy22 yy3x2uy2ux yx2f2y2 yg. ux23 zxyz）x22x2yyx2 xf14.zfuyzf,z yuxzf,（其中x3fuxy

26、f3fuxyf13 15. F x yF 1 zF ,F y xF 1 F F z F 2 xF ,F F x yF 1 zF 3,x F z F 2 xF 3F F y xF 1 F 2. y F z F 2 xF 316. 令 F x , y , z x z , y z , u x z , v y z,F x u,F y v,F z u v,z u,z v,z z 1 . x u v y u v x y17. e z zx y zx , zx 1 ye ,z e z zy x zy , zy 1 xe ,zx y 2z 1 e z1 e yez z2 1 xe z. 18. 将 x 0,

27、y 1 代 入 等 式 得 z e 2,xz xy z 1 z0,y z yz 1 1 zz y 0 1, 0,zy xy xz1z,y 2zx z xx xyxy z1z xz2 yz 2x,2zx 0 e 4 . y x y 019. 令 F x 2y 2z 2xf x y,F x 2 x f yx x y f yx,zF 2 z,z x 1 2 x f y f2 z x . 20.（留意此题和题 21、22 分别用了三种不同解法）. 设 F x , y , z e x 2 y sin x z ,F x e x 2 ysin x z e x 2 ycos x z ,F y 2 e x 2

28、ysin x z ,F z e x 2 ycos x z ,z 1 tan x z ,x14 z2 tan x z ,dz 1 tan x z dx 2 tan x z dy . yz x y21. z 1 e z x yxe z x y z 1,z 1 1 x ez x y,x x x 1 xez x yz 1 xe z x y z 1,z 1,dz 1 1 x ez x y dx dy . y y y 1 xe22. 两边微分得 dz f d x y z 即 dz f dx dy dz ,dz fdx f dy . 1 f 1 f23. 解法一：令 F x , y , z z g x ,

29、y ,u x, v y,F x 1g F y 1g v,z z z z z z1 zF z 1 2 xg u yg v ,dz 2 g u dx g v dy . z z xg u yg v 解 法 二 ： 两 边 对 x 偏 导 得 z x g u z xz2 x g v yz2 x, 解 出z zz x 2 zg u,两边对 x 偏导得 z y g u xz2 yg v z2 yz y,解出z xg u yg v z zz x 2 zg v,代入 dz z dx z dy . z xg u yg v 解法三：dz g u d x g v d y g u zdx2 xdz g v zdy2

30、ydz,解出 dz. z z z z24. u x 3 e 3 xyz e yz 3 xx e z 3x,由 2 x y 3 e zxyz 0 得z 32 3 e z x yz xyz x 0,点 1,1,0处的边 xz 1 故 u x 1,1,0 e . 25. 切向量 T 2,cos t 0 , sin t 0 ,T 0,1,1,切点为 , 2 , 2 和2 2 215 5 , 2 , 2 ,切 线 方 程 为 x2 y2 2 z2 2和2 2 2 2 2 2 2 2x 5 y 2 z 22 2 2 . 2 2 2 2 226. 切线：x 1 y 2 z 1,法平面 x z 0 .可用和题

31、 23 类似的三种1 0 1方法求解（求三个行列式、二式对 x 求导、二式求全微分）.27. 设 x 0 , y 0 , x 0 y 0 为所求点,切平面的法向量为 n y x 0 , 1,但n 2,1,3,得 2 y 0 x 0 3 0,切平面方程为 y 0 x x 0 x 0 y y 0 z x y 0 0,切平面在三坐标轴上的截距为：x 0 , y 0 , x 0 y 0,切平面与三坐标面所围立体的体积 V 16 x 0 2y 0 2,解 2x 0 2 yy 00 2 x 01 3,得第一卦限中曲面上的点为 1,1,1和 2, 1,1 . 228. 解：z4 x , z6 y,故法向量为

32、 4 .6 , 1 1 1 5, , 2,3, 1,于x y 2 2 4是,切平面为 2 x 1 3 y 1 z 5 0,即 2 x 3 y z 5,因2 2 4 4A B 1,故 5. 2 3 1 5 4429. n 2 x z ,2 ,2 z x 0,2,2 1 , 2, 2,2 2 23 1 2 2 2 0,1 . 2 216 30. 记 F x , y , z xyz x 2y 2z 2 2,Fx yzx 2 xy 2z 2,Fy xzx 2 yy 2z 2,Fz xyx 2 zy 2z 2,n 12 2, 2, 22 2 1, 2,1 ,所求法线方程为 x 1 y z 1 . 1 2

33、 131. 设 切 平 面 为 10 x 2 y 2 z 27 x y z 0,从6 x 0 2 y 0 2 z 0 得 y 0 z 0, 从 而 切 点 x 0 , y 0 , z 0 3,1,1 或10 2 23,17,17 ,切平面为 9 x y z 27 0 或 9 x 17 y 17 z 27 0 . 32. 任取切点 , , x y z ,xyz 1,切平面 yz X x xz Y y xy Z z ,0截 距 为 X * 33 x , Y * 33 y , Z * 33 z, 四 面 体 体 积 为yz xz xy1 * * * 9V X Y Z . 6 233. zx x,zy

34、 y,锥面上任一点 x 0 , y 0 , z 0 的切平面2 2 2 2x y x y方程为2 x 02 x x 0 2 y 02 y y 0 z z 0 0,即x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 x y 0 y z 0 3 z 3 0, 顶点 0 , 0 , 3 适合上面方程,故得证 . 34. 切平面的法向量 n z 1c f 1 ,z 1c f 2 , z xc a 2 f 1 z yc b 2 f 2 ,切平面z 1c f 1 X x z 1c f 2 Y y z xc a 2 f 1 z c y b 2 f 2 Z z 0, 点 , , , , ab c 适合方程,故得证 .

35、17 35. 法向量为 n y 0 y 0f y 0, f y 0, 1,OM uuur x 0 , y 0 , z 0 ,x 0 x 0 x 0 x 0n OM uuurx f y 0 y f y 0 y f y 0 z 0 0,即 n OM uuur（留意此题是x 0 x 0 x 0题 34 的特例,都是空间锥面）. 36. 令 F x y z , , ax f by cz z , 任 一 点 处 的 法 向 量 是n a,bf,cf 1,n A b bcf bcf b 0,即 n A ,所以曲面上任一点处的切平面与常向量 A平行 . 37. 设 G x , y , z F z ax ,

36、z by , 就 G x aF u,G y bF v,G z F u F v . 曲 面 法 向 量 n aF u , bF F u F v ,n A abF u abF v ab F u F v 0,所以 n A . （注：此题和题 36 实为同一类型, 一般地有“ 曲面 : F ax by cx bz 0 上任一点处的切平面2 2 2都与某常向量平行, 其中 a b c 为常数,a b c 0, F u v 有一阶连续的偏导数 . ” 这是柱面的特点 . ）38. grad u2ax by ,2cz |1,1,12 ,2 ,2 c ,. u2 ,2 ,2 1,1,12 abc ,该点处方向

37、导数的最大值为l3333grad u22 a2 b2 c . 39.ufrrfrx,ufrrfry,xxryyrufrrfrz,grad uuiujukf 1 , , f rxyzrrzzr40. 设点为P x y z , grad f2 ,2 ,2 z ,当射线方向与梯度方向一样时方18 2 x 2 y 2 z向 导 数 能 取 最 大 值 , 故 1 1 0, 得 P , 1 1 ,0, 此 时2 x 22 y 2z 21 2 2grad f 1, 1,0,最大方向导数 grad f 2 . 241. fe 2 x2 x 2 y 24 y 1,fe 2 2 y 2,f2 e 2 x4 x

38、4 y 28 y 4,x y x2 2f e 2 4 y 4,f2 2 e 2 x,得驻点为 1 , 1,A 2 e 0,B 0,y x y 2C 2 e ,AC B 20,故有微小值 f 1 , 1 e. 2 242. I 1 b 2a ab a 2,aI 2 a b 2,bI a 1,唯独驻点5 2 3 3 2a 1 b 1为所求 . 2 3n n n n43. 即求 u ix 2 在 x i a 下的最小值 . 令 f x i 2 x i a ,i 1 i 1 i 1 i 1n解 ixf 0,x i a,得 x i a , i 1,2, L , n . i 1 n44. 令 u sin

39、x, v cos y,就 f u , v 4 1 u 2 1 v 2,f u ,0 f v 0,2 2得 u v 0,令 F u , v 4 1 u 2 1 v 2 u 2v 2 1 ,F u F v u 2v 21 0,得 u v 1,所求最大值为 f 0 0, 4,2最小值为 f 1, 1 1 . 2 219 45. 令Fx,yx2y2x22y224,024得2yy0F xFyxF2 x2 x2,F y2 2. 解x22y2xy0和xy22,z0,0,z 22, 2 216.所求最大值为 16,最小值为 0. 46. z 2x 0,z 4y 0 圆柱内驻点 0,0 ,z 0,0 3 . 令

40、x yF x y , , x 22 y 23 x 2y 22,求出圆柱边界驻点 0 , 2 , 2 0, ,所以 z max z 2,0 1,z min z 0, 2 7 . 47. 解法一：设平面为 ax by cz 1,中意 2 a b c 1,V 1 1 1 1.6 a b c即求 f a b c , , abc 在 2 a b c 1 的最小值 . 令F a b c , , abc 2 a b c 1, 解 F a F b F c 2 a b c 1 0, 得1 1 1 x y za , b , c,所求平面为 1 . 6 3 3 6 3 3解法二： 设所求平面方程为 A x 2 B

41、y 1 C z 1 0,就求出三个截距得 V 1 2 A B C 2 A B C 2 A B C,记 a 2 A,6 A B C 2 A B Cb B,c C.原问题即求 1abc , a b c 1 的最2 A B C 2 A B C 3 V1大值 . 因 abc a b c 3,等号当且仅当 a b c 1时成立 . 从而3 32 A : B : C 1 : 1 : 1,所求平面为 x 2 2 y 1 2 z 1 0,即x 2 y 2 z 6 0 . 48. d x y , |2 x 3 y 6| 6 2 x 3 y,令 F x y , d x y , x 24 y 26,13 1320

42、F x 2 x 213,F y 8 y 313,解 22 x 2132 ,0 8 y 313 0 得x 4 y 4x 1 85,x 2 85,d x 1 , y 1 1 , d x 2 , y 2 11,故所求最短距离为 1 . y 1 3y 2 3 13 13 135 549. 等腰三角形关于 y 轴对称,设其顶点为 A 0,2,B x y ,C x y ,其中 x 0,就面积 S 1 2 x 2 y 2 x xy,且 x 2 3 y 2 12,令2F x 2 y 2 x 0F x , y , z 2 x xy x 23 y 212 , 由 F y x 6 y 0 得x 2 3 y 2 12

43、x 1 3 x 2 0,（舍去）,由实际问题知当 x 3,y 1 时, S 取最y 1 1 y 2 2大值 . S max S 3 , 1 9 . 50. 以球心为坐标原点,半球的底面为 xoy面建立空间直角坐标系 . 令内接长2 2 2 2方体的长为 2y ,宽 2x,高 z ,就体积为：V 4 xyz ,其中 x y z a（ , x y z 0）. 令 F x , y , z , 4 xyz x 2y 2z 2a 2,解方程组F x 4 yz 2 x 0F y 4 xz 2 y 0得唯独驻点 （a, a, a）由实际意义知当长方体F z 4 xy 2 z 0 3 3 32 2 2 2x

44、y z a的长为 2a ,宽为 2a ,高为 a 时体积最大 . 3 3 321 51. 令 F x , y , z , , z 4 x 2 y z 10 x 2y 2 125 , 解F x 4 2 x 0F y 2 2 y 0方程组F z 1 0 得驻点 P 110,5,60 和 P 2 10, 5, 40 . 故点4 x 2 y z 10 02 2x y 125P 110,5,60 是竖坐标取最大值的点,P 2 10, 5, 40 为最小值点 . 52. 令 F x , y , z x y z 1,F x 1 , F y 1 , F z 1,2 x 2 y 2 z设切点为 , , x y

45、z ,就切平面方程为 1 X x 1 Y y 1 Z z 0,2 x 2 y 2 z即 X Y Z 1 . 切平面在三坐标轴上的截距为：x , y , z ,x y z设 s x , y , z xyz,其中 x y z 1,令G x , y , z xyz x y z 1 ,解方程组yzG x 0G y 2xz x 2 x0 得 x y z 19,驻点唯独,且实际上确存在最2 y 2 yxyG z 02 z 2 zx y z 1大值,故所求点为最大值点 .切平面方程为：3 x 3 y 3 z 1 . C组1. （A）.由zx22y知z2 x yy2h x ,12 z x x4 x4 xh x

46、 ,y22 故h x 124 x . 2 x y不存在,而fx0,0fy0,00存在. 2. （C）. 极限lim , x y 0,04 x2 y3. （C）. 偏导存在未必可微,故（A）（B）不对；空间曲线是三个一元函数x x的参数方程 y 0,它的切向量为 1,0, xf 0,0 即 1, 0, 3 . z f x ,04. （A）.由连续函数的保号性,在 0,0 的某邻域上 1 f x y , 2 2 xy2 3,2 x y 2xy 1 x 2y 2 2f x y , xy 3 x 2y 2 2,在 0,0 的任何更小的邻域2 2上,f x y 都是可正可负 . 例如取 x 1,y 1

47、可以验证 . 10 105. d 3 3 2 3 2 f 1 f 2 f 1 f 2 ,dxd 3 3 1 2 3 2 3 51. dx x 16. z f e x cos y e x cos y,z f e x cos y e x sin y,x y2z2 f e xcos y e 2 xcos y f e xcos y e xcos y,x2z2 f e xcos y e 2 xsin 2y f e xcos y e xcos y . y2 2z z x 2 x2 2 4 z e cos y e 化为x yx 2 x x x 2 xf e cos y e 4 f e cos e cos y

48、 e,从而 f 4 u ,这23 是一个线性非齐次微分方程,对应齐次方程的通解为 f u C e 2 xC e 2 x,一个特解为 u,故原方程解为 f u C e 2 xC e 2 x u,由 f 0 0,4 4f 0 0 解得 f u 1 e 2 xe 2 x4 u . 167. 对方程 x 2y 2 z ln z 2 x y 1 0 1 两边对 ,x y 分别求导得2 xz x 2y 2 z 1 z 2 0 2x z x,令 z 0, z 0 得 xz 1 0解得2 yz x 2y 2 z 1 z2 0 3 x y xz 1 0y z y1z 0（舍）或 x y 代入原方程得 x y 1

49、,z 1 .对（2）（3）分别z2 22 z 2 x z 2 x z x 2y 2 z2 12 z 2 1 z2 0 4x x x z x z x2 2再求导得 2 x z 2 y z x 2y 2 z 12 z z 1 z 0 5,代y x x y z y x z x y2 2z z 2 2 z 1 z 2 1 z2 z 2 y 2 y x y 2 2 2 0 6y y y z y z y2 2 2入 x y 1,z 1 得 A z2 2,B z0,C z2 2,x 3 x y y 3AC B 2 4 0, A 0,所以 x y 1 为极大值点,极大值为 z 1 . 98. 由于 f x y